引用:

原帖由 happyyj 于 2010-9-25 14:28 发表
先不谈那些如梦如幻的事吧，回到清醒的现实，请教一道题目：

假设刚出生的雌雄小兔过两个月就能生下一对小兔，此后每月生下一对小兔。
如果养了初生的一对小兔，问满一年时共可得多少对兔子？

我觉得很有意思，可是我怎么也弄不出来，最多撑到6月就乱成了一锅粥——老兔子，新兔子，半新不旧的兔子。。。 ...

试试用不同颜色的笔区分下？！

1a94b36ea1ca17c181cb4a0e.jpg (37.1 KB)

2010-9-25 20:17

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-9-25 20:17 编辑 ].

这是历史上影响最大的生物入侵灾难之一。兔子并不是澳大利亚土生的，在1859年以前，那里还没有兔子。但在那一年，有一个农民从英格兰带来了一群野兔，共有24只。他完全没有料到，他的这一举动将要引起一场农业灾难。
在澳大利亚，兔子几乎没有什么天敌，兔群每年向北、向西扩大100公里，到1950年，就蔓延到整个澳洲大陆，据估计，约有7.5亿只野兔，等于这里人口的75倍，10只野兔就可以吃掉一只绵羊的饲料，它们吃庄稼，毁坏新播下的种子，啃嫩树皮和牙，并且打地洞损坏田地和河堤。筑篱笆也不能阻止它们侵入农民的田地。在几十年时间里，澳大利亚的农业遭受了惨重的损失。
最后，人们又尝试了一种控制野兔的新方法，一种能杀死兔子的病，即粘液瘤病被引入澳大利亚。科学家先将该病传染给蚊子，然后经蚊子再传染给兔子。粘液瘤病一经引进，它便在整个野兔群中快速传播。在澳大利亚东南地区，几乎80%的野兔群被消灭了。.

在中国，不会出现像澳大利亚的兔灾、西班牙的蟹灾，因为我们已经有一个巨大的生物灾难－－人灾。.

今天上周五的课，孩子半下午就回来了，即便有点磨蹭，还是在晚饭前把作业做完了。晚饭后，陪着他爷爷看完一集《三国》，便跟着我去打篮球了。谁知一伙老太太比我们还积极，早早地把球场都占领了，在那里跳起了夜舞。我们只好怏怏地返回，改去散步。

路上，007突然想起诗太出的那道有趣的养兔子的题目：

引用:

原帖由 happyyj 于 2010-9-25 14:28 发表
假设刚出生的雌雄小兔过两个月就能生下一对小兔，此后每月生下一对小兔。
如果养了初生的一对小兔，问满一年时共可得多少对兔子？

听完题，儿子略加思索，说：那对兔子从第三个月开始每个月生一对小兔子，一年里一共生10对，包括它们自己就是11对。
他妈妈提醒说：不止这么多。新生的兔子过两个月也会生小兔子。
儿子赶紧说：第三个月出生的那对兔子从第五个月开始每个月生一对小兔子，这一年里一共生8对。
妈妈：第四个月也出生一对兔子，它们从第六个月开始每个月生一对小兔子，这一年里一共生7对。
儿子：第五个月出生的一对兔子，从第七个月开始，每个月生一对小兔子，这一年里一共生4对.
爸爸：第五个月只出生一对兔子吗？
母子俩糊涂了，嚷着回家用纸笔画一张表格来记录和统计，这样就不会搞乱。

可是，回到家已经快九点了。孩子上床睡觉，就没有提起这事。007技痒难忍，顺着他们的思路自个推算统计起来了。

              一月     二月     三月     四月    五月     六月    七月     八月     九月     十月    十一月    十二月     总计
1月生     1          0          1          1         1           1         1         1           1          1           1            1           11
3月生                                                    1           1         1         1           1          1           1            1            8
4月生                                                                 1         1         1           1          1           1            1            7
5月生                                                                            2         2           2          2           2            2           12
6月生                                                                                       3           3          3           3            3           15
7月生                                                                                                    5          5           5            5            20
8月生                                                                                                                8           8            8            24
9月生                                                                                                                            13          13           26
10月生                                                                                                                                         21          21
  总计     1          0          1          1         2          3         5          8          13         21         34          55         144

呵呵，1对兔子养一年，就会变成144对。有这么高产？要不，007改以养兔谋生？

[ 本帖最后由 hxy007 于 2010-9-26 16:01 编辑 ].

