发新话题
打印【有4个人次参与评价】

[数学] 两道数学题的思考

两道数学题的思考

经过了一段时间的恶忙,终于得以短暂的空闲来关心小孩子的学习了。

这两天看了一下小家伙的数学题,有两道题目引起了我的兴趣。题目大意如下:

1. 要排一个每边有25人,有6层的空心方阵,共需要多少小朋友?
2. 某人上楼梯一次可以上一阶或者两阶,问他要上5级台阶共有多少种走法,如果要上10级台阶有多少种走法。.

TOP

对于第一题我的解法是:

最外一圈每边25人,则里面一圈每边就应该是23人,接下去一圈每边21人,那么6圈每边人数应该是25,23,21,19,17,15

每圈人数应该是每边人数*4-4

因此各圈人数分别是96,88,80,72,64,56,则总人数为456人。.

TOP

谁知当我辛辛苦苦把我的解法灌输给他时,小子居然说我的方法不灵,说他有一个更好的方法,有公式:

空心方阵总人数=(最外圈每边人数-圈数)*圈数*4

看着这个诡异的公式,我禁不住怀疑其可靠性,当然要验证一下,果然:

(25-6)*6*4=456.

TOP

我就在想一个问题,这个公式是怎么推导出来的呢。

于是决定自己验证一下:

假设每边有X人,空心方阵有N层

那么最外一圈人数为: 4X-4
次外圈应该是: 4*(X-2)-4 (每靠里一层,每边会减少2人)
那么最靠里面的第N圈人数是: 4*(X-2*(N-1))-4

利用等差数列求和公式就可以推导出上面的公式.

TOP

宏哥,一出手,就是精彩之作啊!
希望引来更多精彩讨论!

[ 本帖最后由 隆隆爸 于 2009-6-30 16:53 编辑 ].

TOP

而第二题五层台阶我用穷举法可以算出有8种走法,但10级台阶我怎么也算不出来了。询问小子原来也有相应的公式,

如果上2层台阶,只有11,2两种走法
如果上3层台阶,可以有111,12,21三种走法
4层台阶,可以是1111,112,121,211,22五种走法
5层台阶,类似的用穷举法有八种走法

其规律是每增加一级台阶,就是前面两级台阶走法之和,即:

4层台阶: 5=3+2(3层台阶走法+2层台阶走法)
5层台阶: 8=5+3(4层台阶走法+3层台阶走法)

由此可以类推10层台阶走法为89种,我暗自庆幸幸亏没有用穷举法,否则就挂了。这个公式我是怎么也推导不出来,不禁佩服那些数学专家呀。.

TOP

回复 5#隆隆爸 的帖子

解题本身不是关键,主要是通过这两个题目引发的思考,我们学习数学的目的和意义何在?

我认为其实我们学这么多年的数学,大多数都是没有什么太大作用的。想想真正我们日常生活中对数学使用了多少。

那么为什么我们还要学习数学呢?同时我们也可以看到现在的一种趋势,小升初选拔时对数学的重视程度已经超过了外语,难道那些教育学家或者是中学校长都是吃干饭的?

仔细想来,其实我个人认为学习数学最大的目的在于培养一种逻辑思维的能力,人们只有有了逻辑思维能力,才有可能更好地去学习。试想一个思维混乱的人有可能学习或工作很好吗。

原来,数学是帮助人们提高逻辑思维能力的一个重要工具。.

TOP

如果我的想法是正确的,那么就可以解释为什么现在那么重视数学了,学好数学意味着培养和提高可持续发展能力,所以现在很多学校都很重视数学。

如果是这样,我想我们应该给奥数正名。看到在好多地方,人们在批判奥数。对其残害青少年儿童的罪行口诛笔伐。其实我想奥数本身并没有错,发明奥数的人也没有错,错的应该是我们很多人看待奥数的心态和想法。.

TOP

所谓奥数本来就不应该和数学割裂开来,无非可能是解这类题目需要一些思考而已,就因为这点就得在其前面加个“奥”字以增加其神秘感,难道平时做数学题就不用思考了么?

我认为还是我们在对待奥数的态度中出了问题。

以我前面的题1为例,此题说难不难,做为小学生如果勤于思考,按照我的解法一步步分析推理应该也是可以做出来的。而孩子就在这个过程中逐步锻炼和培养他们的逻辑分析能力,我认为这就是奥数或者说数学的意义所在。

但是如果我们急功近利,直接给出公式,这样确实会提高效率,而且大大提高解题速度和准确率,以后只要看到空心方阵的题目直接一套公式,又快又好。但是这种没有过程的解题方法,其意义又在哪里呢。

问题是如果现在不给孩子公式,那孩子出去在参加各种竞赛时根本没有竞争力。人家小孩题目一看公式带入,1分钟解决问题,而这边还在辛辛苦苦地研究发现规律,怎么能够去比呢。

这就引出了一个问题,究竟奥数该不该学,该怎么学。.

TOP

这里想说明一点,我一点也没有批评直接给公式的意思。

每个人有每个人的想法,我们的老师也是很为难。你如果在那里吭哧吭哧推吧,还不是每个小朋友能够理解,而有的家长面对考试竞赛的压力,其思路有可能就是成绩当先。不出成绩就怀疑老师能力。老师迫于压力只能采取简便易行的方式,帮助学生总结规律,最后形成了一大堆的数学公式。学生根本不用去想为什么,看到什么题型脑子就去反映相应的公式即可。

这种教育模式,其结果就是看哪个老师掌握的题型面广,总结的公式最直接有效。而学生就是比看谁见过的题目多,到了考试的时候就是见过的题目就会做,没见过的题目就放弃。

当然这也是对学生能力的一种考验,但这是比谁的记忆力好,我想应该是与学习数学的培养目的不一致吧。.

