【1】等腰直角△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E。求证BD＝2CE。
这题通常的做法是延长CE、BA交于F，证Rt△ABD≌Rt△ACF，且△BCF是等腰三角形，于是BD＝CF＝2CE。
图1
在精文平面几何早教班的一次课堂练习中，两位小同学当场找出了各自的新方法。

市西初级中学钱兆城的证法：
作DF⊥AC交BC于F，再作FG⊥BD于G。

图2

由AB⊥AC及DF⊥AC得AB∥DF，于是∠DFC＝∠ABC，即△DFC也是等腰直角三角形。
而由∠DFC＝2∠DBC知△FBD是等腰三角形，于是FB＝FD＝DC
由此说明Rt△FBG≌Rt△FDG≌Rt△DCE，因此BD＝2CE。

市北初级中学张立诚的证法：
取BC和BD的中点M、N，联MA、ME、NA和AE。

图3
由直角三角形斜边上中线定理知MA＝ME＝MC。又∠EMC＝2∠EBC＝45°，而∠AMC＝90°，且AM＝MC，由此△AME≌△CME，得AE＝EC。①
∠AEN＝∠AEM－∠BEM＝∠CEM－22.5°＝∠MCE－22.5°＝（45°＋22.5°）－22.5°＝45°；∠ANE＝∠ABN＝45°。故∠AEN＝∠ANE，得AN＝AE。②
又在Rt△ABD中，BD＝2AN。③
由①，②，③即得结论。

（注：这两位同学都只有预初年级。）

[ 本帖最后由 老封 于 2008-12-19 01:38 编辑 ].

【2】今年刚刚举办的上海市初中数学竞赛（新知杯）中有道几何题是：

求出下图“人”字形中折线PQR的长度。

图1

我的思路是：由图中那对直角三角形全等（其实题中含有多余条件：由1＋3＝2＋2和7－5＝10－8都能说明这一点）得两角相等，这表明△PQR是等腰的，于是取长补短后可改为求MQ＋RN，即（7×3＋5×1）÷4＋（10＋8）÷2＝15.5。

而蕴秀斋的儿子（今年读初二）虽遗憾错过参加今年比赛的机会，但他在第一时间即给出了如下更便捷的做法：

图2
设折线的两段为x、y，由梯形面积的求法列出方程式：
（x＋7）×1＋（x＋5）×3＋（y＋10）×2＋（y＋8）×2＝（7＋5）×4＋（10＋8）×4，
立即解得x＋y＝15.5。.

【3】梁绍鸿《初等数学复习及研究（平面几何）》习题十四第15题是：

“P是△ABC的BC边或延长线上一点。若有X、Y、Z三点，使得△XBP与△YAC、△XCP与△ZAB各真正相似。求证这三点共线，且(XY/XZ)=(PC/PB)。”

图1

原书中有如下提示：作△YAC及△ZAB的外接圆。尚强先生补全了这一证法，共分如下几个步骤：

图2


〖证明〗（1）设⊙ZAB与⊙YAC相交于Q。
由△XBP∽△YAC，△XCP∽△ZAB，∴ ∠AQZ＝∠ABZ＝∠CPX。  ①
又∠AQY＝∠ACY＝∠BPX，  ②
∴ ∠AQZ与∠AQY互补，故Y、Q、Z三点共线。