引用:

原帖由 hxy007 于 2010-9-25 16:18 发表
1，0，1，1，2，3，5，8，13，21，24，45，（？）
要求：做出了，还要说得出道理。

题出错了。改为：1，0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，（？），（？）.

路上，007还提醒：除了用表格法，还可以用别的方法。
母子不明就里。
007：你们想一想，第一个月有几对兔子。
答：1对。
007：第二个月新增几对？
答：没有新增。
问：第三个月呢？
答：新增1对？
问：第四个月呢？
答：新增1对？
问：第五个月呢？
母子俩被问烦了，拒绝回答，坚持回家用纸笔来推算。
其实，他们只要坚持一下，马上就会找到规律。功亏一篑啊！

想一想：第五个月出生的小兔子是谁的宝宝？
第1~3月出生的小兔子，在第五个月都会生宝宝！第1~3月出生的小兔子共有2对，所以第五个月会有2对新宝宝出生。
同理，第六月出生的宝宝，是第1~4月出生的小兔子的生的，共有3对。
……
那么，从第一个月到第十二个月，每月新增小兔子的对数就是上面提及那个数列：

引用:

原帖由 hxy007 于 2010-9-25 22:39 发表
题出错了。改为：1，0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，（？），（？）

许多人抽象地思考这个数列，通常能够发现“每个数都是前面两个数之和”，据此推出最后两个数分别是89和144。
可实际上，它是每个月新生小兔子的对数之数列，其直观意义是：每个月新增小兔的对数，就是两个月之前出生的小兔子的对数的总和。例如：前10个月共有1+0+1+1+2+3+5+8+13+21=55对小兔子，所以，第12月它们会生55对小兔子。
当然，有人也可能争辩说：1+0+1+1+2+3+5+8+13+21=（1+0+1+1+2+3+5+8+13）+21=34+21，所以，55也可以理解为是它前面两个数（21和34）的总和。
没错！但是，这样的理解，就转了一弯，不够直观了。
总之，抽象的数列，不如具有生产和生产意蕴的实际数列，来得有意思。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2010-9-26 16:02 编辑 ].

引用:

原帖由 ccpaging 于 2010-9-25 20:12 发表


试试用不同颜色的笔区分下？！
566977

好，又一种方法！

[ 本帖最后由 hxy007 于 2010-9-26 16:01 编辑 ].

第一胎很重要哦，这意味着新增加了一对兔子参与了生产。.

引用:

原帖由 ccpaging 于 2010-9-25 20:12 发表


试试用不同颜色的笔区分下？！
566977

再次敬佩。。。
我心里也知道，应该有这么个非常直观的数学模型，我特别想画出来，也努力了，但是实在画不出来。

旁边的字看不清，为什么别人的图点一下都能自动放大，您的图不能呢？.

是否007昨天下午写这个变态数列的时候，其实早已把答案暗含其中？

我即使把错的数列猜出对的算法，竟然还是没有一丝毫的灵性、能把此数列联想到自己的题目上去。

差距之大，令我倍感沮丧。.

我把图缩小了。旁边的字不重要，a1=1,a2=1,a3=2、、、
这样一个个数字把真正的规律隐藏起来了，最好是写成（圆圈的和）＋（三角的和），这样方能对规律一目了然。
这个图确实不容易画，不用自责。

其实，这个数列叫斐波那契数列，又称黄金数列。我喜欢称它为生命数列，花草、树木、动物（包括人）的生长都是这样一分二，二分四，逐渐分裂形成的、、、这个数列似乎蕴含了生命的奥秘，如同宇宙中蕴含简单的牛顿定律一般。

我在《规律》一帖（http://ww123.net/baby/thread-4716378-1-1.html）中曾经说过一个数学家数树杈的故事，算是为今天玩生命数列打下了一个伏笔。

1.gif (13.77 KB)

2010-9-26 13:22

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-9-26 13:24 编辑 ].

