现在的数学教育简直是瞎搞，小学搞这么不切实际的奥数，老师都没几个搞清楚的，让学生去搞。到了中学正好相反，思维方面降低，考试越来越重视计算，因此几何内容就会被淡化。
我用另外一种方法做一下，是用代数和三角的思维来解：
由于无法贴图，我讲一下思路
第一题:∠FPF'+BPC=90,因此FF'=FP*sin∠FPF'=BP*sin∠CBP=CP,
我们看AE在FF'在上的投影，AE*sin∠DAP=AP*sin∠DAP=AD=CD
AP在FF'在上的投影，AP*sin∠APD=DP
由于CD+DP=CP,因此EF∥CD =>EF∥AB.

解法不错，异曲同工.

谢谢封老师 ,一定记得通知哦..

引用:

原帖由 老封 于 2007-3-13 10:29 发表
2004年时，从网上认识一个几何爱好者，吉林人，原本是学物理的，现在中学里教信息技术。他是一个“板迷”，大约在98年接触到几何画板，然后就乐此不疲。

虽与他还没有见过面，但我们常常通过邮件交流心得。
...

封老师可以开博，这样方便与网友们交流。.

剥个壳容易，但担心没有这么多人去光临，生意不兴隆了。.

封老师:上星期天孩子不舒服,所以没能前来拜听你的课,错过了一次学习的大好机会.
我的孩子今年小升初,男孩.住浦东.
如果你日后开班,麻烦你通知我.好吗?
孩子对数学很感兴趣的..

近日平面几何的讨论好像不够热烈。我想把上次提到的那位”板迷“也拉下水，让他也来参与我们的论坛，可能让气氛活跃些。
不过又恐怕他谈的内容会太高深，吓坏一些初学的弟弟妹妹。
但正如单墫教授说的，老喝白开水会没有营养的。要有吃螃蟹的勇敢精神，只有跳下水去，迎难而上，才能真正学会游泳！.