（2）∠BQC＝∠BZA＋∠CYA＝∠PXC＋∠PXB＝∠BXC，
∴ X、C、B、Q四点共圆。
∵ ∠CQX＝∠CBX＝∠PBX＝∠CAY＝∠CQY，
∴ X、Q、Y三点共线。

（3）设XP交ZB于K，作⊙KPB、⊙KXZ，设其交点为S，则S为△XCP与△ZAB的相似中心，有△SPB∽△SXZ，∴ SP/SX＝PB/XZ。  ③

（4）S也是△XBP与△YAC的相似中心，有△SPC∽△SXY，∴ SP/SX＝PC/XY。  ④
由③，④得 XY/XZ＝PC/PB。


我也给出了一种证法，虽不用到圆，但思路亦稍显诡异：

图3


〖证明〗作△QAZ∽△XBZ，联QY和QX。
先证△QAY∽△XCY：
一方面，由∠XBZ＋∠XCY＋∠ZAY＝（∠XBZ＋∠YAC）＋（∠XCY＋∠ZAB）＋∠BAC＝（∠XBZ＋∠XBP）＋（∠XCY＋∠XCP）＋∠BAC＝（∠ZXB＋∠ABC）＋（∠YCA＋∠ACB）＋∠BAC＝（∠ZXB＋∠YCA）＋（∠BAC＋∠ABC＋∠ACB）＝（∠XPC＋∠XPB）＋180°＝180°＋180°＝360°，这表明∠QAY＝360°－∠QAZ－∠ZAY＝∠XCY。  ①
另一方面，OA/AY＝（OA/AZ）×（AZ/AB）×（AB/AY）
＝（BX/BZ）×（XC/PC）×（AB/AY）
＝（XB/AY）×（XC/PC）×（AB/BZ）
＝XC×（BP/（AC×XP））＝XC/CY。  ②
由①，②即证得△QAY∽△XCY。

再由旋转型相似，得△QXZ∽△ABZ且△QXY∽△ACY，
∴∠QXZ＋∠QXY＝∠ABZ＋∠ACY＝∠XPC＋∠XPB＝180°，即Z、X、Y三点共线。
且 XY/XZ＝（XY/XQ）×（XQ/XZ）＝（CY/CA）×（AB/BZ）＝（XP/PB）×（PC/XP）＝PC/PB。


上海世界外国语学校竺毅纯同学（初三）新近所得到的证法最为漂亮：

图4


〖证明〗过B作BQ∥PX，交CX延长线于Q，联ZQ。
由△QBC∽△XPC∽△ZBA，得△ZBQ∽△ABC。
于是，QZ/QX＝（QZ/QB）×（QB/QC）×（QC/QX）＝（AC/BC）×（XP/XC）×（BC/BP）＝（AC/BP）×（XP/XC）＝（CY/XP）×（XP/CX）＝CY/CX；
又∠ZQX＝∠ZQB＋∠BQX＝∠ACB＋∠CXP＝∠ACX＋（∠CXP＋∠XCP）＝∠ACX＋∠XPB＝∠ACX＋∠YCA＝∠YCX。
由此△ZQX∽△YCX，得∠QXZ＝∠CXY，这就表明Z、X、Y三点共线。
且XY/XZ＝XC/XQ＝PC/PB。

补记：上面这种证明其实出自田廷彦老师。竺同学是从他的书中看来的哈！

[ 本帖最后由 老封 于 2009-5-26 16:12 编辑 ].

【4】2008年在广东中山纪念中学举行的第7届国际女子数学竞赛的第5题是由我提供的：

图1

给出的标答是：

图2

〖证明〗将B、E、F、D四点所共圆的圆心记作O。联OB、OF、BD。
在△BDF中，O是外心，故∠BOF＝2∠BDA；
又△ABD∽△CBD，故∠CDA＝2∠BDA。
于是∠BOF＝∠CDA＝∠EPD，
由此可知等腰△BOF∽△EPD。   ①
另一方面，由B、E、F、D四点共圆知△ABF∽△ADE。   ②
综合①，②可知，四边形ABOF∽四边形ADPE，
由此得∠BAO＝∠DAP。   ③
同理，可得∠BAO＝∠DAQ。   ④
③，④即表明A、P、Q三点共线。


西安西安工大附中程景春（高二）给出了一种更精彩的证法：

图3


〖证明〗作平行四边形AEDT及AFBS，联CT、CS。
先证△ADP∽△CAT，故∠PAD＝∠ACT。   ①
同理△ABQ∽△CAS，故∠QAB＝∠ACS。   ②
又易证△SBC∽△TDC。
∴∠PAD＋∠QAB＝∠SCT＝∠BCD＝∠BAD，这就表明A、P、Q三点共线。