为了这个题，我们家中秋节就是在时不时的一片“老兔子”、“新兔子”声中度过的，我妈一听到我们又在说兔子，已经笑得饭也做不动了。

我爸和我一样，有点“趋完”情结，凡事要做完才安心。此题想不出来还硬要想，我们看诗情画意的中秋晚会，他也没心思看了，拿着纸笔在一边画呀画，终于倒腾出一张表（回头我贴看看），挺自信地说，一共47对！我还深表赞赏，觉得没错。。。

经过此事，我更加认命了——哪怕从遗传学上，也在证明着这件事情：你的数学，没戏可唱。。。。

综上，我非常感谢、敬佩、羡慕、嫉妒007   

（就是这张表，今天放上来，我爸铅笔淡，不清楚；
但是我迄今不明白，看起来也是蛮规整的一张表，谁料结果却完全不对；
那这47对兔子到底又是什么意义呢，还没想通。。。）

照片-养小兔.jpg (59 KB)

2010-9-27 13:41

[ 本帖最后由 happyyj 于 2010-9-27 13:41 编辑 ].

这个真的是有意思啊！.

我们最终要找到一种方法，那就是都可以实施的方案。从这一点来说，hxy007的方案还不能算完善了。
努力，加油！.

引用:

原帖由 hxy007 于 2010-9-25 22:39 发表

题出错了。改为：1，0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，（？），（？）

孩子读高中了，我也好久没掺合孩子的数学练习了。看到苍笛说这道题变态，我就看了一下，（？），（？） 应填（89），（144），规律就是后面的数是前两个数之和，妖在哪里 ，我out了？

[ 本帖最后由 vivianda 于 2010-9-26 14:03 编辑 ].

引用:

原帖由 happyyj 于 2010-9-26 13:09 发表
是否007昨天下午写这个变态数列的时候，其实早已把答案暗含其中？

我即使把错的数列猜出对的算法，竟然还是没有一丝毫的灵性、能把此数列联想到自己的题目上去。

差距之大，令我倍感沮丧。

惭愧，本意是如此。谁知弄巧成拙，把题给出错了。要是题对的话，就不会干扰你的思路了。.

您高估偶的思路了。。。。
对的话也没用的，我知道的。 .

引用:

原帖由 happyyj 于 2010-9-26 13:23 发表
为了这个题，我们家中秋节就是在时不时的一片“老兔子”、“新兔子”声中度过的，我妈一听到我们又在说兔子，已经笑得饭也做不动了。

我爸和我一样，有点“趋完”情结，凡事要做完才安心。此题想不出来还硬要想， ...

　　诗太别这么说！你们一家子跟孩子探讨数学问题，会让许多家庭羡慕死的。
　　一个人的成长跟遗传和环境都有关系。要成为数学家，也许多需要有较优良的遗传条件；但我们并没有指望孩子一定要成为数学家呀。搞定中小学那点数学，对于绝大多数孩子来说，智力上是根本没有问题的。剩下的就是可加控制的环境因素了，这才是我们需要操心、需要小心在意的方面。
　　在我家里，孩子他妈妈对数学比较陌生了，见到有点搞的题目就退却。这反而经常使孩子豪情万丈，得意地说：妈妈做不了来，我却可以想出来！007跟一般家长稍有不同的是，数学水平虽然相当有限，却喜欢数学，喜欢跟孩子玩数学。其实，只要不是文盲，都可以这样的。做父母的最关键的是成为孩子的学习伙伴，而不是成为他的导师。就像你们家那样，和孩子一起钻研一道难题，既是在享受思考的乐趣，又是在享受天伦之乐。这就够了！这样的环境最适合孩子健康成长。.