这是《数学通讯》1998年第7期上发表的一封公开信：
读者与编者


编者按：以下是读者曹文彬同学写给我刊通讯编委叶先生的来信和他的回信。

叶老师：
您好！我是一名正读高二的学生。从初中起，我就对几何学产生了浓厚的兴趣，在几何世界中的探索使我得到了无穷乐趣。但是，在我们这里，找遍了所有书店也没有一本几何学著作。去年，朋友到上海去，托他带几本几何学书籍，可惜也没找到。那时的我是多么失望哪！高一的时候，我订了《数学通讯》杂志。在其中的“问题征解”栏目中，我发现你对几何很有研究。再翻阅前些年的“通讯”也都有您的优秀几何题。我被完美的证明和几何的微妙迷住了，以至于接连几天回味咀嚼一道题。当时，我多么想给您写信哪！
今天，当我又一次翻阅1997年《数学通讯》见到你的几何题时，强烈的求知欲终于使我提起了笔。
希望您能从百忙中抽空给我一些指导，谈谈学几何学的要点；希望您能向我推荐一些几何学专著（不管是新的还是旧的）。如果可能的话，请告诉我在哪儿可以得到苏步青教授的《射影曲线概论》。收到您的回信将是我最大的欢乐！
祝：身体健康  研究突飞猛进！              江苏通州高级中学 曹文彬 1998．3．15
*************************************************************************************
曹文彬同学：
来信收到，很高兴，很愿意与您交朋友。
先作两点说明：第一，我的年龄并不大，从未当过老师，亦未敢以师自居，以后来信称呼“××兄”即可；第二，我并非您想的那样，是平面几何能手，其实我和您一样，是普通的几何爱好者。虽说从小开始就对几何很着迷，且直到现在这种兴趣仍然保持着，但花的功夫远远是不够的。自从进入出版社工作，家里又添了孩子，就更觉得供自己支配的时间非常有限，而周围又较少有兴趣相仿的朋友，有时也会感到寂寞。但总的说来，几何学常会给我带来一种在其它地方寻找不到的乐趣。
在初等数学中，我觉得如下这种做法是值得提倡的，即问题本身不追求复杂，但不要仅停留在问题本身，以为给出解答就完事了，而应该去做一位“好事之徒”，自己提出深入研究的课题，并善于把握现象，从中寻出一些好的结果。如果浅尝辄止，就往往不能深刻体会到初等数学的乐趣所在（我国初等数学研究不如国外活泼，我看主要就在于探讨问题不够深入和自觉，而国外，例如德国，就很强调“彻底性”——Grüntlichkeit，不知您同意我的看法否）。而在平面几何中，我的这种想法往往较容易得到满足，因而我挺乐意局限在这块小小的园地中，而不甘心被功利的世道完全牵着鼻子走。
但平面几何也有其本身的弱处——不合时宜。一位学好者往往付出很多的辛劳，而得到的回报却极少，仅有孤芳自赏的喜悦，这对于一般的爱好者是否情愿呢？况且，现在的人往往早已遗忘几何学辉煌的昨日，一些早已曾被人们熟悉过的概念和结果对今天的人们却完全是陌生的。为了将问题说清楚，你每次都必须向人解释一大堆的东西，譬如“等角共轭”、“类似重心”、“Brocard点”、“Nagel点”……令自己都觉得厌烦。总之，平面几何完全只能作为一种业余爱好，而且是一种比较苦的爱好，它于功利毫无益处，甚至会使一些年轻的朋友误入歧途。
美——唯有对美的执着追求，才会把自己苦苦驻留在这块不结果实，只长野花野草的杂园。
然而我，在平面几何中意外地得到了另外一种安慰。一些并不相识的陌生人，正是因为这种共同的爱好，与我写信发生了交往，彼此间渐渐成为知心的朋友，使我不再感觉得十分的孤独，这，又是一种在别它处所难以找到的乐趣。今后，我仍愿以平面几何作为自己的主要兴趣，并将远方的朋友对我的鼓励作为今后用功的动力，以此克服我自己身上曾经有过的——懒惰，这一不太好的习惯。
今后，我有志将以前一直没能完成的一件事做下去——做几何题的索引及归类卡片，以便更全面地了解别人的成果。同时也再多思考一些以往随手写在笔记本上的、由自己提出的问题，将心得奉献给那些爱好几何的朋友。作为一位新朋友，在此亦欢迎您经常和我交换看法，探讨问题。
来信还问及有哪些好的几何书籍，我将我手头常用的几本介绍如下：
1．《初等数学复习及研究（平面几何）》，梁绍鸿著，人民教育出版社1958年版，1979年重印，这本书在国内同类书中资料最为丰富，亦很具权威性，爱好平面几何的人首先应该找它读一下（这本书以前印得很多，在图书馆中通常不难找到），尤其对它的习题部分不能轻视，因为其所含信息比正文还多。尚强先生（目前在深圳中学任教）曾为全书习题作了解答，由中国展望出版社出版。
2．《初等几何教程（平面几何）》，［法］J·阿达玛著，朱德祥译，上海科技出版社1964年版，1980年再版时改名为《初等数学教程——几何（平面部分）》，这本书也较有特色，书后面列有专门一章“杂题”，挺有难度；与它配套的“立体几何”分册也较精彩，如圆锥曲线部分，有一般书上所没有的资料。
3．《几何证题法》，严济慈著，商务印收馆1932年10月初版，1957年12月第9版，这书虽说比较老，但高等教育出版社于1982年重新出版了它的白话文版本。
4．《几何新指导》，［日］吉冈斗松著，高季可译，中华书局1951年第三版；《许莼舫初等几何四种》，中国青年出版社1978年新版，这两本书内容稍浅，但影响较大。
5．《题解中心几何学辞典》，［日］长泽龟之助著，上海科技出版社1959年新版，1981年重印；《问题解法几何学辞典》，［日］笹部贞市郎著，上海教育出版社1984年版；《数学解题辞典（平面几何）》，上海辞书出版社1993年版，这是三本性质相近似的书。
6．《100个著名初等数学问题——历史和解》，［德］H·德里著，上海科技出版社1982年版，在这本书的几何部分，能阅读到不少有趣的背景材料。
7．《（中学数学奥林匹克）平面几何问题集及其解答》，［俄］B·B·波拉索洛夫著，东北师范大学出版社1988年版，以及其它一些竞赛用书，其中有较新的几何题目。
此外，还有一批内容丰富的课外读物，如北大出版社出版的美国“新数学丛书”中的《几何学的新探索》，《几何变换》（Ⅰ～Ⅲ），上海科技出版社的《几何的有名定理》（［日］矢野健太郎著，陈永明译，1986年），及我社的《几何不等式》（单墫，1979年），《复数计算与几何证题》（常庚哲，1980年），《几何变换》（蒋声，1981年），《反射和反演》（严镇军，1981年），《面积关系帮你解题》（张景中，1982年），《射影几何趣谈》（冯克勤，1987年），《三角形趣谈》（杨世明，1988年）等书，都可参考。可惜这些书在市面上全已断销，偶尔在旧书店中还能见到，但买到的机会已不多了。我个人亦是一个书迷，经常喜欢逛旧书店，故而今后也可代为购一些书（将需要的书先写信告诉我）。来信提到苏步青教授的《射影曲线概论》一书，这部书内容比较深奥，我想它并不适合初学者。我倒可以替您买到苏老的另一部著作：《高等几何学五讲》，我社1991年出版。
关于近世初等几何方面，我搜集了一些旧书，既有解放前中文版的，也有外文版的，总数大概有六七本，其中我认为最好的一本是R·A·Johnson所著，邱丕荣译的《近世几何学》（经常见于人们所引的文献中），它对三角形和圆两方面的结果作了较好整理。所谓近世初等几何学，又可称“综合的Euclid几何学”或“最近几何学”，它起于19世纪后半叶。1873年Lemoine在里昂学术奖励会开幕式上宣读了题为“三角形的奇异点及其性质”的论文，为其滥觞。后又经德国Grebe，法国Catalan，以及Mathieu，Schlomilch，Neuberg，Brocard，Taylor，Casey等诸人的研究，把它推向了极致，当时曾经繁盛一时，产生了数以百计的新定理，到本世纪初逐渐衰替。其内容包括逆平行线，等角共轭，反演，陪位重心，Brocard点，Brocard椭圆，Brocard圆，第一Brocard三角形，三乘比圆，余弦圆，Taylor圆，Tucker圆系，Schoute圆系等。对这一几何分科我的兴趣比较浓厚。正如M·Kline在《古今数学思想》中所指出的：“这些成果，或许重要性不大，然而显示出这门古老学科的新的主题和几乎无穷无尽的丰富多彩。”但总的说，近世初等几何方面的资料我也是缺乏的，如《数学通报》五十年代刊登了梁绍鸿先生的一篇文章“论三角形等心的宝藏”，里面提到了当时能见到的一批近世几何书，大部分我没见过。
除了近世初等几何方面的资料之外，近年来国外数学杂志上也常能见到一些内容丰富的几何文章，如《美国数学杂志》1994年第3期上有一篇“Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle”的文章，罗列了三角形中一百多个特殊点及其性质，同期上还有一篇“The Conics of Ludwig Kiepert”，对三角形的Kiepert双曲线作了很好的综述。像这样的文章国内看不到，非得查外文资料不可。
最后，有两个令人欣慰的消息值得在此一提：据最近召开的美国科学年会消息，与会科学家和教育学家一致呼吁，21世纪的教育应把几何学放在头等重要的地位，甚至有人喊起“几何学万岁”的口号。在人类进入电子信息社会的今天，几何学对于人类社会发展的贡献越来越大。21世纪教育的一个重要原则是，学校传授给下一代的将不只是知识，更重要的是技能。几何学具有较强的直观效果，有助于提高学生认识事物的能力，应当成为自然科学教育大纲中的首选和重点内容。看来人们对几何的重要性又有了新的认识。另一件事是，单墫先生已决定重新翻译上面提到的R·A·Johnson所著《近代欧氏几何学》一书，并答应由我们出版社出版，估计爱好者们明年就能重新看到这本书了。
好了，今天暂写这些。欢迎以后保持通信。
祝    春安！                                       1998年3月