而美国队的女选手Colleen Lee (CA)给出的方法同样让人叫绝：

图4

〖证明〗在AC上取P0、Q0，使得
△AP0D∽△ADC∽△EPD，
△AQ0B∽△ABC∽△FQB，
由旋转型相似得：△P0PD∽△AED，且△Q0QB∽△AFB，
于是AP0/P0P＝DP0/P0P＝AD/AE，且AQ0/Q0Q＝BQ0/ Q0Q＝AB/AF。
由B，E，F，D四点共圆知AD/AE＝AB/AF，由此AP0/P0P＝BQ0/ Q0Q。   ①
又∠AQ0Q＝∠AQ0B＋∠BQ0Q＝∠ABC＋∠BAD＝360°―（∠ADC＋∠BCD）＝360°―（∠AP0D＋∠DP0P）＝∠AP0P。   ②
①，②表明△AP0P∽△AQ0Q，即A、P、Q三点共线。


希望本帖能成为一条开放的帖，不断由高手来谱写新篇。.

[ 本帖最后由 xyq2100 于 2008-12-30 16:38 编辑 ].

最近，翻出了十多年前的一些旧信。其中看到一封尚强兄1991年的来信。

“××友：

您好！10月20日收到赠书和信，非常高兴。

对《几何作图问题解法》一书我渴望已久，在做梁书题解作图难题时，曾有人告诉我可找此书查一查，到今未找到，没曾想您给我送来一本，非常欢喜，急不可待翻一翻，果然是本好书，梁书作图基本上沿袭此书。

由于我这地方小，马鞍山市58年才成立，年代久一点的资料少，实在无法给您提供有价值之资料，真抱歉。我这里有秦元勋的《几何学通论》（49年写，59年商务印书馆印）我觉得是一本好书，美极了，图书馆容易找到此书。《近世综合几何学》（日本吉川实夫著，王邦珍译，中华民国十四年初版）也是一本好书。不知您有否？

您说的梁先生《三角形重心的宝藏》一文我没有读到。我手头的资料太少，所以当时做梁书题解时，我花了极大努力和心血，现在回想起来真有点‘怕’。

您说现在的作图书不理想，我有同感，不仅于此，而且现在的几何书也不想看。几何研究实在太冷了，是不是几何过时了呢？我觉得几何在训练人的思维方面大有用场。美国等‘新数学运动’的失败，和社会呼出‘回到欧氏几何’的口号是有道理的。我准备写篇《欧氏几何的再认识》，已经为此写了一万多字的读书笔记。以大量事实说明欧氏几何对现代数学发展的重要性。

我看今年全国高中联赛二试第二题是一个好题，有单墫老师的影子，题目也许不是单老师提供的。我想到下面一个问题：

面积为1的△内是否存在一个凸四边形ABCD，使△ABC、△BCD、△CDA、△DAB的面积均大于1/4。

我既没证出，也没否定。探求过程中，得到如下一个结论。（已证出）

如图S△ABC＝1，E、D是AB、AC上任一点，则△BCD、△CDE、△DEB、△BCE至少有一个不超过1/4。

关于您的那道共点题★，我将按您的要求准备，有关材料适当时寄来。

祝友万事如意！

友：尚强
91.11.4”


★补注：尚强先生关于这道共点题的评述，后刊发于《数学通讯》1992年第11期“问题征解栏”。

尚强现任职深圳市教科院院长。.

期待下次的开课~~~~.

希望能有初一的班级.

您好！我们这里有开设初一的奥数班，详见我们的招生简章http://ww123.net/baby/viewthread ... 3D1%26cycleid%3D714.