引用:

原帖由 hxy007 于 2010-9-26 14:42 发表
　　诗太别这么说！你们一家子跟孩子探讨数学问题，会让许多家庭羡慕死的。

　　诗太，我记得你父亲是会写诗的老先生，现在又发现老先生还乐于钻研小朋友的数学难题，幸运呀！
　　我的父亲，是个老太爷，老小孩。不能跟孙子探讨学习问题就算了，还干扰孙子的学习。人家在做作业，他就去跟人家说闲话，拉他去玩，或者哄他开IPTV，一起看《三国》 。儿子很懂事，迁就他，放下功课陪他玩。可学习上就受影响了。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2010-9-26 15:10 编辑 ].

重复了

[ 本帖最后由 vivianda 于 2010-9-26 15:42 编辑 ].

刚看到3407楼，唉，我的确OUT了。教育是门大学问，学习了。苍笛：抱歉了.

　　（1）从小学生的思维特点出发，他们最容易想到、最容易接受的方法，是ccpaging的画图作业法。此法非常直观地显示了每对兔子出生两个月之后的繁殖情况。
　　（2）等他们画出小兔子的谱系图之后，自然会去统计一年之内究竟生了多少对兔子。这个时候，他们为了不搞乱，就会去寻找合理的统计方案。007提出的表格法，就是这种思考的一个结果。

生小兔.jpg (26.36 KB)

2010-9-26 15:51

　　表格的各列，是各个月新出生的兔子的对数（上图圈子里的数据）。表格的各行，是各月新出生的兔子在两个月之后各月繁殖的兔子的对数（上图箭头所指的诸行数据）。无论从行上统计，还是从列上统计，都可以算出一年总共可得144对小兔子。
　　小学生一般做到这里就会满足，因为已经找到了答案，很不容易的！
　　（3）但是，如果想让孩子的数学思维逐渐取得一个飞跃，就要帮助他们逐渐摆脱形象思维，尝试进行抽象推理。这道题的探索，就存在这种提升思维品质的机会。
　　请看最后一行的统计，它表示的就是各月新增的兔子对数，连起来就是一个数列。
　　那么，这个数列有什么特点呢？如果撇开养兔子这件事，小四生一般会说：这个数列中的每个数都是它们前面两个数之和。连草菲诗姐也是这么说的：

引用:

原帖由 vivianda 于 2010-9-26 14:02 发表
孩子读高中了，我也好久没掺合孩子的数学练习了。看到苍笛说这道题变态，我就看了一下，（？），（？） 应填（89），（144），规律就是后面的数是前两个数之和，妖在哪里 ，我out了？

　　虽然大体上可以这么说，而且，照着这个规律可以正确地推算出第三个数开始的各个数。可是，怎么解释第一个数和第二个数呢？它们从何而来？例如，第二个数是0，怎么是前面两个数之和的呢？诗姐呀，小弟觉得这个数列妖就妖在这里。
　　还是要回到养小兔这件事上来。只有这样，才能说清楚这个数列的规律——数列中的每个数据都表示某个月新出生的兔子对数。根据题意，两个月之前总共有多少对兔子，本月就会有多少对兔宝宝出生！因此，数列中的每个数，都是它之前（隔一个数）的各个数的总和。如果孩子经过漫长的探索，能够这么抽象地思考问题，那么，他研究一道题的收获就胜过机械重复练习类似的一百道题。
　　应该还可以深入讨论。可是，再要深下去，007就江郎才尽了。CC，还是你来说吧！

[ 本帖最后由 hxy007 于 2010-9-26 16:03 编辑 ].

我还纠结，为什么兔子每次都可以生龙凤胎呢.

引用:

原帖由 merry77 于 2010-9-26 16:27 发表
我还纠结，为什么兔子每次都可以生龙凤胎呢

是哦！还不如编个细菌分裂繁殖的科学故事。.

引用:

原帖由 hxy007 于 2010-9-26 15:51 发表
...
虽然大体上可以这么说，而且，照着这个规律可以正确地推算出第三个数开始的各个数。可是，怎么解释第一个数和第二个数呢？它们从何而来？例如，第二个数是0，怎么是前面两个数之和的呢？诗姐呀，小弟觉得这个数列妖就妖在这里。
...

，学无止境。以后要仔细看帖了，苍笛的帖子岂是那么容易跟帖的呢 .

别跟帖，只管出题，让CC和苍笛教导；他们有这个特长，不宜浪费。.