[ 本帖最后由 老封 于 2007-3-15 11:37 编辑 ].

新星闪亮——第47届国际数学奥赛金牌得主柳智宇同学事迹侧记
作者：余世平    转贴自：华中师大一附中网站    点击数：171    文章录入：amei


新星闪亮

——第47届国际数学奥赛金牌得主柳智宇同学事迹侧记

主教练：余世平

三年前，理科实验班刚组建时，那个满脸微笑，经常与别人讨论学术问题的学生就格外引人注意。在课余时间，他常与老师同学讨论包括天文地理，社会，环境以及数学，物理，化学等极广泛的话题，而且每次讨论，他都会用较为深刻的理论阐述一种观念，令人折服，这位颇有学识的同学就是柳智宇。

夯实基础 能力提高

   柳智宇同学对所有的学习科目都有同样浓厚的兴趣，而且每门课程都融会贯通，对数学的学习当然也不例外。

在读高一时，老师召集同学们自己选择竞赛科目，柳智宇同学选定了数学。他在数学小组，严谨的学习态度是众人皆知的。他常说：“即使是他认为较为熟悉的题型，只要老师布置的，我都要认真地做一遍。”他也是一个很会学习的学生，他的学习效率比一般学生高。刚刚组建数学组时，他的数学知识含量并不是最多的，因此有一段时间，对竞赛难题，经常是找不到解决问题的本质的方法，有时虽然想出了一些解法，但这些方法也没有抓住问题的要害。这时，他发现了自己的差距，自己暗下决心，准备用比同学多一倍的时间系统学习数学竞赛有关书籍，在老师的指导下，将《高中数学竞赛教程》共三本书上的所有题目全部自己做一遍，三本书共有习题3千多道，这在常人看来是一项艰难的事情，但他却一步一个脚印，通过不懈努力完成了自己的计划。在解答一个具体问题时，常常要通过艰难的思索，一旦求出解答，那种喜悦的心情是多么的甜蜜，是别人所不能分享的幸福。就这样，通过长达3个月的努力，他的解题能力有了大幅提高，超过了数学组的其他选手，在高一年级参加的数学竞赛中初露锋芒，获得了可喜的成绩。

撰写论文 初露锋芒

由于柳智宇同学思维敏捷，深入研究一些问题，常常得到一些新的研究成果，在老师的指导下，他完成了20多篇以数学问题的多解，推广，归纳，应用等为题材的论文。这些论文包括《关于方幂级数问题的研究》，《八数码问题的研究》，《质数问题的研究》，《高阶递推数列问题的研究》等等。他还利用暑假到南开大学和香港大学交流的机会，对自己的数学论文进行交流与求证。他不论是在在火车上还是宾馆里，总是积极地思考问题，并将自己得到新见解与同学老师交流，还将这些讨论过程记录在自己的笔记本内。遇到专家学者，他更是抓紧机会，与专家学者讨论交流。在南开大学交流期间，他与世界级数学大师陈省身直接交流长达半小时之久，受到陈省身教授的赞许。这一场面被中央电视台录制并在全国播放，这使数学小组同学受到了很大鼓舞。