如图，在△ABC外围作三个正方形。求证：AO⊥EF，且EF＝2AO。
其中O是BC外正方形的中心。

老封的证法是：

先证△AEF∽△ADC，得EF＝√2•DC，且EF与DC的夹角是45°；①

再证△BDC∽△BAO，得DC＝√2•AO，且DC与AO的夹角也是45°。②

由①、②即知，EF＝√2×√2•AO＝2AO，且EF与AO夹角是90°。


北京人大附中初二同学魏宏济的证法是：

作△ABC点关于O的中心对称三角形A′B′C′。
易知EC垂直且等于AC′。将AC′平移至A′C，即得EC垂直且等于A′C。
又因AC垂直且等于FC，于是△EFC≌△A′AC。
两者对应边夹角都为90°，因此EF垂直且等于AA′，即2AO。.

如图，在凸五边形ABCDE中，AB=AE，∠B=∠E=90°，
P为CD上的点，满足　(CP/PD)=(BC/DE)。
求证：∠BEP=∠BAC，且∠EAD=∠EBP。


老封的证法是：

作△OAB∽△PCB，由此可证△OAE∽△PDE。
再由旋转型相似得：△OBP∽△ABC，且△OEP∽△AED。
最后由OBPE四点共圆证得结论。



北京人大附中初二女同学何婧铱的证法是：


作△AD′B≌△ADE，由此△AD′D∽△ABE，得∠ADD′＝∠AEB。
记DD′交BE于Q。由内角和易知∠EAD＝∠EQD。①
又由（BC/D′B）＝（BC/DE）＝（CP/PD）得BP∥D′D，于是∠EQD＝∠EBP。②
由①、②即知∠EAD＝∠EBP。同理∠BAC＝∠BEP。

（发不了图了！请参见这里：http://forum.cnool.net/topic_show.jsp?id=5783414&oldpage=5&thesisid=494&flag=topic1）.

精彩!.

老封老师:
      您好!给您拜个晚年了:祝新年快乐!
     上次您在菁英开的几何班,因为时间关系没能赶上.我们报的周日班没开 .
    所以,想再次请问:下次几何班什么时候上?我们现预初
    拜托了.

为提前培养孩子对平面几何的兴趣，并为其灌输正确的学习方法，同时也应众多之前错过老封老师平面几何入门课同学及家长们的强烈要求，我校特邀叶中豪（老封）老师再开设一期平面几何入门班。该班主要面对小学五年级及预初年级的学生，从平面几何基础起步，循序渐进。具体课程安排如下：

上课时间：2009年3月20日起每周五18：00－20：00
收费标准：100元/次，共10次
即日起开始报名
报名、上课地点：黄河路355号1号楼7楼711室（近新闸路，地铁一号线新闸路站5号出口）
咨询电话：63298698、63299930 菁英教育

叶中豪（老封）简介：
叶中豪，笔名老封，男，1966年生，上海人，民革成员，现任上海教育出版社副编审。
1983年获全国高中数学联赛第2名，美国数学邀请赛一等奖。
1988年毕业于复旦大学数学系，1996年被评为上海市十大藏书家。曾与熊斌共同主持《数学通讯》杂志“数学竞赛之窗”栏目（1991～1997），与陈计、葛军共同主持《数学通讯》杂志“问题征解”栏目（1998～2000）。近年来，致力于数学文化的传播事业，以老封的笔名与广大数学爱好者进行交流；并为中国国家奥林匹克数学队的培养尽力，负责其平面几何方面的培训。

[ 本帖最后由 菁英教育 于 2009-2-26 15:16 编辑 ].

     菁英教育特邀叶中豪（老封）老师于3月13日18：00—20：00在本校开设“奇妙而有趣的几何”免费公开课。该公开课主要面对小学五年级及预初年级的学生，旨在引领孩子领悟平面几何的奥秘所在，从中体会学习的乐趣，并初步让孩子了解几何画板的特点。即日起接受电话或现场预约报名，报名时请告知孩子的姓名，就读学校、年级及联系电话！

上课时间：2009年3月13日（周五）18：00－20：00

上课地点：黄河路355号1号楼7楼711室（近新闸路，地铁一号线新闸路站5号出口）

预约报名、咨询电话：63298698、63299930 菁英教育（每天9：00—20：00）

[ 本帖最后由 菁英教育 于 2009-2-26 15:11 编辑 ].