引用:

原帖由 hxy007 于 2010-9-26 15:51 发表
表格的各列，是各个月新出生的兔子的对数（上图圈子里的数据）。
表格的各行，是各月新出生的兔子在两个月之后各月繁殖的兔子的对数（上图箭头所指的诸行数据）。

这个描述已经极尽详细准确，不过对我而言还是有点搞，尤其横轴、纵轴都是月份；
让我再想想。
相信总有想通的时候吧！.

前两天不知谁给我父亲打来电话，我只听到他在不停劝慰对方：
“人年纪大了就是这样的，会有第二个儿童期出现，特点就是自私，多疑，并且固执不讲理。你们小辈要多体谅才对啊。”
我当时心里暗笑：汝今有这等觉悟的话，大概今后不会表现出太强的第二儿童期症状吧，但愿但愿。。。。.

引用:

原帖由 hxy007 于 2010-9-26 14:51 发表

我的父亲，是个老太爷，老小孩。不能跟孙子探讨学习问题就算了，还干扰孙子的学习。人家在做作业，他就去跟人家说闲话，拉他去玩，或者哄他开IPTV，一起看《三国》 。
儿子很懂事，迁就他，放下功课陪他玩。可学习上就受影响了。

做“太爷”，那也不妨看成是老人家前世修得、今生该得的。所以——
第一步，尽量满足吧
第二步，不事亲腹诽
第三步，诸事自然通达

表面上孩子目前学习受影响，令父母焦急不快，
然而，今日负子利父，来日上苍因此而赐予您孩子的荣耀，会是您根本意想不到的！
我觉得小苍笛真的是善良懂事。
天道是神奇的，并且那种内在的因果是很深很深的，时时会考验人的心性，能通关就会高升。

故此，坦然面对吧，从里到外都了无怨言。这样，自己、还有家庭气氛都会轻松愉快。
我随笔写的，但也是真心所想。.

引用:

原帖由 happyyj 于 2010-9-26 17:56 发表


这个描述已经极尽详细准确，不过对我而言还是有点搞，尤其横轴、纵轴都是月份；
让我再想想。
相信总有想通的时候吧！

怪我自为以是了。那个“1月生”、“3月生”……“10月生”，统统改成“1月生的兔子””、“3月生的兔子”……“10月生兔子”。这样或许好些。.

引用:

原帖由 happyyj 于 2010-9-26 17:49 发表
别跟帖，只管出题，让CC和苍笛教导；他们有这个特长，不宜浪费。

别这样。相互讨论好，这样可以充分激发对方的思考。.

呵呵，学生如果都似我们这种资质，活活会把老师折磨S。。。见谅。  .

引用:

原帖由 happyyj 于 2010-9-26 18:13 发表


做“太爷”，那也不妨看成是老人家前世修得、今生该得的。所以——
第一步，尽量满足吧
第二步，不事亲腹诽
第三步，诸事自然通达

表面上孩子目前学习受影响，令父母焦急不快，
然而，今日负子利父，来日 ...

　　谢谢诗太开导！这方面我理智上已经过关，感情上却很难过关。我总是想，为什么我的父亲就不能像我岳父或你父亲那样在孙辈面前有长辈的样子。
　　好在，我越是看不惯我爸，我妻子和孩子越是看不惯我，对我爸就越好。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2010-9-26 20:41 编辑 ].

欲擒故纵，也好。.

引用:

原帖由 happyyj 于 2010-9-26 18:37 发表
呵呵，学生如果都似我们这种资质，活活会把老师折磨S。。。见谅。  

其实，“1月生”改成“1月生的兔子”也不准确，准确的表述应该是“1月生的兔子各月生的兔子对数”。.

先上个图表

1.jpg (27.64 KB)

2010-9-26 19:58

从这张表可以看出无论计算小兔子、老兔子和兔子的总数，都是同一个数列 －－ 斐波那契数列。

完美的缺陷

引用:

原帖由 hxy007 于 2010-9-26 15:51 发表
可是，怎么解释第一个数和第二个数呢？它们从何而来？例如，第二个数是0，怎么是前面两个数之和的呢？ ...