在科技论文评比中，柳智宇同学的论文《关于方幂数列的研究》经过指导老师的推荐，参加了湖北省科技论文评比，并一举获得湖北省论文评比科技论文类一等奖，也成为了获得此项奖项的唯一一名中学生。《长江日报》，《楚天都市报》均以大篇幅刊登了柳智宇的事迹。他的其他几篇论文也都受到数学大师的好评，华中师范大学的陈传理教授评价说:：“柳智宇同学的论文认识深刻，超出了同龄中学生的认识水平。”

走出国门 捧回金牌

上高二年级的柳智宇同学已经在全国联赛中获得优异成绩，取得了联赛一等奖，并入选成为参加国际数学奥林匹克循环赛国家队队员。为了迎接2005年4月份在俄罗斯举行的这场比赛，柳智宇于2005年1月在老师的指导下，进行了紧张训练。首先，制订了一份竞赛计划，重点攻克《组合图论》与《平面几何》，对数学竞赛中的几个常见知识板块（代数，平面几何，数论，图论，函数方程等）进行密集式复习。还研究了前苏联和现俄罗斯的竞赛命题风格。最后每天进行三道国际竞赛大题训练，要求书写详细的解答过程，有的题目解答过程长达3000多字。指导老师对其解答过程逐字逐句地进行检查推敲，指出其中存在的问题，对于思路不明确的题目，反复复习知识点和解题技巧，多做类似题目以增强解题能力；对于思路虽然明确，但表达存在漏洞的题目，规范表达，减少思维跳步现象，强化书写要求。经过历时100天的训练，在出发前，他向指导老师表示，已经胸有成竹，这次出国比赛，一定会取得成功。

   随着飞机在异国的降落，柳智宇的心底的石头又悬在了心头，异国他乡，他想，冒着阴冷严寒的气候，我能胜利吗？又经过三天的火车和汽车长途跋涉，终于到达了比赛地——俄罗斯的下诺娃市。在经过短暂调整后，特别是沿途景色和外国同学的交谈，柳智宇情绪得到了稳定，又找到了出发前的必胜信心。比赛第一天，时间从早上8：00到中午12：30，历时4.5小时，比赛共有4道题目。这一天，柳智宇发挥的非常出色，他用了3.5小时做完了全部题目，而且有十分的把握所做题目全部正确。第一天考试结束后，其他选手有的在懊悔，有的在埋怨，有的在抱怨天气，而柳智宇同学却不慌不忙地向中国国家领队（北京大学李伟固教授）详细讲述了每个题目的解法，李教授露出了满意的微笑。

第二天的比赛是关键的一场，和第一天一样柳智宇用了一个小时完成了前两道题目，可困难出现在了第三题。经过20分钟的思索，对第三题仍然没有找到主攻方向，多种攻克方法难以取舍，他心里明白，如果一旦主攻方向失败，损失的时间将无法追回，与其急攻，不如静思。他搁下笔，走出考室，在一个安静的角落，闭目而思，经过10分钟的调整，终于从平方数的构建及两边夹逼的方式打开缺口，思路一下子就清晰了。回到考室，下笔如泉涌，在离考试结束还剩下两个小时的时候，他已经完成了三道题目，只剩下最后一道了。这一道题目也就是关系到这次竞赛成功与否的关键所在了。在先半小时内，他没有找到解题思路，他又闭上双眼，静静思考，多层面多方位寻找不同的思路，各种方法在他脑海里闪过……，突然，一种思路在脑海里一闪而过，就是这个方法。柳智宇睁开双眼，认真理清思路，然后埋头书写。终于，柳智宇完成了最后一题。他抬头看看四周，周围的选手都还在冥思苦想，神色紧张。柳智宇稍作休整，又回到自己的答案书写中，将自己的解答又重新检查一遍，查漏补缺。这时离考试结束还有5分钟，他第一个起身，将试卷双手交给主考官员，并向考官示意距考试只有5分钟了，应该提醒其他考生了。

比赛结束后，赛会安排了考生旅游，在其他考生都紧张的等待比赛结果的时候，柳智宇却十分放松，心情格外舒畅。最后，柳智宇不负众望，以领先第二名一个题目的优势夺得了比赛第一名。当柳智宇捧回金牌第一名到达武汉时，同学都自发的到车站迎接，每个人都分享着成功的喜悦。

