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[数学] 求教小三数学题

求教小三数学题

当周长一致时,正方形与长方形哪个面积最大,如何求证?应是正方形吧,但不知如何解释?.

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假设:
周长是D
长方形的长和宽分别为A和B
正方形边长为C

则:
A+B=D/2
C=D/4

长方形面积=AB
正方形面积=(D/4)的平方=D平方/16

因为:
A平方+B平方>=2AB,
(A+B)的平方=A平方+B平方+2AB

所以:
(A+B)的平方>=4AB
即:
4AB<=(A+B)的平方=(D/2)的平方=D平方/4

所以:
AB<=D平方/16=正方形面积.

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三年级的孩子们是否学过上面解法中的一些公式呢?
如果没有学过
那么解释起来还是有难度的.

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两数和相等,差越小,乘积就越大..

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代数法证明
假设一个长方形的长为2A,宽为2B,那么同周长的正方形的边长为 A + B。
长方形的面积为4AB,正方形的边长为A2 + 2AB + B2. A2为A的平方。

问题被简化成:
4AB ? A2 + 2AB + B2
即 A2 - 2AB + B2 ? 0
因为 (A - B)2 >= 0
所以 A2 + 2AB + B2 >= 4AB,当且仅当 A= B时,等号成立。

由此可证,当周长一致时,当周长一致时,正方形比长方形的面积大。

以上证明要求能正确计算(A - B)2 = A2 - 2AB + B2。

动态想象
让我们从一个正方形开始。
先把高变短,因为周长不变,所以宽变长,一直可以变到高为0,这时长方形的面积为0。
重新开始,先把宽变短,因为周长不变,所以高变长,一直可以变到宽为0,这时长方形的面积为0。
因此,从变化的情况上看,我们可以做出如下猜想:
在周长一致的情况下,正方形处于面积变化的最大值,宽变短,面积逐渐减少到0,高变短,面积逐渐减少为0。

不过,这只是一个猜想,不能算是证明。

几何证明
以代数计算方式而言,存在几何证明的可能,即可以把4AB,A2, 2AB, B2所代表的长方形或正方形画出来,用挖补、填充一类地方法予以证明。

本人尚在二年级,对三年级情况不甚了解,但内心比较置疑该题的合理性。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-5-9 22:52 编辑 ].

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谢谢热心的妈妈们,.

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老师有标准答案吗?.

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当周长一致时,正方形的面积大。

对于三年级的孩子用实际数字来解释就比较易懂。假设正方形的边长为9cm,那么周长就是9x4=36cm.再假设长方形的长为10cm,宽为8cm,那么周长就是2x(10+8)=36cm.现在正方形和长方形的周长相等。而正方形的面积是9x9=81(平方厘米)。长方形的面积是10x8=80(平方厘米)。因为81(平方厘米)>80(平方厘米),所以当周长一致时,正方形的面积大。同样方法可以再次证明,长方形长7cm宽5cm.正方形边长6cm.当周长一致时,正方形的面积大。.

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引用:
原帖由 妤儿妈妈 于 2009-5-10 11:56 发表 \"\"
对于三年级的孩子用实际数字来解释就比较易懂。假设正方形的边长为9cm,那么周长就是9x4=36cm.再假设长方形的长为10cm,宽为8cm,那么周长就是2x(10+8)=36cm.现在正方形和长方形的周长相等。而正方形的面积是9x9=8 ...
这个方法可以证明:“同样周长下,正方形面积比长方形面积小”这个论断是错误的。却无法证明“同样周长下,正方形面积比长方形面积大”是正确的。

不过,这可以作为引导出猜想的实例,仍然具有一定的价值。

如果楼主这道题没有“求证”的要求,只做判断的话,对三年级似乎就比较合适了。.

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长方形   长(厘米)   宽(厘米)   周长 (厘米)   面积(平方厘米)                               
             11                      1                         24                           11               
             10                      2                         24                                   20
               9                      3                         24                                   27
               8                      4                         24                            32               
               7                      5                         24                            35                       
        正方形              边长                                            周长 (厘米)             面积(平方厘米)
              6                                24                                   36
从这些数据可以看出在长方形周长相等的前提下,随着长和宽的差距缩小,长方形的面积就增大。就是前面小邦妈说得:两数和相等,差越小,乘积就越大。正方形是特殊的的长方形,长和宽相同,所以结论就是:当周长一致时,正方形比长方形面积大。我想普通(三楼)说得对,对于三年级的学生没有学过的公式,解释起来是有难度的。只有用孩子已有的知识基础进行解释,才能达到效果,请苯苯龙妈妈试试这个方法,应该可行。.

