当周长一致时，正方形与长方形哪个面积最大，如何求证？应是正方形吧，但不知如何解释？.

假设:
周长是D
长方形的长和宽分别为A和B
正方形边长为C

则:
A+B=D/2
C=D/4

长方形面积=AB
正方形面积=(D/4)的平方=D平方/16

因为:
A平方+B平方>=2AB,
(A+B)的平方=A平方+B平方+2AB

所以:
(A+B)的平方>=4AB
即:
4AB<=(A+B)的平方=(D/2)的平方=D平方/4

所以:
AB<=D平方/16=正方形面积.

三年级的孩子们是否学过上面解法中的一些公式呢？
如果没有学过
那么解释起来还是有难度的.

两数和相等,差越小,乘积就越大..

代数法证明
假设一个长方形的长为2A，宽为2B，那么同周长的正方形的边长为 A + B。
长方形的面积为4AB，正方形的边长为A2 + 2AB + B2. A2为A的平方。

问题被简化成：
4AB ? A2 + 2AB + B2
即 A2 - 2AB + B2 ? 0
因为 (A - B)2 >= 0
所以 A2 + 2AB + B2 >= 4AB，当且仅当 A= B时，等号成立。

由此可证，当周长一致时，当周长一致时，正方形比长方形的面积大。

以上证明要求能正确计算(A - B)2 = A2 - 2AB + B2。

动态想象
让我们从一个正方形开始。
先把高变短，因为周长不变，所以宽变长，一直可以变到高为0，这时长方形的面积为0。
重新开始，先把宽变短，因为周长不变，所以高变长，一直可以变到宽为0，这时长方形的面积为0。
因此，从变化的情况上看，我们可以做出如下猜想：
在周长一致的情况下，正方形处于面积变化的最大值，宽变短，面积逐渐减少到0，高变短，面积逐渐减少为0。

不过，这只是一个猜想，不能算是证明。

几何证明
以代数计算方式而言，存在几何证明的可能，即可以把4AB，A2, 2AB, B2所代表的长方形或正方形画出来，用挖补、填充一类地方法予以证明。

本人尚在二年级，对三年级情况不甚了解，但内心比较置疑该题的合理性。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-5-9 22:52 编辑 ].

谢谢热心的妈妈们，.

老师有标准答案吗？.

对于三年级的孩子用实际数字来解释就比较易懂。假设正方形的边长为9cm，那么周长就是9x4=36cm.再假设长方形的长为10cm,宽为8cm,那么周长就是2x（10＋8）＝36cm.现在正方形和长方形的周长相等。而正方形的面积是9x9=81（平方厘米）。长方形的面积是10x8=80（平方厘米）。因为81（平方厘米）>80（平方厘米），所以当周长一致时，正方形的面积大。同样方法可以再次证明，长方形长7cm宽5cm.正方形边长6cm.当周长一致时，正方形的面积大。.

引用:

原帖由 妤儿妈妈 于 2009-5-10 11:56 发表
对于三年级的孩子用实际数字来解释就比较易懂。假设正方形的边长为9cm，那么周长就是9x4=36cm.再假设长方形的长为10cm,宽为8cm,那么周长就是2x（10＋8）＝36cm.现在正方形和长方形的周长相等。而正方形的面积是9x9=8 ...

这个方法可以证明：“同样周长下，正方形面积比长方形面积小”这个论断是错误的。却无法证明“同样周长下，正方形面积比长方形面积大”是正确的。

不过，这可以作为引导出猜想的实例，仍然具有一定的价值。

如果楼主这道题没有“求证”的要求，只做判断的话，对三年级似乎就比较合适了。.

长方形   长（厘米）   宽（厘米）   周长 （厘米）   面积（平方厘米）                               
             11                      1                         24                           11               
             10                      2                         24                                   20
               9                      3                         24                                   27
               8                      4                         24                            32               
               7                      5                         24                            35                       
        正方形              边长                                            周长 （厘米）             面积（平方厘米）
              6                                24                                   36
从这些数据可以看出在长方形周长相等的前提下，随着长和宽的差距缩小，长方形的面积就增大。就是前面小邦妈说得：两数和相等,差越小,乘积就越大。正方形是特殊的的长方形，长和宽相同，所以结论就是：当周长一致时，正方形比长方形面积大。我想普通（三楼）说得对，对于三年级的学生没有学过的公式，解释起来是有难度的。只有用孩子已有的知识基础进行解释，才能达到效果，请苯苯龙妈妈试试这个方法，应该可行。.

