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请教

向各位爸爸妈妈请教一下:今天我和女儿在做一道用直线分割圆形的题目时,发现用1条直线最多可将一圆分成2份,用2条直线最多可将一圆分成4份,用3条直线最多可将一圆分成7份,用4条直线最多可将一圆分成11份,我们发现这里面好象有些规律,好象每多分一次,即在原已分好的份数上加上总共所用直线数,即得这次可最多分得的份数,于是猜测用5条直线最多可将一圆分成16份,结果我们真的只最多分成了16份,于是我们猜测用n条直线分割圆形时最多可得:1+1+2+3+......+(n-2)+(n-1)+n份(n为自然数,且每一项都不为负数),不知对不对?同时我们觉得若是对的,这还适用于任何一边都不凹向内的平面图形,不知对不对?
    我以前上学时从来没有关心过这种题,现在跟孩子一起研究,心里也没底,希望大家能不吝赐教,谢谢!

[ 本帖最后由 糖果她妈 于 2011-10-30 22:09 编辑 ].

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思维的延伸——到四维空间切瓜去

http://xuefuzi.com/post-151.html

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作者: 学夫子 11-04-18
       在前两篇文章里,我们分别到二维空间和三维空间里面分地盘。我们知道,在二维空间里,切X刀最多能把平面分成的块数排列为:1,2,4,7,11,16,22……,在三维空间里是:1,2,4,8,15,26……我们还知道,二维空间是的排列是一个二阶等差数列,三维空间的是一个三阶等差数列,我们不由得猜想:N维空间会不会就是N阶等差数列?
       所谓刨根问底,我们先把我们的目光转到更低维的空间,在零维空间也就是一个点里面,不管你切多少刀,切成的块数都为1,也就是其排列为:
       零维空间:1,1,1,1,1,1,1……这是一个零阶等差数列;
       在一维空间,也就是一条直线上,我们很容易得到其排列为:
       一维空间:1,2,3,4,5,6,7……这是一个一阶等差数列;
       结合前面的结论,我们完全有理由推测,N维空间的排列就应该是一个N阶等差数列,不过这只是猜测,就好像我们说,1,2,4,8后面不一定就是16 一样,为了验证我们的想法,我们先推导从低维到高一维的一个递推公式。我们以二维到三维为例,设二维里切n刀最多能切成的块数为P(n),三维空间为Q(n)。
       以二维空间为例,我们首先要明白这样一个道理,那就是要想让分成的块数最多,必须要让所有的直线两两相交,并且每两条直线的交点都不一样。我们用这个原理来推导递推公式:
       先考虑Q(n-1),也就是已经有n-1个平面来分割空间,并且都达到了最大化,也就是每一个平面都两两相交,并且交点都不一样,现在加入第n个平面,显然,这个平面也要和前面的n-1个平面相交,这个平面和n-1个平面就有n-1条交线,根据我们前面所说,这n-1条交线可以将第n个平面分成P(n-1)块,如果这个平面的左侧是那n-1条直线,显然右侧就多出 P(n-1)块空间。 显然,整个空间就多了P(n-1)块,因为在三维空间里,这个平面上的每一个小块都会对应着一个空间块。所以我们得到:
        Q(n)=Q(n-1)+P(n-1)。
        上面的讲述也许有点乱,实在是本人这个表述能力相当有限,本来想画个图的,作图能力也更加有限,真是惭愧。我们完全可以将这个方法推进到N维空间,也就是说若设M维空间切n刀最多能切成的块数为P(n),M+1维空间为Q(n),则有:
        Q(n)=Q(n-1)+P(n-1), …………①
        我们可以验证这个式子对于零维一维等空间都是适用的。我们可以因此推出Q(n)的表达式:
        零维空间里,Q(n)=1
        一维空间里,Q(n)=Q(n-1)+1,所以Q(n)=n+1
        二维空间里,Q(n)=Q(n-1)+n,推出Q(n)=1 /2 (n2+n+2)
        三维空间里,Q(n)=Q(n-1)+1 /2 [(n-1)2+n+1),故Q(n)=1 /6 (n3 +5n+6)
        当然,你甚至可以推出在M维空间里Q(n)的表达式,具体推导涉及到线性代数。目前我还没有推出来,等有结果了会第一时间写上来的。但是我们依据式子①可以知道,M维空间的排列一定是一个M阶等差数列。

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非常感谢!看上去好复杂。我想再问一下:1+1+2+3+......+(n-2)+(n-1)+n是不是等于1/2(n2+n+2),因为我代入一些数进去,发现两者结果一样,但我已把等差数列的解法全还给老师了.