填补空白 奥星闪亮

   如果说国际循环赛是乒乓球世界锦标赛，则国际数学奥林匹克就是奥林匹克运动会。我校从1986年起，所有的数学竞赛人为之奋斗了20年，均没有进入国际数学奥林匹克国家队。进入高三年级后，柳智宇同学立志要冲刺我校长久以来的目标。这个目标说起来容易，做起来难度何其大。要从全国数百万中学生中，经过层层选拔，最后由6名中学生组成数学奥林匹克中国国家对队。2005年10月，经过全国高中数学联赛，柳智宇同学进入了由6名中学生组成的湖北省省队。2006年5月，柳智宇作为湖北省省队队员参加了在福州举办的全国数学奥林匹克（即中国数学冬令营）再次进入由30名选手组成的国际集训队。为了由集训队顺利选入国家队，要重新制定备战方案。这一方案不但要注意知识结构和技巧的归纳，更要研究几位现任数学奥林匹克竞赛委员的命题风格，如李胜宏教授的不等式，陈永高教授的数论，李伟固教授的代数，冷岗松教授的组合，熊斌教授的平面几何等。他们在初等数学方面功力深厚，知识渊博，命题有着鲜明的特点，为了在集训队的8场考试中立于不败之地，这种深入研究就应更深刻更细致。

2006年3月3日，国家集训队的训练在东北育才中学展开。30名选手个个自命不凡，都立志成为成功者。柳智宇同学当然也不例外，尤其他在2005年国际循环赛中取得的优异成绩，也使得他成为集训队的焦点人物。每次考试结束以后，总有选手向他讨论请教问题。8场考试如预先设置的一样，柳智宇一直稳定在前3名。4月1日，中国奥委会主席王杰教授宣布，我校柳智宇同学与其他5名选手进入了中国国家队。消息传来，校园沸腾了，华师一附中20年来的努力终于实现了。

6月15日，国际数学奥林匹克国家队的6名选手集中于北京进行出国前的最后训练及心理调整。此间，上海的叶中豪教授，北大的潘承洞教授分别作了平面几何，数论等专题讲座，并在领队知道下进行心理身体调整。7月10日飞抵斯洛文尼亚首都卢布尔雅那。7月11日举行开幕式，7月12日13日正式比赛，来自世界180多个国家和地区的500多名选手经过两天的激烈角逐，最后柳智宇同学不符众望，以满分成绩获得全胜。六道试题每道题的解答都非常精彩，思路畅通，逻辑严密。特别是第二天的后面两道题，做出来的选手部多，他也是调整了主攻顺序，在完成第4道题和第6道题后，集中思考，最后攻克第5道题。他的思路受到组委会一致 好评。今年试题难度高于往年，全赛场仅有3个满分，柳智宇同学也是中国队的唯一一个满分。正如领队李胜宏教授评价说：“柳智宇同学真是发挥出色，他的解法与思路赢得国际奥委会的最高评价，不愧为数学奇才，为国争了光。”

后来，柳智宇在日记中写道：这次去斯洛文尼亚参加第47届国际数学奥林匹克，我的心情非常轻松。2006年7月10日从北京出发，登上飞机时我突然觉得，既没有仪式能让我担忧或害怕，只不过是做一次旅行，做一套题目而已。到斯洛文尼亚首都卢布尔雅那已经是晚上，一轮又大又圆的月亮低垂在机场的楼顶，空气中弥漫着清爽的泥土芬芳，道路曲曲折折，充满了田园气息。天到九点半才全黑。11日傍晚，我在小城漫步，晚霞鲜艳无比，在一瞬间，突然不知道“我”是谁，只觉天地万物，无一不恰到好处，任何语言都显得多余和苍白。12日开始考试，清早，下了大雨，走出宿舍时，只见一道彩虹闪耀在不远处的小山之前。考试是在一间体育馆篮球场内，我在一楼。第一天题目比较简单。第二天我起得很早，端了早餐到门外邀青山白云共食，有些小黑虫，我开始嫌恶，后来想，它们是主人，我是客人，客人怎能对主人不敬，于是专门为它们准备了一小盘又在地上撒了一些，给虫儿和鸟儿们吃。题目很难，做到两小时的时候，第5和6两题都还没有思路，这更激发了我的斗志，我用上了一年来悟出的应对办法，逐条列出已有思路，发现思维火花并进行下去。在还剩一小时的时候，对这两题都有了思路。接下来的三天，我们在斯洛文尼亚旅游，认识了许多各国的朋友，对考试的结果最初还有所挂怀，后来我想，这次我已在考场做了完美的发挥，当时就已享受到成功的喜悦，之后又何必为成败在意。7月16日，我们知道了成绩，我自认为有一点小漏洞，但思路全对，组委会给我评了满分。得满分的还有，俄罗斯Magazinov Alexander，摩尔多瓦的Iurie.Boreico。在17日的闭幕式上我们三人单独颁奖（perfect score）。

随后，在斯洛文尼亚期间，包括美国CNN广播电视公司记者，英国BBC广播公司记者及斯洛文尼亚记者等多个国家记者采访了柳智宇同学，他成为了这次赛事活动的中心人物。

7月19日上午12时，柳智宇同学在武汉天河机场一下飞机，就接受了多家记者的采访，有的记者在采访柳智宇同学的成长过程，有的记者在询问他今后的理想和抱负，有的问他是怎样学习，才走向这光辉的顶峰的。他非常谦逊，和蔼地一一作答，他当场向学校表示，虽然进入北大学习，只要有机会，一定回到母校为同学们进行数学讲座，希望今后有更多的同学拿到金牌。

勤学好问，谦逊谨慎，乐于助人，这些中学生的优秀品质在这位国际金牌获得者身上都得到了充分体现。这枚填补学校空白的金牌，将成为华师一附中的新起点象征，一颗耀眼的新星在学校上空闪亮。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-3-15 12:30 编辑 ].