发现了斐波那契数列的规律，即每一项等于前面两项的和。再返回来看，前面两个数“1、0”就显得非常突兀了。
还记得“先有鸡还是先有蛋”的争论，鸡生蛋，蛋变鸡，这是规律吧，可是鸡和蛋的开始是什么样的呢？
“1、0”这两个数不符合斐波那契数列的规律，但也恰恰是这两个数＋一个简单的规律构成了一个完美的数列。
真与假，完美与缺陷，混乱的开始与精致的过程，就这样被统一在一起，你中有我，我中有你。.

原来这个妖里妖气的数列原来这么有名。斐波那契数列！真是长见识了。.

根据美国教授高德纳的《计算机程序设计艺术》一书，1150年印度数学家Gopala和Hemachandra在研究箱子包装物件长宽刚好为1和2的可行方法数目时，首先描述这个数列。

3.gif (1.9 KB)

2010-9-26 21:45

在西方，最先研究这个数列的人是比萨的列奥纳多·斐波那契。

2.jpg (13.2 KB)

2010-9-26 21:45

意大利数学家列昂纳多·斐波那契（生于公元1170年，籍贯大概是比萨，卒于1240年后）。他还被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。

《珠算原理》刚问世时，仅有为数寥寥的学者才知晓印度—阿拉伯数字。这部著作迅速传播，引起了神圣罗马帝国皇帝腓特烈二世的关注。列昂纳多应召觐见，在皇帝面前受命解决五花八门的数学难题。自此，他与腓特烈二世以及其宫廷学者们保持了数年的书信往来，交换数学难题。

斐波那契数列衍生于《珠算原理》中的一道题目：
某人把一对兔子放入一个四面被高墙围住的地方。假设每对兔子每月能生下一对小兔，而每对新生小兔从第二个月开始又具备生育能力，请问：一年后应有多少对兔子？

3.jpg (27.34 KB)

2010-9-26 21:49

他当时写这道题只是考虑作为一个智力练习．然后，到了19世纪，法国数学家E·卢卡斯出版了一部四卷本的有关娱乐数学方面的著作，把斐波那契的名字，加到该问题的解答和所出现的数列上去。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-9-26 21:49 编辑 ].

完美的缺陷！原来如此呀，我算掉沟里了 .

无论多么追求完美，总还是要给完美一DD准备的时间吧。在这段时间里边，当然就是不完美，即有缺陷了。.

嗯，说的真好。我已经放弃追求完美N年了，一般来说，已经功利到，只要括号里的数填对了就OK 。发现与你们的差距所在了。一道“妖”题，获益匪浅.

太强了.

引用:

原帖由 hxy007 于 2010-9-26 15:51 发表
那么，这个数列有什么特点呢？如果撇开养兔子这件事，小四生一般会说：这个数列中的每个数都是它们前面两个数之和。连草菲诗姐也是这么说的： ...

“斐波那契数列”在1202年的时候并没有真正引起大家的兴趣。如前所述，《算盘书》真正引起大家兴趣的是阿拉伯数字的引进，现在的人们可能无法想象阿拉伯数字的重要。没玩过罗马数字的加减法，你是无法真正体会当时的欧洲数学家会多么郁闷。这个郁闷到什么程度呢？有个罗马数学家因为实用阿拉伯数字而获罪，因为在当时欧洲的宗教统治者眼里，他们的数字系统是神创立的。这个罗马数学家宁愿死，也不用罗马数字。

“斐波那契数列”出现以后400年，在1634年数学家奇拉特发现，这个数列有如下的递推关系：
U(n+1) = U(n) + U(n-1)
这个算式其实不难理解：第n+1个月时的兔子可分为两类，一类是第n个月时的兔子，另一类是当月新出生的小兔，而这些小兔数恰好是第n-1个月时的兔子数（它们到第n+1个月都可以生小兔了）。

由于这一发现，“斐波那契数列”引起了人们极大的兴趣，首先计算这列数方便多了，其次人们可以运用许多新的数学手段和思维方式对这个数列进行探讨，由发现了它许多奇特的性质。