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当周长一致时正方形面积比长方形面积大

长方形   长(厘米)   宽(厘米)   周长 (厘米)   面积(平方厘米)                                
         11                      1                         24                           11               
                  10                      2                         24                           20
                    9                      3                         24                           27
                    8                      4                         24                           32               
                    7                      5                         24                           35                        
正方形  边长 (厘米)              周长 (厘米)   面积(平方厘米)
          6                                                 24                           36
从这些数据可以看出在长方形周长相等的前提下,随着长和宽的差距缩小,长方形的面积就增大。就是前面小邦妈说得:两数和相等,差越小,乘积就越大。正方形是特殊的的长方形,长和宽相同,所以结论就是:当周长一致时,正方形比长方形面积大。我想普通(三楼)说得对,对于三年级的学生没有学过的公式,解释起来是有难度的。只有用孩子已有的知识基础进行解释,才能达到效果,请苯苯龙妈妈试试这个方法,应该可行。。我想普通(三楼)说得对,对于三年级的学生没有学过的公式,解释起来是有难度的。只有用孩子已有的知识基础进行解释,才能达到效果,请苯苯龙妈妈试试这个方法,应该可行。(不好意思,上面发出后发现数据移位,再发一次,希望成功).

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不好意思

不知为什么还是移位,不好意思希望大家谅解.

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正方形是特殊的长方形

唉,数学体系啊!.

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引用:
原帖由 妤儿妈妈 于 2009-5-10 14:04 发表 \"\"
不知为什么还是移位,不好意思希望大家谅解
编辑和显示的字体不同,不同机器上字体不一样,都会有位移。
妈妈太追求美观了。现在这样,也能看出来了。

复杂点,可以用word做表格,然后用ultrasnap一类的拷屏软件,把表格存为图像,再上传到帖子里边。

严格地说,妤儿妈妈的这种方法可以认为是这道题的由来,即我们可以通过实例观察出变化的规律,但这种规律只基于有限的实例,可以就此提出对规律的猜想,却不能作为证明。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-5-10 18:25 编辑 ].

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三年级要做这么复杂的论证题
真是!!.

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以下连接讲到这个问题:
http://bbs.cersp.com/dispbbs.asp ... D=103181&page=1
潘晓明《长方形的周长和面积》教学实录与反思

以这个教学实录看是不要求证明的,只是找到这个规律,提出一个猜想。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-5-10 21:42 编辑 ].

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引用:
原帖由 小邦妈 于 2009-5-9 21:45 发表 \"\"
两数和相等,差越小,乘积就越大.
三年级应该学过这个,所以用这个解释最方便.

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设定一个周长,直接进行推算就能得出正方形的面积比长方形面积大的结论了。小三的孩子完全可以做出来的。.

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引用:
原帖由 妤儿妈妈 于 2009-5-10 14:04 发表 \"\"
不知为什么还是移位,不好意思希望大家谅解
你可以在旧帖子上编辑的呀,不用发新的。另外,发帖和编辑时不要选择那个“代码模式”,选右边的“所见即所得模式”,这样帖子写的时候啥样发出来也是啥样,不会移位的。.

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要想严格求证,应该不是三年级数学课所能及的。用列举的办法归纳,并不是证明。作为一个结论,让学生记住,并列举实例帮助孩子理解,是合理的。.

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谢谢各位妈妈,我后来看了每日精练上的习题,和妈妈们的解答,心中豁然开朗,谢谢啦.

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周长一定时,两条边越接近面积越大.

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小三的孩子......
看来我小学没毕业.

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周长一致时,圆的面积是最大的。
偏题了.

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引用:
原帖由 小烦人MM 于 2009-5-11 11:19 发表 \"\"
周长一致时,圆的面积是最大的。
偏题了
不偏,一点都不偏。这才是最最要紧的。为什么在自然界里边我们大多看到的是圆和圆球,很少看到正方形长方形?

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-5-11 11:44 编辑 ].

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昨双休日我们也做了。

设定一个具体的值就可以了,很简单了。
正方形 4 * 4    = 16
长方形 (4+1)*(4-1) = 5 * 3=15

结论 正方形面积大的。

让小孩从最简单的方法去理解。不用搞得很复杂.

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回复 26#chang 的帖子

证明其实也不难,如果有了代数知识的话。

就照你的思路:

设正方形的边长为x,长方形的长比正形的边长长y
根据周长一样的要求,可推知,长方形的宽比正形的边长短y
所以长方形的面积S=(x+y)(x-y)=x^2-y^2
当y=0时,S=x^2(最大值)
这就意味着,周长相等的长方形中,其特殊形式(正方形)面积最大。
证毕!

这是对初中生的要求,对小学生作此要求,过分了。对小学生至多要求用上面所说的例证法证明。
高中生会学极限知识,证明会更加简捷。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-5-11 20:37 编辑 ].

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