我搞数学竞赛的一些心得

第一,只是个人想法,还很不成熟.
第二,某些说法也许不好理解,但所谓学习方法本来就是只能大致说说的.我希望对数学有自己的思考的同学看了这些文字之后能受到一些启发.
数学竞赛经验谈
柳智宇
几何
1º平面几何
①基本欧氏几何知识结构
基本的辅助线，点，圆，相似形的应用
推荐：《奥数教程-初三》各地中考题及模拟题
②对几何结构的把握，对称性，各种近代欧氏几何框架，几何变换。
推荐：《近代欧氏几何学》，建议使用软件几何画板并参与与之相关的网上讨论。缺少一本习题集，可使用《几何变换》及叶中豪的习题。《数学竞赛中的平面几何问题》(一本俄罗斯的书,此书组合几何部分也很好)中几何变换及反演射影几何。
2º解析几何
①基本知识：已知与未知的互化，元的设置，设计计算路线。
②每一步计算的几何意义，计算中的对称性，代数结构。
以下基本观点：
几何中关系到达一定的复杂度后，代数的使用是自然而且必须的。不应一味地强调使用解析法盲目运算（解析法能解决问题，但不能很好地揭示问题的内部结构），也不应一味地强调使用纯平几。这两者都易忽略问题的实质，一切以自然为上。
  我们熟知的几何计算方法大体有：
①欧氏几何公理中直接使用未知量计算
②解析法
③复数法
④向量法
⑤利用定理AC⊥BD AB2+CD2=AD2+BC2
⑥三角法
但实际上每道题都有自己的结构，也有一套独特的最简洁的代数表示，它是一题一法。以上六种方法的使用也是因题而异，使用的过程中有诸多技巧，绝不可盲目计算。
推荐：《解析几何的方法与技巧》《圆锥曲线的几何性质》《三角与几何》
3º立体几何
推荐：《奥林匹克数学研究教程》中立体几何部分
《奥数教程》系列中向量部分。
《几何不等式》
代数
基本观点：元的理解和使用（代数变形），注意对称。
1º多项式：理解“不定元”
三个基本视角：系数，根，值
推荐：《奥数教程》高三
2º函数方程：注意函数的定义；一种二元关系。
方法：逐层递推，巧妙代元。
0，1，零点，不动点，单射，满射，单调，奇偶……
推荐：《题典.代数卷》
3º不等式：另见笔记
较易的不等式可以组合成较复杂的不等式。
推荐：《小丛书》两本，《湖南.代数卷》
数论
  注意整个理论体系，数论的体系性很强，同时基本理论中也包括了最基本的思想方法。任何一道数论题也都有相应的一串问题及明显的背景。但掌握体系必须符合人正常的思维规律。体系是从大量事实中抽象出来的，应先让学习者纯凭直觉做一些数论题，在适当的时候引导他自己发现更基本的规律，或给他点明不必强行追求“返璞归真”高级的理论自然是有用才会提出，如果它能揭示问题的本质就可大胆使用，而且应该使用。
  不定方程是竞赛的重点，注意代数变形在数论中的应用。
推荐：《初等数论》《数论讲义》
组合
  组合无体系，是纯直觉的。
推荐：《华南师大附中习题集》，环球城市竞赛题，俄罗斯赛题，《组合卷》（题典，湖南）
书目评论：
《华南师大附中习题集》：经典，特别是组合部分，题题经典，将灵巧流畅的解题及思维方式发挥到及至。
《叶军教程》：研究性很强,适合由老师认真研读后讲解。
《奥林匹克数学研究教程》：风格独特，有思想性，在时间充裕的情况下建议全书阅读。
《走向IMO》：好题不少，但难度太大，可用于少数选手在专题训练时配合使用。


我有一个信仰:尊重
我有一个态度:认真

也许生命真的是一场梦.
那么,让我们来放风筝吧
在梦里放风筝
看,它飞得好高,好高.

让我的目光更犀利
让我的呼吸更深沉
让我的思维飞起来
让我的世界亮起来


[楼 主] | Posted: 2006-08-08 15:44.

可是喜欢这个

我有一个信仰:尊重
我有一个态度:认真

也许生命真的是一场梦.
那么,让我们来放风筝吧
在梦里放风筝
看,它飞得好高,好高.

让我的目光更犀利
让我的呼吸更深沉
让我的思维飞起来
让我的世界亮起来.

让大家耐心等候几何爱好者的出现!.

封老师，我家孩子上初一，现在正好接触到几何，非常想带他来听听您的讲座，不知如何报名？（不知道怎样做既能报上名，又不会有“枪手”的嫌疑？）.

真热闹呀，报个到。.