长方形   长（厘米）   宽（厘米）   周长 （厘米）   面积（平方厘米）                                
         11                      1                         24                           11               
                  10                      2                         24                           20
                    9                      3                         24                           27
                    8                      4                         24                           32               
                    7                      5                         24                           35                        
正方形  边长 （厘米）              周长 （厘米）   面积（平方厘米）
          6                                                 24                           36
从这些数据可以看出在长方形周长相等的前提下，随着长和宽的差距缩小，长方形的面积就增大。就是前面小邦妈说得：两数和相等,差越小,乘积就越大。正方形是特殊的的长方形，长和宽相同，所以结论就是：当周长一致时，正方形比长方形面积大。我想普通（三楼）说得对，对于三年级的学生没有学过的公式，解释起来是有难度的。只有用孩子已有的知识基础进行解释，才能达到效果，请苯苯龙妈妈试试这个方法，应该可行。。我想普通（三楼）说得对，对于三年级的学生没有学过的公式，解释起来是有难度的。只有用孩子已有的知识基础进行解释，才能达到效果，请苯苯龙妈妈试试这个方法，应该可行。（不好意思，上面发出后发现数据移位，再发一次，希望成功）.

不知为什么还是移位，不好意思希望大家谅解.

唉，数学体系啊！.

引用:

原帖由 妤儿妈妈 于 2009-5-10 14:04 发表
不知为什么还是移位，不好意思希望大家谅解

编辑和显示的字体不同，不同机器上字体不一样，都会有位移。
妈妈太追求美观了。现在这样，也能看出来了。

复杂点，可以用word做表格，然后用ultrasnap一类的拷屏软件，把表格存为图像，再上传到帖子里边。

严格地说，妤儿妈妈的这种方法可以认为是这道题的由来，即我们可以通过实例观察出变化的规律，但这种规律只基于有限的实例，可以就此提出对规律的猜想，却不能作为证明。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-5-10 18:25 编辑 ].

三年级要做这么复杂的论证题
真是！！.

以下连接讲到这个问题：
http://bbs.cersp.com/dispbbs.asp ... D=103181&page=1
潘晓明《长方形的周长和面积》教学实录与反思

以这个教学实录看是不要求证明的，只是找到这个规律，提出一个猜想。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-5-10 21:42 编辑 ].

引用:

原帖由 小邦妈 于 2009-5-9 21:45 发表
两数和相等,差越小,乘积就越大.

三年级应该学过这个,所以用这个解释最方便.

设定一个周长，直接进行推算就能得出正方形的面积比长方形面积大的结论了。小三的孩子完全可以做出来的。.

引用:

原帖由 妤儿妈妈 于 2009-5-10 14:04 发表
不知为什么还是移位，不好意思希望大家谅解

你可以在旧帖子上编辑的呀，不用发新的。另外，发帖和编辑时不要选择那个“代码模式”，选右边的“所见即所得模式”，这样帖子写的时候啥样发出来也是啥样，不会移位的。.

要想严格求证，应该不是三年级数学课所能及的。用列举的办法归纳，并不是证明。作为一个结论，让学生记住，并列举实例帮助孩子理解，是合理的。.

谢谢各位妈妈,我后来看了每日精练上的习题,和妈妈们的解答,心中豁然开朗,谢谢啦.

周长一定时，两条边越接近面积越大.

小三的孩子......
看来我小学没毕业.

周长一致时，圆的面积是最大的。
偏题了.

引用:

原帖由 小烦人MM 于 2009-5-11 11:19 发表
周长一致时，圆的面积是最大的。
偏题了

不偏，一点都不偏。这才是最最要紧的。为什么在自然界里边我们大多看到的是圆和圆球，很少看到正方形长方形？

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-5-11 11:44 编辑 ].

昨双休日我们也做了。

设定一个具体的值就可以了，很简单了。
正方形 4 * 4    = 16
长方形 （4+1）*（4-1） = 5 * 3=15

结论 正方形面积大的。

让小孩从最简单的方法去理解。不用搞得很复杂.

证明其实也不难，如果有了代数知识的话。

就照你的思路：

设正方形的边长为x,长方形的长比正形的边长长y
根据周长一样的要求，可推知，长方形的宽比正形的边长短y
所以长方形的面积S=(x+y)(x-y)=x^2-y^2
当y=0时，S=x^2（最大值）
这就意味着，周长相等的长方形中，其特殊形式（正方形）面积最大。
证毕！

这是对初中生的要求，对小学生作此要求，过分了。对小学生至多要求用上面所说的例证法证明。
高中生会学极限知识，证明会更加简捷。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-5-11 20:37 编辑 ].