为什么这么“显而易见”的一步花费了近四百年的时间呢？我认为：
1、要建立真正的动态思维，即探究问题时要思前想后。可是咱家的小四生这几天才开始问诸如“我小时候胖吗？”、“将来会长多高？”的问题，由此可见，动态思维的建立还需要一个过程。
2、在1202-1634年间，一定有很多数学的新思维、新方法被系统地建立了起来，也许表面上跟“斐波那契数列”没什么关系，但是它们却为数列的进一步研究打下了基础。例如，培根就是这个时期的代表人物之一，而自然归纳法就是培根提出的。

所以，在小学阶段，“斐波那契数列”的数学探究大概也就只能到这了。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-9-27 01:32 编辑 ].

前帖说了，在小学阶段，对“斐波那契数列”数学上的探究到此为止。但是，生活中寻找“斐波那契数列”可能才刚刚开始。
令人惊讶的是这个数列之“妖”还真是出乎所有人的想象，因为它无处不在，甚至妈妈们每天例行的“Make up face”也离不开这个数列。
不相信，那、、、（未完待续）。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-9-27 14:33 编辑 ].

斐波那契数列与黄金分割
http://bzhang.lamost.org/website/index.php?p=137

苏格兰人Robert Simson证明了，当项数趋于无穷时，斐波那契数列的后项与前项之比趋近黄金分割，也就是1.61803398875…。这也许说明了斐波那契数列与黄金分割有天然的联系。

如斐波那契螺旋就是最直接的例子。如果顺逆时针螺旋的数目是斐波那契数列中相邻的2项，可称其为斐波那契螺旋，也被称作黄金螺旋。这样的螺旋能最佳利用圆周，疏密最为均匀。它的构造方法也不难，只需先用同样是与斐波那契数列有关的数构造黄金矩型（长宽之比为黄金分割），再在每个矩形中各描绘出一条1/4圆弧，让各段弧彼此连接。这样的黄金矩形也往往能一些艺术名作中找到，如达·芬奇著名的作品《蒙娜·丽莎》。

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计算机绘制的斐波那契螺旋

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斐波那契螺旋与黄金矩型

自然界中的斐波那契数列

最典型的例子就是以斐波那契螺旋方式排列的花序或树叶。蓟、菊花、向日葵、松果、菠萝……都是按这种方式生长的。如此的原因很简单：这样的布局能使植物的生长疏密得当、最充分地利用阳光和空气，所以很多植物都在亿万年的进化过程中演变成了如今的模样。当然受气候或病虫害的影响，真实的植物往往没有完美的斐波那契螺旋。

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每层树枝的数目也往往构成斐波那契数列。

曾在网上看到下面这样一组图，说的是花瓣数符合斐波那契数列各元素的各种植物，也许仅仅是巧合？

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另外，晶体的结构也往往与斐波那契数列有关。.

达·芬奇与《蒙娜·丽莎》

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广告中的斐波那契螺旋

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美女面具
http://www.beautyanalysis.com/

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酷男面具
演员魏子皓(魏宇澄)的BLOG
http://blog.sina.com.cn/s/blog_49dbff310100093v.html

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[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-9-27 10:41 编辑 ].

过瘾，过瘾哪！
CC上课，让007再次领略了数学的有趣，好玩，精妙绝伦。世界上有比数学更美的形式么？

[ 本帖最后由 hxy007 于 2010-9-27 11:39 编辑 ].

引用:

原帖由 hxy007 于 2010-9-27 11:37 发表
过瘾，过瘾哪！

不要叫唤，只能过过眼瘾。。。.

引用:

原帖由 ccpaging 于 2010-9-27 10:08 发表
斐波那契数列与黄金分割
http://bzhang.lamost.org/website/index.php?p=137

苏格兰人Robert Simson证明了，当项数趋于无穷时，斐波那契数列的后项与前项之比趋近黄金分割，也就是1.61803398875…。这也许说明了 ...

唉，迷人的数学，奥妙的世界，神秘的宇宙，越学越迷惑了.

真是匪夷所思啊，从“近亲繁殖的 ”能一路走到“亚非欧美四大洲的美女”。。。 .