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[数学] 小学数学论文题目:余数的研究

小学数学论文题目:余数的研究

被除数 除以 除数 = 商 ... 余数
那么,余数最大为多少?最小为多少?为什么?
要求举例说明。.

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思考。。。。。。

[ 本帖最后由 臭宝宝 于 2008-11-20 12:45 编辑 ].

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最好跟宝宝一起做吧。可以让孩子先猜,不管猜的是否正确,不要置评,而是鼓励他去证明他的猜想是否正确。

写这篇论文重在过程,重在思维是否有序,是否慎密,是否全面。

先写个除法题:
24 / 5 = 4 ... 4
然后依次增加除数或者被除数,列出更多的算式,看看能不能使余数更小,再看看能不能使余数更大。
BBMM们和孩子一起寻找里边的规律,并逐步地归纳出结论。
最后,让孩子把讨论的内容用自己的语言记录下来。

这样,一篇小论文就成了。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2008-11-20 12:53 编辑 ].

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余数最大为除数-1,最小为1?.

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2个MM错误了,嘿嘿。

通向未知的路径,更加有趣。.

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昨天女儿给我出了个题:22=?*2+?, 我想了想,答:22=10*2+2(因为看到昨天作业正好是在学余数),结果被说是错误。我还说是对的,哪有错?女儿就说,22=11*2+0,  我被忽悠了.

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余数最大不能大于除数.

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余数最大=除数-1,最小为0?.

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这道题我好像会的:余数最大为8,最小为0,对吗?
上次那道母鸡的题做错了,被窝劳工好一顿嘲笑.

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引用:
原帖由 yvonne_tina 于 2008-11-20 14:35 发表 \"\"
这道题我好像会的:余数最大为8,最小为0,对吗?
上次那道母鸡的题做错了,被窝劳工好一顿嘲笑
你还没有做完,请看清老师的题目要求:最大是什么,最小是什么,为什么?“为什么”你还没有回答 。
我么暂时不做了,等你做完再做。.

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用点小技巧。
1、不要预设答案,一起探讨嘛。咱们在探讨的时候把位置放低点,就比较灵活。
2、儿子他MM经常说,“儿子就是应该比BBMM都厉害,否则我为什么要给你们辛辛苦苦做饭洗衣啊!"
3、时不时地故意把答案说错,他们就搞不清楚,你是真算错了,还是故意误导。
4、妈妈跟孩子之间貌似存在一种神秘的联系,有些问题BB讲半天,孩子也不明白,MM上来一句话就搞定了。

晚上我把儿子写的照相传上来。

不过还是希望BBMM们跟孩子一起来做这道命题,共享一种乐趣。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2008-11-20 15:08 编辑 ].

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余数最小为0的话,等于是整除了,所以我觉得余数不能为零.

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回复 10#蓓欣妈 的帖子

我回家请教老公,人家答案:余数最大为除数减1,最小为0.

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我儿子写的,本来想照相,可是铅笔写的对比度不够,看不清楚。
=================================================
被除数 除以 除数 = 商 ... 余数
那么,余数最大为多少?最小为多少?为什么?
要求举例说明。

举例:
原题      商      余数
12 / 5          2             2
13 / 5          2             3
14 / 5          2             4
15 / 5          3             0
16 / 5          3             1
17 / 5          3             2
18 / 5          3             3
19 / 5          3             4
20 / 5          4             0

余数最小是0.
余数最大就是除数减一。
当余数大于等于除数的时候,被除数还可以再分。
=================================================

爸爸的总结:
1、举例之前,儿子的猜想是余数最小为一,我建议他先做几个例子看看,可以猜想,但是必须去证明猜想是否正确。
2、刚开始的时候,儿子是改变除数,而不是被除数,所以归纳不出他原来的猜想,特别是不能说明余数最大是多少。儿子感觉比较困惑,所以我建议他不改变除数,改变被除数试试,儿子觉得有道理,就去尝试了。
3、“当余数大于等于除数的时候,被除数还可以再分。”是老师讲的,这说明了余数只能小于除数,换句话说就是余数最大只能是除数减一。.

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这种题型还可以引申出以下题型:
1、( )/  ( )=8----6      要使除数最小,被除数应该填几?
2、( )/  4 = 6 ------( ), 被除数最大是几?最小是几?.

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引用:
原帖由 嫣然妈妈 于 2008-11-21 09:19 发表 \"\"
这种题型还可以引申出以下题型:
1、( )/  ( )=8----6      要使除数最小,被除数应该填几?
2、( )/  4 = 6 ------( ), 被除数最大是几?最小是几?
好聪明的妈妈,是书上的题目还是自己想出来的,我是想不出这种类型的题目的,晚上给女儿做做。这种题目要要求小孩阅读理解能力也要好。.

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余数为0的就是整除,在小学阶段不划为这个算式有余数。不知道是否这样。.

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引用:
原帖由 fenfei 于 2008-11-20 14:31 发表 \"\"
余数最大=除数-1,最小为0?
余数应该不为零吧,否则就不叫余数拉.

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引用:
原帖由 卡卡567 于 2008-11-21 11:14 发表 \"\"

余数应该不为零吧,否则就不叫余数拉
在基本概念里边,“零”不是“空”,就像我们说:
“原来这里有1个苹果,宝宝吃了1个苹果,那么这么还剩下0个苹果”
不等价于
“这里从来就没有苹果存在过”

在英语里边,“零”是"zero",“空”是"empty"。

余数可以为0。因为余数是不能平分剩下的东西,在这个定义里边并没有排除0。如果刚好整除了,正规的语言应该是“余数为0”,而不是“没有余数”。.

