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姜老师在线——竞赛大冲浪——初中数学竞赛问题选1

姜老师在线——竞赛大冲浪——初中数学竞赛问题选1



[ 本帖最后由 老姜 于 2008-9-12 09:40 编辑 ].

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试试看

因为S△BDE=S△CDE+S△BCD+S△BCE
所以原题等价于求证S△ADE= S△BCD+S△BCE

过点E作AD和BC延长线的垂线,分别交于F和G。

S△BCD+ S△BCE
=BC*FG/2+ BC*GE/2
=BC*(FG+GE)/2
=AD*EF/2 (平行四边形对边相等)
=S△ADE

证毕.

附件

20080912.GIF (4.58 KB)

2008-9-12 12:19

20080912.GIF

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极好的方法。.

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还能不能找出其他方法?我找了三种,一种是你的。.

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谢谢姜老师出题,真辛苦您了。
最近小人开始学几何了,所以没事自己也一起捣腾捣腾,呵呵。
其它方法留给他周末去思考思考,再来汇报。.

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从A点向DE做垂线,交DE延长线于F点,
从B点向DE做垂线,交DE于G点,
从C点向DE做垂线,交DE于H点,
延长BC,交DE于I点,
从A点作DE平行线,分别交BG、BC于J和K点,
因为AJ//DE,AF//BD,所以AF=GJ,
又因为AD//BI,AK//DE,所以AD=KI,所以BK=CI,
即三角形BJK全等三角形CHI,所以CH=BJ,
即高BG=高AF+高CH
得证。.

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第二种方法有了。我的最好的一种方法还没有人提到。.

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过B点作DE的平行线BF,交EA延长线于F点,
可证得S△DEC=S△ABF=S△ADF,
S△BDE=S△FDE=S△ADE+S△ADF.

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这算一种吗?思路如下:

过点B、E分别作CE和AD的平行线,交于F,连接AF。
容易证得△ABF全等△CDE,△ADE全等△AEF。
这样原题就等价于求证S△DBE=△ABF+△AEF。
而S△ABF+S△AEF=S四边形ABFE=S△ABE+S△BEF
又,S△DBE=S△BCD+S△CDE+S△BCE
其中,△BCE全等于△BEF(平行四边形性质),
所以,原命题就等价于求证,S△ABE=S△BCD+S△CDE
因为AB和CD平行且相等,所以上述等式很容易得到。.

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20080912-2.gif (4.99 KB)

2008-9-12 17:08

20080912-2.gif

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蛮有意思的题目,期待第三者方法

[ 本帖最后由 mwt5671 于 2008-9-12 18:13 编辑 ].

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上述诸法兜来兜去,都未能跳出证法一的“俗套”,从本质上讲,各种证法的意思大同小异的。

谁能把隐藏在原问题背后的东西揭示出来呢

[ 本帖最后由 老姜 于 2008-9-12 21:44 编辑 ].

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DE同底.

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DE平移到C 点,即可知两高之和等于另一高。.

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猜测一下,15楼是姜老师想要的第三种证明。

16楼是姜老师原来在想的东西,怕贴出来吓到大家。这种坏事就我来做吧。.

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引用:
原帖由 老猫 于 2008-9-13 00:12 发表 \"\"
猜测一下,15楼是姜老师想要的第三种证明。

16楼是姜老师原来在想的东西,怕贴出来吓到大家。这种坏事就我来做吧。
老猫一语道破天机。

这个问题的实质是:平行四边形每组相对的顶点到同一条直线的距离之和都相等。

这一点,很容易用梯形中位线定理证得。

在本题中,D到直线DE的距离为零。显然,这一情形属于上述一般结论的特例了。

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漂亮啊,本质。
有感觉,但就是归纳不到这个程度,佩服佩服!.

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这里好作为家长培训学校了!

音响里放着 十八首全球最好听的女声, 把各种解题思路从简到难, 又由繁入简地细细琢磨过来, 真是一种享受呀. 这种脑部运动跟身体运动一样让人宠辱皆忘, 百闹归静.

[ 本帖最后由 wealth37 于 2008-9-13 12:31 编辑 ].

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都是家长在做,爸爸妈妈奥数培训班,哈哈.

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请教一题:
        有1997个奇数,他们的和等于他们的积,若其中只有三个数不是1,且为三个不同的质数,求这三个数.
这是孩子的作业,请教WW上的爸爸妈妈了,谢谢!.

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5  7    59.

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thank you.

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