1111.JPG (4.32 KB)

2008-6-19 06:45

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答: a, b, c中可能有1个或2个正数

由(x-y)/a=(y-z)/b=(z-x)/c=abc 化简得
x-y=a^2bc ------ (1)
y-z=ab^2c ------(2)
z-x=abc^2 ------(3)
∵(1)+(2)+(3)=0
∴a^2bc + ab^2c +abc^2=abc(a+b+c)=0
而a,b,c均≠0
∴a+b+c=0
即a, b, c中可能有1个或2个正数.

正确.

请教一题：“a,a+1,a+2连续自然数，a能被9整除，a+1能被11整除，a+2能被13整除，a最小能是几？”，咋弄弄？？？.

648.

a 最小是648, 这三个数是 648, 649, 650

可以这么考虑:
(1) 找出最小的a,a+1, 使a能被9整除，a+1能被11整除
∵9 mod 11=9
∴9的倍数 mod 11依此余 9, 7, 5, 3, 1, 10...
可见当9*6=54时, mod 11=10, 其后续自然数一定是11的倍数
所以,  找出了最小的两个连续自然数54和55, 分别能被9和11整除

(2) 以54和55为基础, 同步增加9和11的最小公倍数99的话, 仍能保证分别能被9和11整除的特性

(3) 在(2)的基础上, 找出最小的a+1和a+2, 使a+1能被11整除，a+2能被13整除
∵99 mod 13=8,  55 mod 13=3
∴55加上99的倍数 mod 13依此余 3, 11, 6, 1, 9, 4,12...
可见当55+99*6=649时, mod 13=12,  其后续自然数一定是13的倍数
所以,  在不破坏(2)的特性的前提下, 找出了最小的两个连续自然数649和650, 分别能被11和13整除

综合上述, 满足条件的最小的三个连续自然数是 648, 649, 650.

为何不从9和11的整除特性入手？这样试六个数即可，分别是：11*14,11*23,11*32,11*41,11*50,11*59，最后一个满足条件。.

14,23,32,41.....该数列如何得出?.

利用整除9的特性.

那俺再推广一道:
求最小的连续自然数, 使它们依此能被5,7,9,11,13整除？
俺的方法只要有耐心, 就能一步一步往下走哦

[ 本帖最后由 一叶轻舟 于 2008-6-19 11:22 编辑 ].

有道理，学习了，谢谢.

再加整除5的特性，选择〔23+45(n-1)〕×11的数字分别减去2和加1去试整除7和13，而且，乘以11是可以快速计算的（口算即可），应该很快可以计算出来的。.

5/9/11的整除特性比较明显，可以找到规律。7/13的整除规律比较特殊，只有去试了。.

也有道理，谢谢.

引用:

原帖由 一叶轻舟 于 2008-6-19 11:15 发表
那俺再推广一道:
求最小的连续自然数, 使它们依此能被5,7,9,11,13整除？
俺的方法只要有耐心, 就能一步一步往下走哦

刚刚发现最快的算法：(5*7*9*11*13+5)/2=22525即满足要求！

648=(9*11*13+9)/2，对连续奇数的整除满足条件，但没有证明出来！

也可验证早期的一个题目，连续三个自然数可以分别被17,19,21整除，最小的连续自然数是？（17*19*21+17)/2＝3400，3401,3402

[ 本帖最后由 ITmeansit 于 2008-6-19 14:47 编辑 ].

哇, 太厉害了!
简直可以称作"ITmeansit猜想"了, 偶试了几个,貌似也没问题耶, 真的好佩服.

猫老师呀, 这个猜想成立吗? 能否证明一下呢?

[ 本帖最后由 一叶轻舟 于 2008-6-19 14:56 编辑 ].

证明如下：
设连续奇数为：2n-1,2n+1,2n+3
则：[(2n-1)(2n+1)(2n+3)+2n-1]/2=4n^3+6n^2-2=S
S自然可以整除2n-1
S+1=(2n+1)(2n^2+2n-1)即可整除2n+1
S+2=4n^3+6n^2=2n^2(2n+3)即可整除2n+3.

但5个连续奇数也成立，看来也是可以证明的，繁！呵呵。

看来可以证明任意连续的奇数，可以被连续自然数分别整除，连续自然数的第一个数是〔（2n＋1)(2n+3)....(2n+2m+1)+2n＋1]/2（有m＋1个连续奇数），这个证明就比较麻烦了！.

perfect

由此得出, 你的方法是最简单利索的, 很好奇是怎么慧眼发现的?.

我昏倒，原来中国民间有伽优秀的数学家，小囡一定不得了。敬佩敬佩，推荐侬去研究1+1号伐？.

过奖了！数学家绝对谈不上，旺网的老ji、老封、老姜、wood、老猫等都是高手，我和他们差的很远呢。

也只是为了教儿子奥数，才学了奥数，呵呵，业余的。

[ 本帖最后由 ITmeansit 于 2008-6-19 20:17 编辑 ].