TOP

讲到这里,我们家长应该怎么做,这个奥数到底要不要学。

我的想法是还是要学。因为毕竟逻辑思维能力还是相当重要的,现在研究生的入学考试就需要靠逻辑题,就说明逻辑思维的重要性。

那么对于家长而言,我认为也不能一概而论。毕竟考试升学也是重要的,套用公式确实有其明显的优势。但完全采取这种教育方法则不可取,我认为比较好的是二者的结合。既有分析思维的一面,又有应对考试的一面,而且二者结合可以让孩子更好地理解和记忆公式。

当然在孩子的不同阶段,两者的侧重点可以有不同。对于比较小的孩子,我认为可以多培养他分析归纳,找到问题的规律,对于较大的孩子,已经有了一定分析能力,同时又需要应对升学压力,可以多讲一些公式。

具体怎么做,我想这中间的选择和决定权还在家长,在给孩子报班的时候应该和老师有充分的沟通,让老师知道你的目的和需求,看是否与老师的教学思路相对应,同时也要结合孩子的自身特点,正确选择难度适宜的学习内容。.

TOP

我相信只要家长正确对待奥数,加上老师的悉心指引,孩子会喜欢上这个既有趣又好玩的东西。.

TOP

  老大的分析比较理性、客观!如果大家都像您这样,对待孩子学奥数就会有正确态度和方向了。.

TOP

补充:题2的排列组合解法

10级台阶,每次走一级或两级。

假设A为走两步,B为走一级。则有下面的几种情况,最后一列走法数为每一种情况下对应的走法数量。

例如第二行,就是走4个两级台阶,2个一级台阶,可能是222211,也可能是211222,很多很多。其差异无非就是1和2的位置不同,其结果就相当于是在6个位置中放两个1,其可能方法就是C62

方案        A(两级)        B(一级)        走法数
全2级        5         0         1
4个2级        4         2         C62
3个2级        3         4         C73
2个2级        2         6         C82
1个2级        1         8         C91
一次一级        0         10         1

把所有的走法数相加就是1+ 15+ 35+ 28+ 9+ 1=89

此题难度~~~~

[ 本帖最后由 宏哥 于 2009-6-30 17:08 编辑 ].

TOP

怀疑是科学的本质

引用:
原帖由 宏哥 于 2009-6-30 14:12 发表 \"\"
谁知当我辛辛苦苦把我的解法灌输给他时,小子居然说我的方法不灵,说他有一个更好的方法,有公式:

空心方阵总人数=(最外圈每边人数-圈数)*圈数*4

看着这个诡异的公式,我禁不住怀疑其可靠性,当然要验证一下 ...
楼主的怀疑和验证在这里是一个亮点,不能满足于老师给出的公式,遇“式”总是多问一个“为什么”,才能搞清楚来龙去脉。
至于说到应付考试,迫不得已使用些小聪明,大概每个人都很难避免。不过学问历来都是扎扎实实的,容不得半点虚伪。那些小聪明可以在胆战心惊中偶尔为之,如长期如此最终必是害了自己。.

TOP

引用:
原帖由 宏哥 于 2009-6-30 17:00 发表 \"\"
10级台阶,每次走一级或两级。

假设A为走两步,B为走一级。则有下面的几种情况,最后一列走法数为每一种情况下对应的走法数量。

例如第二行,就是走4个两级台阶,2个一级台阶,可能是222211,也可能是211222, ...
这道题可以引申到自然归纳法,我们可以根据1、2、3的总结归纳出N的情况。

如果否认了1、2、3的规律可以用于4、5、6、、N,那么对规律的研究便失去了意义。
我们无法穷举和证明一个无限的集合,但可以根据一个有限的集合延伸到无限,这便构成科学的基础。.

TOP

回复 3#宏哥 的帖子

小学奥数还搞什么记公式,那个奥数老师脑子进水了。小学奥数只有排列组合需要记一点点公式,别的题目没有什么需要记公式的。奥数的目的是锻炼孩子的思维,这个题稍稍变化一下,比如里面每圈的每边比外面一圈少4个人,这个公式就不灵了。宏哥自己教教,都比那个老师强得多。.

TOP

洋洋说第一题只要算出最外圈需要96人,内圈每缩小一圈减少8人·,6圈就得到96,88,80,72,64,56然后相加就可以得到456..

TOP

精彩啊!.

TOP

引用:
原帖由 宏哥 于 2009-6-30 14:12 发表 \"\"
谁知当我辛辛苦苦把我的解法灌输给他时,小子居然说我的方法不灵,说他有一个更好的方法,有公式:

空心方阵总人数=(最外圈每边人数-圈数)*圈数*4

看着这个诡异的公式,我禁不住怀疑其可靠性,当然要验证一下 ...
路过,拜读了,LZ真是有心人啊!

第一题的公式,还想到个容易让小孩子接受的法子:
论方阵的各边长,第一圈的25和第六圈之间差12(即6*2),就是“圈数*2”;
那么边长的中间数就是“(最外圈每边人数-圈数)”;
如此一侧的边长和就是“(最外圈每边人数-圈数)*圈数”;
方阵四侧的总边长和就是“(最外圈每边人数-圈数)*圈数*4“了。.

TOP

谢谢分享!.

TOP

好贴,收藏!.

TOP

顶!
     虽然说实话,我没怎么看懂,呵呵。留个印,以后有用!.

TOP

呵呵,这些老贴子都被顶出水面了啊.

TOP

发新话题