上面的题目是基础班的？天哪，怎么这么难啊。5年级的孩子（没学过奥数）看得懂吗？.

这些题目跨度很大，从小学高年级一直到高中阶段，有些证法出自国际竞赛的优胜者，如上面提到的女子竞赛题的两种妙证。

我这里保存着一份5年前由汪野同学给我的解答，当时他才初二，就参加我高中竞赛平面几何培训班.那天我出了一道题，并不是很容易：

“在任意三角形ABC周围作三个等腰三角形，其中△EAC和△FAB形状相同，而△DBC的底角与它们互余。求证：AD⊥EF。”

整堂课他都在积极思考，课一结束他就把一份正确的证明递交给我，写得十分精彩！

后来汪野同学果然脱颖而出，成为中国国家集训队的一名高手，可参见这里：

http://forum.cnool.net/topic_sho ... 494&flag=topic1

[ 本帖最后由 老封 于 2009-5-26 15:55 编辑 ].

题目很有难度啊!尤其是论证的思路和表达,看来我家的任重而道远啊.

请问叶老师的几何班还开吗？我们是刚完成了小升初的拼搏，向报名学习学习。.

平面几何入门班暑假会新开一个班级，具体上课时间本周确定，敬请留意.

关注中。.

谢谢！我们先预约一下！.

引用:

原帖由 菁英教育 于 2009-7-7 12:40 发表
平面几何入门班暑假会新开一个班级，具体上课时间本周确定，敬请留意

我家孩子今年9月升预初,可以参加老封的几何入门班吗?最近有没有新开的老封的班级适合我们的?请指点,谢谢..

引用:

原帖由 小圆圆妈妈 于 2009-8-26 16:26 发表

我家孩子今年9月升预初,可以参加老封的几何入门班吗?最近有没有新开的老封的班级适合我们的?请指点,谢谢.

您孩子可以参加平面几何入门班。新学期我们会新开一期平面几何入门班，具体上课日期确定后会及时公布出来的，敬请留意！.

非常高兴孩子很喜欢老封老师的几何班，我们今天是进阶班最后一堂课了，很想知道后续上课如何报名？另外孩子在进阶班的考试成绩怎样知道，谢谢！.

家长您好！首先更正一下平面几何进阶班的最后一次课是本周五晚上，请别搞错了时间。进阶班的测试考卷老封老师周五上课的时候会发给学生并进行讲解。上完进阶班的学生可报读我们预备年级数学竞赛课程以进行系统性的学习。
菁英教育感谢您的关注和支持！.

引用:

原帖由 菁英教育 于 2009-9-24 15:50 发表
家长您好！首先更正一下平面几何进阶班的最后一次课是本周五晚上，请别搞错了时间。进阶班的测试考卷老封老师周五上课的时候会发给学生并进行讲解。上完进阶班的学生可报读我们预备年级数学竞赛课程以进行系统性的学 ...

请教预备年级数学竞赛课程具体是怎样的？还是老封老师教吗？孩子喜欢听他的课，何时可以上老封老师后续的几何课？.

您好！预备年级数学竞赛课程主要系统讲授预初、初一年级的数学竞赛专题，其中既有几何内容，也有代数内容。预备年级数学竞赛课程是其他老师教的。老封老师几何进阶班后的后续几何系列课程尚未确定，一经确定我们会及时公布的。.

请问，是不是报了预初的数学竞赛班，就不要再报这个班了？两个班内容重复吗？有必要都报吗？.

家长您好！我们的预初的数学竞赛班和平面几何入门、进阶班的区别在于：前者既有几何内容，也有代数内容，而后者则专注于几何内容；同样的几何内容，前者侧重于知识的系统性和严密性，后者侧重于趣味性和发散性思维。.