引用:

原帖由 老殿 于 2007-3-17 10:48 发表

真热闹呀，报个到。

欢迎你，老殿！
期待中的那位“老板迷”终于出现了。

老殿就是我上次说起过的那位吉林的信息科技老师，却又是“几何画板”中的武林高手。

我们希望老殿以昔日的热情，为几何论坛带来些波澜， 让大家感受画板给我们带来更多的快乐。

记得两年多前首次收到老殿来信时，我正处在寂寞中。

现在，我们的论坛正期待更多热心的爱好者！.

我有一个信仰:尊重
我有一个态度:认真

也许生命真的是一场梦.
那么,让我们来放风筝吧
在梦里放风筝
看,它飞得好高,好高.

让我的目光更犀利
让我的呼吸更深沉
让我的思维飞起来
让我的世界亮起来

这首由金牌高手所撰写的优美的诗歌，将会成为我们“英才教育”理念最好的诠释！

生命不止是一场梦，而更是一首诗歌。
让大家都唱出最好的声音来！.

板迷属实，高手不敢当。 能和老封成为知交，更是人生一大快事。
初次登场，也没有什么准备，我弱于竟赛，最喜欢使用画板研究数学问题，就将给同学的数学研究课题贡献出来（可惜适合初中生研究的课题屈指可数，权作引玉之砖）吧，也不知道是否与论坛主旨是否相符，请大家垂教：
1、初二学生已经熟悉平移、旋转、对称变换，孤立看来三者之间是相互独立的。试研究三者之间的关系。（提示，可以从研究复合变换入手，例如，两次连续对称变换与平移、旋转之间的关系，完成后，讨论再逆命题）
2、初三学生熟悉二次函数图像，试讨论三个系数对抛物线顶点的影响，发现一些新轨迹。.

好久未与大家交流了！
最近忙于安排一次数学公开测试，初中各个年级的同学都可以来参加。
现在时间已经定下来了：
就是本周五晚上的7点，地点就在上次公开课同一地方。
欢迎大家前来！.

测试的时间恰巧与老姜的小三班首次课程安排在同一时间、同一地点！
会不会过于热闹啊.

儿子只有4年级，希望1、2年以后还有机会上您的课。.

引用:

原帖由 TINA1888 于 2007-3-29 09:47 发表
儿子只有4年级，希望1、2年以后还有机会上您的课。

好的，欢迎。.

什么叫卷土重来？我想起《闪闪的红星》里某恶霸的一句话：“我胡汉山又回来了，过去……谁拿了我的，都给我还回来；谁吃了我的，都给我吐出来！！！”（电影画面特写：胡汉山一双恶狠狠的眼睛。）.

引用:

原帖由 老姜 于 2007-3-29 10:11 发表
什么叫卷土重来？我想起《闪闪的红星》里某恶霸的一句话：“我胡汉山又回来了，过去……谁拿了我的，都给我还回来；谁吃了我的，都给我吐出来！！！”（电影画面特写：胡汉山一双恶狠狠的眼睛。）

学到的知识可吐不出来啊.

我离得太远了，孩子没机会参加了。有电子版试卷吗？如果有（适合初一学生的）试卷请寄来一份。.

引用:

原帖由 老殿 于 2007-3-29 16:34 发表
我离得太远了，孩子没机会参加了。有电子版试卷吗？如果有（适合初一学生的）试卷请寄来一份。

好的，明天考完后我会给你发过去的。.

这么晚了，还在线。 你那么忙，不用着急发信件。.

引用:

原帖由 老殿 于 2007-3-29 17:46 发表
这么晚了，还在线。 你那么忙，不用着急发信件。

想必老殿也忙的。.

引用:

原帖由 老姜 于 2007-3-29 10:11 发表
什么叫卷土重来？我想起《闪闪的红星》里某恶霸的一句话：“我胡汉山又回来了，过去……谁拿了我的，都给我还回来；谁吃了我的，都给我吐出来！！！”（电影画面特写：胡汉山一双恶狠狠的眼睛。）

什么都可以吐出来，只有知识永远是自己的。
除非把实体消灭了，精神才可能完全消失了。.

引用:

原帖由 老猫 于 2007-3-30 11:10 发表

除非把实体消灭了，精神才可能完全消失了。

此言差矣，世界上没有不倒的殿堂，只有不倒的精神，消灭肉体又有什么，精神可以代代相传，这是很可怕的事情。.

引用:

原帖由 老封 于 2007-3-30 09:19 发表

想必老殿也忙的。

是啊，为一些琐事忙得不可开交，很烦，只有坐下来讨论几何问题时才得安稳。对了，数学公开测试结束了吧？效果不错吧。
对了，老封，Ceva定理构形的三个完全四线形的外心圆共点问题，所共之点如何作出（类似Miquel点作图，三个圆的四个交点拖动时会互换）.

引用:

原帖由 老殿 于 2007-4-12 08:00 发表


是啊，为一些琐事忙得不可开交，很烦，只有坐下来讨论几何问题时才得安稳。对了，数学公开测试结束了吧？效果不错吧。
对了，老封，Ceva定理构形的三个完全四线形的外心圆共点问题，所共之点如何作出（类似 ...