谢谢.

ITmeansit的结论很漂亮。我也来凑一下热闹（见图）。知道了个中的奥妙，我们还可以把结论作进一步的推广。.

感谢，感激，各位热心的家长（好像华育的唛多格）、高手、老师。
这是我家小儿参加15日大木桥插班考的题目，好像做错了，问我，我想了半天，想不用凑数方法解题，结果把自己越搞越晕，要提高到IT高手和老姜的公式推导，我是没这本事，不得不佩服各位高手，我需要跟儿子重新读奥数了.

ITmeansit 猜想经姜老师这么轻松一证, 就真的perfect 了
俺受ITmeansit 的影响, 一直在做因式分解呢, 您的证法和猜想本身一样漂亮!

这个方法太巧妙了, 比俺那种老黄牛算法效率大大提高, 一定要让儿子好好领略一番.

感谢老姜的证明！楼上知道什么是真正的高手了吧！.

呵呵，我儿子很想去华育，就是太远了，还在犹豫之中。。。。。。.

不要犹豫了, 就冲你的猜想, 俺和GerryBB欢迎你加入.

引用:

原帖由 ITmeansit 于 2008-6-19 22:10 发表
感谢老姜的证明！楼上知道什么是真正的高手了吧！

高手是不在这里混的，我说的是实在话。这个问题对于吃这碗饭的老师来说其实蛮简单的，不客气。对家长要求显然不应这么高。其实很多时候，发现问题比解决问题更重要。从这一点说，你是老大。.

引用:

原帖由 一叶轻舟 于 2008-6-19 22:16 发表
不要犹豫了, 就冲你的猜想, 俺和GerryBB欢迎你加入

对！.

昨日晚了，大家洗洗都睡了。其实，我证明的问题与原问题并不等价，更进一步的问题是：这些数确实符合题意，但是最小的吗？这个问题并不难回答，答案是肯定的。我今天来挑个话题，大家有兴趣考虑下去，没兴趣就拉倒了。不要问我答案哦，赖得再写了。 .

老姜精益求精的精神值得敬佩！

给出的证明并没有说明是最小的，但事实上是最小的。.

A(k)=a+kn(n+2)(n+4)...(n+18)都能满足要求（n是奇数，接老姜的证明），a是k＝0时最小。.

到杭州玩了两天，这儿已经变成这个样子了。
：）.

杭州有拍啥照片？一起欣赏欣赏。
岳王庙的就免了，省得又刺激俺。.

引用:

原帖由 GerryBB 于 2008-6-19 09:54 发表
请教一题：“a,a+1,a+2连续自然数，a能被9整除，a+1能被11整除，a+2能被13整除，a最小能是几？”，咋弄弄？？？

给个有趣的做法。能推出一般的结论的。但是为了偷懒起见，就以这个问题为例子。
改一下题目：“b-2,b-1,b是连续自然数，b-2能被9整除，b-1能被11整除，b能被13整除，b-2最小能是几？”
根据题目，b被13整除，b除以11余1，b除以9余2。
所以2b被13整除，2b除以11余2，2b除以9余4。
所以2b除以13余13，2b除以11余13，2b除以9余13。
所以b的最小值是(9*11*13+13)/2

请哪位有兴趣的兄台，把它推广到一般的情况。

[ 本帖最后由 老猫 于 2008-6-20 22:35 编辑 ].

引用:

原帖由 echooooo 于 2008-6-20 20:45 发表
杭州有拍啥照片？一起欣赏欣赏。
岳王庙的就免了，省得又刺激俺。

岳王庙没有去。
杭州去了n次了，从来没有进过岳王庙。.

这个办法也真不错, 学习了!
看上去, 俺原来的方法是最笨的了.

引用:

原帖由 一叶轻舟 于 2008-6-20 21:42 发表
这个办法也真不错, 学习了!
看上去, 俺原来的方法是最笨的了

但教小学生是最好的解法..

a,a+1,a+2连续自然数，a能被10整除，a+1能被13整除，a+2能被16整除，a最小能是几?
你的方法又将如何呢？我的方法还是一样，不过有点小的变化哦。.

乘以3啊。.

a=(S+10)/3, S=[10,13,16],这样的a才是最小。.

引用:

原帖由 老姜 于 2008-6-20 07:08 发表
昨日晚了，大家洗洗都睡了。其实，我证明的问题与原问题并不等价，更进一步的问题是：这些数确实符合题意，但是最小的吗？这个问题并不难回答，答案是肯定的。我今天来挑个话题，大家有兴趣考虑下去，没兴趣就拉倒了 ...

不同意。这样算出来的并不一定是最小的。

各位上面讨论的都是中国剩余定理的特殊情况。.