为提前培养学生对平面几何的兴趣，并为其灌输正确的学习方法，应广大同学及家长们的强烈要求，菁英教育将在徐汇校区开设新一期平面几何入门班。该班由叶中豪（老封）、魏磊（老猫）、王德站、田廷彦等知名老师联合授课，主要面对小学五年级及初中预备、初一年级的学生，从平面几何基础起步，循序渐进。具体课程安排如下：

上课时间：2009年10月24日起每周六9：00－11：00

上课地址：汾阳路20号上海音乐学院中楼（近淮海中路）

收费标准: 100元/次，共10次


即日起开始报名
报名地址：黄河路355号1号楼7楼711室（近新闸路，地铁一号线新闸路站5号出口）
咨询电话：63298698、63299930 菁英教育


叶中豪（老封）简介：
叶中豪，笔名老封，男，1966年生，上海人，民革成员，现任上海教育出版社副编审。
1983年获全国高中数学联赛第2名，美国数学邀请赛一等奖。
1988年毕业于复旦大学数学系，1996年被评为上海市十大藏书家。曾与熊斌共同主持《数学通讯》杂志“数学竞赛之窗”栏目（1991～1997），与陈计、葛军共同主持《数学通讯》杂志“问题征解”栏目（1998～2000）。近年来，致力于数学文化的传播事业，以老封的笔名与广大数学爱好者进行交流；并为中国国家奥林匹克数学队的培养尽力，负责其平面几何方面的培训。.

浦东校区平面几何入门班:
上课时间：2009年11月7日起每周六18：30－20：30
上课地址：浦东商城路618号良友大厦2楼215室（近南泉北路）
收费标准: 100元/次，共10次.

几何画板软件下载地址：

在yunxiuzai@126.com
信箱中：

www.126.com
用户名：yunxiuzai
密码：yunxiuzai.

.

我的几何画板工具，在这里可以下到：http://blog.yzsy.org/jihehuaban.html.

几何画板5.0版下载地址：http://www.keypress.com/x24795.xml

免费用20分钟，注册需付70美元.

[ 本帖最后由 老封 于 2009-11-23 14:40 编辑 ].

这是几何画板5.0免费汉化版：

[ 本帖最后由 老封 于 2009-12-19 22:43 编辑 ].

附件上传了，试一下。
还可以到画板论坛直接下载，并可在那里获取一些几何画板的经验。

[ 本帖最后由 老封 于 2009-12-19 22:44 编辑 ].

谢谢叶老师，很好用。
选择了版本4的那些工具时，碰到了二级菜单乱码的问题，
网上查到了解决方法，也一起贴在这里。

***********************************************************************
解决打开旧版文件或自定义工具时中文乱码的问题：按住Shift键然后
点击“编辑”菜单的最下面“高级参数选项”，打开“系统”选项卡，勾选“对
gsp3/4的语言支持”，并从下拉列表里选择“简体中文”选项，点“确定”
后重新运行几何画板5就不会乱码了。
***********************************************************************.

期待浦东再开出新班！.

已知：正△ABC中，D、E分别在AB、AC边上，且AD＝CE，D是DE的中点。
求证：CD＝2AF。

证法1在BC上截取CG=CE，联DG、EG。
先证ADGE是平行四边形，故对角线AG经过F点。
再证△ABG≌△CBD，得CD=AG=2AF。

北师大附属实验中学 初二刘迪一同学给出另一种证法：

证法2作DG⊥AC于G，取CD中点M，联FM、GM。
在△DCE中，FM//EC，且FM=(1/2)EC；
在30°Rt△ADG中，AG=(1/2)AD。
由此AFMG是平行四边形，得AF=GM=(1/2)CD。

参见这里：http://bbs.cnool.net/topic_show. ... 494&flag=topic1.