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回复 2楼ccpaging 的帖子

昨晚给孩子读《马小跳玩数学》,正好读到切西瓜,问3刀最多能切几块?书里的答案是14块。而从你的帖子来看,应该是15块,怎么切?

给孩子看这个帖子时,他发现一个规律,就是 一维空间的Q(n) + 二维空间的Q(n)=二维空间的Q(n+1), 二维空间的Q(n) + 三维空间的Q(n)=三维空间的Q(n+1),验证一下是对的,把式子展开也可以证明,不过在实际生活中怎么理解呢?.

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引用:
原帖由 ccpaging 于 2011-10-31 13:49 发表 \"\"
http://xuefuzi.com/post-151.html

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作者: 学夫子 11-04-18
       在前两篇文章里,我们分别到二维空间和三维空间里面分地盘。我们知道,在二维空间里,切X刀最多能把平面分成的块数排列为:1,2,4, ...
1+1+2+3+......+(n-2)+(n-1)+n
= 1 + n*(n+1)/2
=(n^2 +n + 2)/2

用高斯公式就可以得出答案。.

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切完西瓜切比萨

http://xuefuzi.com/post-150.html

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作者: 学夫子 11-04-17
       昨天我们切了一个西瓜,并对什么找规律之类的题目提出了质疑,今天我们不切西瓜,我们改为切比萨。当然,我们切比萨,不是因为比萨好吃,而是因为,比萨的厚度可以忽略,也就是说,我们将比萨看成一个平面。而昨天的西瓜,那是三维的,比切比萨要麻烦得多。我们要来讨论,切x刀最多可以把比萨切成多少块?显然,这个问题最终可以归结为这样一道题:x条线段最多可以将一个平面分成多少块?我们已经知道的是:
       切0刀,可以切成1块;
       切1刀,可以切成2块;
       切2刀,可以切成4块;
       切3刀,可以切成7块;
       切4刀,可以切成11块;
       ……
       实际上,切的刀数X和最多切成的块Y的关系为:Y=1 /2 (X2+X+2),将Y值排列成一个数列:
       1,2,4,7,11,16,22……
       这个数列是一个二阶等差数列,即将相邻两数之差作为新的数列,进行相同的动作两次以后,就变成一个常数数列。依照上一篇文章 的方法,我们到杨辉三角里去找找,看能不能找到:
        
       我们找到杨辉三角里的二阶等差数列,如图红色部分所示,考虑每一个数的顶头数,如3的顶头数为1,6的顶头数为2,10的顶头数为3,15的顶头数为4等等,将每一个数减去其顶头数,得到的就是我们的比萨块数:1,3-1=2,6-2=4,10-3=7,15-4=11……
       也就是说,咱们不仅能通过计算算出分成的块数,咱们还可以在杨辉三角里面查找答案。比如我们要查找切6刀最多能切的块数,直接可以查到为28-6=22块。而回想起我们昨天的结论,
       将三阶等差数列中的每一个数减去他的顶头“上司”的两倍,得到的结果构成一个新数列,这个数列就是俺们的西瓜块数数列。
       似乎这两天又这若隐若现的关系,如果再联想起在一维空间也就是一条直线上进行分割,那么这个现象就再明显不过,我们能不能一不做二不休,将之推广到N维空间的分割?虽然无法想象,但是我们依然可以去想。明天我们继续.

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质疑:1,2,4,8……下一个数是?