老殿:我最近也有些忙.
下午花了一个小时研究这个图形,却一无所获.
看来这并不是个重要的结构,而是一个比想象中更为复杂的结构.
从地位上看,外面三点和当中那点处在不同的层次,所以说三个完全四线形并不是由4个平等的点所决定,而是属于3+1型的.
因此三个外心圆虽说的确共点,但所共点我认为不太会有什么简单性质.我也无法想出有效的作图法.

[ 本帖最后由 老封 于 2007-4-12 14:38 编辑 ].

过三个Miquel点的圆好象也经过这个点!
以前我们发现过这个结论吗.

昨天,我国奥数界的泰斗级人物单墫教授来到上海,与一批初二的小同学见了面.同学们对单爷爷的到来表示热烈的欢迎!
单教授欣然题了一幅辞:
精神长久
文明进步

[ 本帖最后由 老封 于 2007-4-12 16:43 编辑 ].

熊老师，姜老师，魏老师都赶来看望单教授，与单教授亲切交流。
大家还一起讨论了几个有趣的几何题呢。
在不久的将来，单教授又会有一部新著面世：《我怎样解题》
这可是解题大师的心得之谈啊！

[ 本帖最后由 老封 于 2007-4-12 15:42 编辑 ].

引用:

原帖由 老封 于 2007-4-12 15:17 发表
熊老师，姜老师，魏老师都赶来看望单教授，与单教授亲切交流。
大家还一起讨论了几个有趣的几何题呢。
在不久的将来，单教授又会有一部新著面世：《我怎样解题》
这可是解题大师的心得之谈啊！

啊哈，说到我了，冯先生，这本书不要忘了送我一本哦。.

这是个新结论，但我没看到它的重要性，本来想研究一个点列对应的轨迹，只是这个点不好确定，才提出这个作图问题的，看来暂时还真不好处理。.

这些孩子真有福气。单教授一定还很健壮吧。

[ 本帖最后由 老殿 于 2007-5-6 10:09 编辑 ].

祝贺单教授又新著将面世，单老的书我是必看的，读单老的书可谓是一种享受，期盼《我怎样解题》早日问世。.

引用:

原帖由 老殿 于 2007-4-12 16:06 发表
这是个新结论，但我没看到它的重要性，本来想研究一个点列对应的轨迹，只是这个点不好确定，才提出这个作图问题的，看来暂时还真不好处理。

我认为这种对应是高次的，而且次数比较高，所以十分复杂。
曾猜了几种可能性，一一被否定了。
单教授身体比较健康，他今天一早又回南京了。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-4-12 16:40 编辑 ].

三个Miquel点所决定的圆也许比那四个圆的所共点更重要些。但目前也没找到其性质。当中间一点取垂心时，这四个圆全都重合于九点圆——这是一种比较特殊的情况。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-4-12 16:40 编辑 ].

刚刚发现，每个点和对面那个Miquel点的连线是共点的！
这可算是个很漂亮的结论啊！
（注：所谓Miquel点M1，指的是△BPF和△CPE外接圆的第二个交点；M2和M2依此类推。）.

引用:

原帖由 老封 于 2007-4-12 16:39 发表
三个Miquel点所决定的圆也许比那四个圆的所共点更重要些。但目前也没找到其性质。当中间一点取垂心时，这四个圆全都重合于九点圆——这是一种比较特殊的情况。

哈哈！你果然在线，在你的提示下，我终于把那个点确定下来了，如下图所示，画板文件马上寄到你的邮箱里。

红色为圆及其对应曲线，绿色为直线及其对应曲线。.

引用:

原帖由 老封 于 2007-4-12 16:57 发表
刚刚发现，每个点和对面那个Miquel点的连线是共点的！
这可算是个很漂亮的结论啊！
（注：所谓Miquel点M1，指的是△BPF和△CPE外接圆的第二个交点；M2和M2依此类推。）

真是漂亮！再考虑一下动点对所共之点的影响吧。.

老殿：这个结论以前有过吗？.

点列对应三角形的一条外接圆锥曲线！.

我又有了个新的发现！更加奇妙：
此图中，D、E、F、D′、E′、F′这六个点居然是共圆锥曲线的！
几何世界的奥妙真是让人难以预料啊。.

引用:

原帖由 老殿 于 2007-4-12 17:19 发表
点列对应三角形的一条外接圆锥曲线！

我不明白你这句话的意思。请解释一下.

引用老封的新发现。


[ 本帖最后由 老殿 于 2007-4-12 17:29 编辑 ].

当点P在在直线上运动时，AM1、BM2、CM3所共之点轨迹为三角形ABC的一条外接圆锥曲线！有点类似等角共轭性质。.

这是塔克图形性质的延续，表明当三角形边上六点共圆锥曲线且又满足Ceva定理时，整个图形还与完全四边形的Miquel点有关！
这是一个深刻的现象，值得深思。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-4-12 18:16 编辑 ].