已知△ABC是等腰直角三角形，E、F是斜边BC上两点，满足∠EAF＝45°。
求证：(BE^2)＋(CF^2)＝(EF^2)。

本题通常做法是通过翻折或旋转，得到直角三角形，然后用勾股定理。

不过最近北京东城区北京二中高一女生林若徽同学（网名Arab）告诉我她初中时给出的一种证法，不用添辅助线：

参见这里：http://bbs.cnool.net/topic_show. ... 494&flag=topic1.

Arab也不知道自己为什么叫这个名字，她没有到过阿拉伯世界，她甚至没怎么去过本地以外的地方呢，她的爸爸妈妈也没有去阿拉伯半岛旅游的经历。“妈妈，我为什么是Arab？”她经常这么问妈妈。妈妈总是回答，Arab不好么？

Arab 是在2月出生的，那个时候已经是初春了。对于她的到来，大家都非常高兴，Arab自己呢？应该也是吧，她还不会说话，所以我也不太肯定。

已经15年了，确切的说，在我—Arab最好的朋友之一，写这篇文章的时候，Arab马上就16岁了。Arab和其他人一样，她也上高中了，无论是小学也好，初中也好，Arab也都不太喜欢一个劲读书呢，真累，不是么？可是Arab并没有迟到过，她呀，除了生病的时候，表现还是很好呢。可是，"讨厌的作业。"Arab也会这么说呢，当然，那是在她感觉心里烦的时候。她呀，有时候不太喜欢说话，尽管这样，她还是有很多朋友，大家都很喜欢Arab，因为他们需要的时候，Arab总能帮上点什么忙呢。

她是个好女孩，恩，没错，好女孩，尽管同桌向她提出，"借她的作业用一下"的时候，她一直没拒绝过，又尽管她知道这样好像不太对—这是妈妈告诉她的。Arab15岁了，她依然特别喜欢看漫画和动画片，挺天真的Arab是吧？在她看"猫和老鼠"，"海绵宝宝"和一遍遍地翻她小时候买的迪斯尼杂志的时候，她表哥总是说她幼稚，另一位叫相当高兴的先生也真么说呢。这样，Arab就不那么高兴了。"我真的像他们说的那样么？"最后，她得出一个结论，"不是，恩，才不是呢。"然后Arab就又像以前那么高兴了，她继续看自己的杂志和动画片，像妈妈说她的一样，无忧无虑的。

不过，Arab也很聪明呢，她喜欢数学，数学课的时候，Arab听的可认真了，还经常说出让老师意想不到的话呢。考试怎么样呢？这个就要另说了。Arab的妈妈告诉我，她呀，也挺任性的呢。Arab不太喜欢听数学老师的话，她觉得数学老师有时候特古板，所以，对于考试，Arab大部分时间成绩都不太另人满意呢。可是，Arab从来没有特别失望过，她还一直梦想，自己一直是第1名，那时侯她可高兴了。

在家的时候，Arab也喜欢用好多的纸和笔，画呀画，也不觉得累，因为她喜欢。"那些图形多漂亮啊。"她经常对我这么说。她的妈妈可不太愿意这样。她妈妈总是说，"Arab，别花太多时间在这个上面好么？要乖哦。"Arab呢，一面答应了，一面又在画自己的图呢。真是拿她没办法呀，你看，她呀，挺任性的。

Arab是个schoolmiss，她不止喜欢数学呢，她可没那么无聊。和Arab在一起的时间长了，你就知道我为什么这么说了。Arab特别幽默呢，她的笑话有时候可以让你笑半天。还有，她也爱画画，爱听音乐，还为音乐课写过一首歌呢。没有电脑和电视的生活，Arab可受不了。为什么呢？她要和朋友聊天，要查自己喜欢的各种东西，还可以订购图书呢。

今天说了这么多，我该休息了，Arab也是呢，她妈妈不让她睡得太晚。所以，我们明天见吧，然后我会告诉你关于她的更多故事，晚安。

参见这里：http://bbs.cnool.net/topic_show. ... 494&flag=topic1.

上海静安教育学院附校 初三李嘉昊（rickyli）同学给出蝴蝶定理的简洁证法如下：.