http://xuefuzi.com/post-149.html

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作者: 学夫子 11-04-16
       读过书的朋友都见过下面类似的题目:
       1,2,4,8,(   ),请寻找规律在括号里填上适当的数。
       我想,标准答案都是16,似乎没有异议。但是事实并非如此,请看下面的题目:
       现在有一块西瓜,切0刀(也就是不切),可以将西瓜切成1块;
       切1刀,最多可以将西瓜切成2块;
       切2刀,最多可以将西瓜切成4块;
       切3刀,最多可以将西瓜切成8块;
       …………
       如果按照这样的思路,我想大多数朋友都会切4刀最多可以将西瓜切成16块,特别是经受过无数次“标准答案”洗礼的朋友,但是一做实验,就算费劲劳力,你也不可能将西瓜切成16块,最多可以切成15块;同样,对于切5刀的时候,顶多就能切成26块……到此,你该相信什么?标准答案么?记住,这里是切西瓜,不是切一张纸,这是在三维空间里进行的。
       事实上切西瓜的刀数X和最多切成的块数Y的关系式为:Y=1 /6 (X3 +5X+6),当x=0,1,2,3的时候,Y都等于1、2、4、8,但是当X=4时,Y=15。我们将Y的取值列于下:
       1,2,4,8,15,26,42……
       别看上面的数字很乱,别看他的通项是个三次方,其实这是一个三阶等差数列,即将相邻两数之差作为新的数列,进行相同的动作三次以后,就变成一个常数数列。
       在此我们突然想起,我昨天在谈到“杨辉三角里的等差数列 ”的时候,我们谈到杨辉三角里也有高阶等差数列。那么这里的三阶等差数列能不能在杨辉三角里找到呢?为了方便,我们在此请出杨辉三角:
        
       我们找到杨辉三角里的三阶等差数列,就如图中的红色部分,而这个数列显然与我们的西瓜块数1,2,4,8,15,26,42……不符,不过既然两个都是三阶等差数列,那么他们必然存在某种联系,事实上确实如此,要找,咱们是肯定可以找到:
        
       绿色部分是三阶等差数列的上一斜行。现在考虑三阶等差数列每一个数字的顶头“上司”:4头上的1,10头上的3,20头上的6,35头上的10……我们要做的是,将三阶等差数列中的每一个数减去他的顶头“上司”的两倍,得到的结果构成一个新数列,这个数列就是俺们的西瓜块数数列:
       1,4-2×1=2,10-2×3=4,20-2×6=8,35-2×10=15,56-2×15=26……
       这就恰好是我们的西瓜数列。估计你也无法预料,咱们的刀切西瓜居然可以在相差万里的杨辉三角里找到答案,以后你除了通过公式计算,你还可以通过杨辉三角直接茶,比如要问你切6刀可以将西瓜切为多少块,你通过杨辉三角查得:84-2×21=42。这和我们公式计算的结果是一样的。

尊重成果,转载请注明出处:学夫子数学博客:http://xuefuzi.com.

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引用:
原帖由 aochuanhui 于 2011-11-1 10:08 发表 \"\"
昨晚给孩子读《马小跳玩数学》,正好读到切西瓜,问3刀最多能切几块?书里的答案是14块。而从你的帖子来看,应该是15块,怎么切?

给孩子看这个帖子时,他发现一个规律,就是 一维空间的Q(n) + 二维空间的Q(n)=二 ...
学夫子这个帖子所体现出来的是一种寻找数学规律的方法,即实验归纳法。由少到多,由简到繁,逐个地实验,逐个去分析问题,在实验分析的过程中得到某种顿悟。然后,将这个过程进行归纳总结,再做更高层次的展开。单单去理解他归纳出来的公式,几乎没有什么意义。

你的孩子还小,可能还欣赏不了这个层次的结果。把3刀切15块的问题解决了,就行。.

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引用:
原帖由 糖果她妈 于 2011-10-31 21:29 发表 \"\"
非常感谢!看上去好复杂。我想再问一下:1+1+2+3+......+(n-2)+(n-1)+n是不是等于1/2(n2+n+2),因为我代入一些数进去,发现两者结果一样,但我已把等差数列的解法全还给老师了
说明啥呢?你原来没有学扎实,只记了公式,公式一旦忘了,就玩完了。在教育孩子这点上,一定不要重蹈这个覆辙。怎么做呢?踏踏实实地让孩子慢慢从(1+2+3+...+10)这样的简单计算入手,让他自己发现前后配对的技巧,可以借助图形的辅助,最后让他自己总结出高斯公式。这个过程可能比较长,我不知道数学小组的成员陆陆续续地从四年级算到预初,才总结出来:
1+2+...+n=n*(n+1)/2
但这个公式以及寻找规律(公式)的方法已经融入他们的大脑中,成为他们思维自然的组成部分之一,这辈子,他们也不会忘了。.

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回复 9楼ccpaging 的帖子

你说的对,谢谢!.

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