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引用:
原帖由 ccpaging 于 2008-11-21 11:59 发表 \"\"


在基本概念里边,“零”不是“空”,就像我们说:
“原来这里有1个苹果,宝宝吃了1个苹果,那么这么还剩下0个苹果”
不等价于
“这里从来就没有苹果存在过”

在英语里边,“零”是"zero",“空”是"empty" ...
我们老师说得刚好相反 --- 不能说余数为零, 应该是没有余数. 我们有一道是非题: 1除任何数,余数为0. 是OR非?.

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引用:
原帖由 ccpaging 于 2008-11-21 11:59 发表 \"\"


在基本概念里边,“零”不是“空”,就像我们说:
“原来这里有1个苹果,宝宝吃了1个苹果,那么这么还剩下0个苹果”
不等价于
“这里从来就没有苹果存在过”

在英语里边,“零”是"zero",“空”是"empty" ...
我们老师说得刚好相反 --- 不能说余数为零, 应该是没有余数. 我们有一道是非题: 1除任何数,余数为0. 是OR非?.

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引用:
原帖由 shxuco 于 2008-11-21 12:07 发表 \"\"


我们老师说得刚好相反 --- 不能说余数为零, 应该是没有余数. 我们有一道是非题: 1除任何数,余数为0. 是OR非?
啊,这个问题很值得跟老师讨论了,下面先转一篇文章:

在整数的除法中,只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时,就产生余数,所以余数问题在小学数学中非常重要。

余数有如下一些重要性质(a,b,c均为自然数):

(1)余数小于除数。
(2)被除数=除数×商+余数;
除数=(被除数-余数)÷商;
商=(被除数-余数)÷除数。
(3)如果a,b除以c的余数相同,那么a与b的差能被c整除。例如,17与11除以3的余数都是2,所以17-11能被3整除。
(4)a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)。例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4。注意:当余数之和大于除数时,所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。
(5)a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)。例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23×16)除以5的余数等于3×1=3。注意:当余数之积大于除数时,所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23×19)除以5的余数等于(3×4)除以5的余数。

性质(4)(5)都可以推广到多个自然数的情形。

例1 5122除以一个两位数得到的余数是66,求这个两位数。

分析与解:由性质(2)知,除数×商=被除数-余数。

5122-66=5056,

5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数,得到

5056=26×79。

由性质(1)知,除数应大于66,再由除数是两位数,得到除数在67~99之间,符合题意的5056的约数只有79,所以这个两位数是79。

例2 被除数、除数、商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数。

解:因为被除数=除数×商+余数

=除数×33+52,

被除数=2143-除数-商-余数

=2143-除数-33-52

=2058-除数,

所以 除数×33+52=2058-除数,

所以 除数=(2058-52)÷34=59,

被除数=2058-59=1999。

答:被除数是1999,除数是59。

例3 甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数。

解:因为 甲=乙×11+32,

所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088,

所以 乙=(1088-32)÷12=88,

甲=1088-乙=1000。

答:甲数是1000,乙数是88。

例4 有一个整数,用它去除70,110,160得到的三个余数之和是50。求这个数。

分析与解:先由题目条件,求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2,所以三个余数中至少有一个大于16,推知除数大于16。由三个余数之和是50知,除数不应大于70,所以除数在17~70之间。

由题意知(7+110+160)-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数,得到290=2×5×29,290在17~70之间的约数有29和58。

因为110÷58=1……52>50,所以58不合题意。所求整数是29。

例5 求478×296×351除以17的余数。

分析与解:先求出乘积再求余数,计算量较大。根据性质(5),可先分别计算出各因数除以17的余数,再求余数之积除以17的余数。

478,296,351除以17的余数分别为2,7和11,(2×7×11)÷17=9……1。

所求余数是1。

例6 甲、乙两个代表团乘车去参观,每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后,甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完,甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片,那么拍完最后一张照片后,相机里的胶卷还可拍几张照片?

分析与解:甲代表团坐满若干辆车后余11人,说明甲代表团的人数(简称甲数)除以36余11;两代表团余下的人正好坐满一辆车,说明乙代表团余36-11=25(人),即乙代表团的人数(简称乙数)除以36余25;甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片,共要拍“甲数×乙数”张照片,因为每个胶卷拍36张,所以最后一个胶卷拍的张数,等于“甲数×乙数”除以36的余数。

因为甲数除以36余11,乙数除以36余25,所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。

(11×25)÷36=7……23,

即最后一个胶卷拍了23张,还可拍36-23=13(张)。

由例6看出,将实际问题转化为我们熟悉的数学问题,有助于我们思考解题。
参考资料:http://baike.baidu.com/view/1068391.htm.

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余数可能没有精确的数学语言去定义,但是余数为0是满足一下四个性质的:

余数有如下一些重要性质(a,b,c均为自然数):

(1)余数小于除数。
(2)被除数=除数×商+余数;
除数=(被除数-余数)÷商;
商=(被除数-余数)÷除数。
(3)如果a,b除以c的余数相同,那么a与b的差能被c整除。
(4)a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)。
(5)a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)。

另外,余数还要满足一下等式:
被除数 = 商 X  除数 + 余数

这样在逻辑上,才能互相印证。如lynn1116发现的这道题目:
22=()*2+()
如果余数不能为0,那么,这么填就是正确的:
22=(10)*2+(2)
只有当余数可以为0时,老师的正确答案:
22=(11)*2+(0)
才是成立的。

所以,结论是余数可以为0,这样整个逻辑上才不会造成混乱。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2008-11-21 13:12 编辑 ].

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打印出来, 和老师讨论.  谢谢.

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嗯,有结果时给个回音。
研究这个事好像有点钻牛角尖,不过个人还是希望能搞明白。.

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