在直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点。现已知格点A在x轴的正方向上，格点B在y轴的正方向上。设A点的坐标是(a,0)，B点的坐标是(0,b)。
1.若a=5，b=4。则△OAB中（包括三角形的三条边）共有多少个格点？
2.若a，b互质，则线段AB上（不包括端点）有没有格点？
3.若a，b互质，且a>b>0，△OAB中（包括三角形的三条边）共有67个格点，求a，b。.

画个图先.

由图显见2三角形是是全等的。
且若a、b互质，则除a、b点外，线段ab中，无格点。
简单证明如下：
若线段ab中有格点（c，d），c<a，d<b
则c/(a-c)=d/(b-d)
得c/d=a/b
而a、b互质，a/b已最简
所以不存在c/d=a/b
即线段ab中没有格点。.

于是就简单了——
1、若a=5，b=4。则△OAB中（包括三角形的三条边）共有多少个格点？
（4+1)(5+1)/2+1=16个
2、若a，b互质，则线段AB上（不包括端点）有没有格点？
没有
3、若a，b互质，且a>b>0，△OAB中（包括三角形的三条边）共有67个格点，求a，b。
（a+1)(b+1)/2+1=67
（a+1)(b+1)=132=2x2x3x11
可得（a+1)(b+1)=3x44
（a+1)(b+1)=66x2，得a=65，b=1，a，b不互质，舍去；
（a+1)(b+1)=44x3，得a=43，b=2，a，b互质，ok；
（a+1)(b+1)=33x4，得a=32，b=3，a，b互质，ok；
（a+1)(b+1)=22x6，得a=21，b=5，a，b互质，ok；
（a+1)(b+1)=12x11，得a=11，b=10，a，b互质，ok。
即a，b=(43,2)或（32，3）或（21，5）或（11，10）.

如果a，b不互质，到也蛮有意思。.

不互质怎么办呢？.

经过前述分析，实际上是要计算出AB线上的格点数，因为ab线上的格点属于上下俩三角形共有，即矩形的格点数加上AB线上的格点数的和再对半分，就是△OAB中（包括三角形的三条边）的格点数。
计算AB线上的格点数，实际上又是计算A/B的最简分数的倍数。
A/B最简化后=a/b，设N=A/a=B/b
AB线上的格点数=N+1
△OAB中（包括三角形的三条边）的格点数=((A+1)(B+1)+N+1)/2

[ 本帖最后由 echooooo 于 2007-10-26 10:52 编辑 ].

如果不是整数，是分数（如13/2，27/5，...）又咋办？.