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2008-7-10 07:56

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这个问题我有10种证法。 .

只有想出余弦定理，老姜透露点.

证法一(利用余弦和正弦定理)

根据余弦定理可知:
BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB*AD*cos∠BAD
CD^2 = AC^2 + AD^2 -2AC*AD*cos∠CAD
整理得 (AB^2 + AD^2 - BD^2) * AC = (AC^2 + AD^2 - CD^2) * AB
又根据角平分线及正弦定理可知: AB / AC = BD / CD 即 AB*CD = BD*AC
代入得：AB*AC(AB-AC) - AD^2(AB-AC) = BD*CD*(AB-AC)
即AB*AC - BD*CD = AD^2

[ 本帖最后由 一叶轻舟 于 2008-7-10 11:15 编辑 ].

引用:

原帖由 一叶轻舟 于 2008-7-10 10:32 发表
证法一(利用余弦和正弦定理)

根据余弦定理可知:
BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB*AD*cos∠BAD
CD^2 = AC^2 + AD^2 -2AC*AD*cos∠CAD
整理得 (AB^2 + AD^2 - BD^2) * AC = (AC^2 + AD^2 - CD^2) * AB
又根据角平分 ...

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证法二（利用相似三角形的比例关系）

过C作CE, 使∠ACE=∠ADB, 交AD延长线于E
∵∠ACE=∠ADB, ∠BAD =∠CAD
∴△ABD相似于△AEC
∴AC/AD=AE/AB , 即AB*AC=AD*AE ------ (1)
同理可证△ABD相似于△CED
∴AD/CD=BD/ED, 即AD*ED=BD*CD  ------ (2)

∴AB*AC=AD*AE
              =AD*(AD+DE)
              =AD^2+AD*DE
              =AD^2+BD*CD
则 AB*AC-BD*DC = AD^2

[ 本帖最后由 一叶轻舟 于 2008-7-10 10:52 编辑 ].

2种方法被讲掉了，一叶轻舟确实是牛人，.

老姜厉害，我只知道六或者七种。.

大家再凑5种方法，我把余下的3种也讲了。 .

引用:

原帖由 老姜 于 2008-7-10 16:22 发表
大家再凑5种方法，我把余下的3种也讲了。  

侬结棍咯，我帮侬顶一下，再找个板凳坐好，听课开始了.

嘘，同学们正在想方法呢，安静一点。.

说两种吧。

一、死特怀特定理，再加角平分线定理。
二、延长角平分线交外接圆，然后用相交弦定理。.

证法三 (利用勾股定理)

过D作AB, AC的高, 垂足为E, F
显然 △AED全等于△AFD ==> AE = AF, ED = FD
又根据勾股定理可得:  
AD^2 = AE^2 + ED^2  ------ (1)
BD^2 = BE^2 + ED^2 = (AB - AE)^2 + ED^2 = AB^2 + AE^2 - 2AB*AE + ED^2 ------ (2)
CD^2 = CF^2 +DF^2 = (AC - AE)^2 + ED^2 = AC^2 + AE^2 - 2AC*AE + ED^2 ------ (3)
由(2),(3)整理得: (AB^2 + AE^2 + ED^2 - BD^2) / AB = (AC^2 + AE^2 + ED^2 - CD^2) / AC ------ (4)
将(1)代入(4)得: (AB^2 + AD^2  - BD^2) * AC = (AC^2 + AD^2  - CD^2) * AB
进一步整理后得: AB* AC * (AB - AC) - AD^2 * (AB - AC) - BD^2 * AC + CD^2 * AB ------ (6)
再根据角平分线及正弦定理可知: AB / AC = BD / CD 即AB * CD = AC *BD ------ (5)
将(5)代入(6)得: AB* AC * (AB - AC) - AD^2 * (AB - AC) - BD * CD * (AB - AC) =0
即 AB* AC - BD * CD = AD^2

[ 本帖最后由 一叶轻舟 于 2008-7-11 08:18 编辑 ].

还有2种。.

引用:

原帖由 老猫 于 2008-7-11 07:45 发表
说两种吧。

一、死特怀特定理，再加角平分线定理。
二、延长角平分线交外接圆，然后用相交弦定理。

严格地说，你的证二与一叶轻舟的证二是一个意思。.