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[科学] 达芬奇树干公式: 大树主干的横截面积=分支树干的横截面积之和

达芬奇树干公式: 大树主干的横截面积=分支树干的横截面积之和

大多数人对树干、树枝、枝桠分叉交错的倒锥形熟若无睹,但极少有人像达·芬奇那样,细心探究其中的规律。达·芬奇观察发现,同一高度所有树枝粗度的总和等于树干的粗度。直到今日,仍然没有人能够解释树遵守这一规律的原因。不过,也许最近的一项研究将能给出答案。

简单说就是:如果一根树干分叉为两个树枝,那么两个树枝的横截面积之和等于树干的横截面积;如果树枝接着分别分叉为两根小树枝,那么这四个次生分枝的横截面积总和仍等于树干的横截面积……依此类推。

原文链接:
http://article.yeeyan.org/view/16342/232199

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这个规律是不是真的,也许我要哪天带上量腰围的皮尺去楼下和泾南公园里实际量一量;
至于达芬奇有没有真的发现并提出这个规律,从google上我只搜到一个相关说法,参见:
http://www.douban.com/note/84985036/.

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树木为何不会断裂?达·芬奇公式有了新解释

许多人都对树干、树枝、枝桠分叉交错的倒锥形熟若无睹,但极少有人像列奥纳多·达·芬奇那样,细心探究其中的规律所在。达·芬奇观察发现,同一高度所有树枝粗度的总和等于树干的粗度。直到今日,仍然没有人能够解释树遵守这一规律的原因。不过,最近的一项研究或将给出答案。

达·芬奇发现的这条规律对绝大多数树种都是适用的,平面设计艺术家也常常用它来创建电脑制作的仿真树木。这条的规律可以简单描述为:如果一根树干分叉为两个树枝,那么两个树枝的横截面积之和等于树干的横截面积;如果树枝接着分别分叉为两根小树枝,那么这四个次生分枝的横截面积总和仍等于树干的横截面积……依此类推。

达·芬奇法则也可以用数学公式来表述。一根树干分叉为若干根树枝,设树干直径为 D,树枝总数为 n,直径分别为 d1, d2, ..., dn,那么所有次生树干直径的平方和等于原生树干的直径平方,即 D ^ 2 = ∑di ^ 2,其中 i = 1, 2, ..., n。对自然界的树木来说,这一假说公式中的指数并不一定是 2,根据树种和几何形态的不同,其数值将介于 1.8 至 2.3 之间。不过,对大多数的树木来说,这一通用公式是相当接近事实的。

一些植物学家猜测,达·芬奇的这一发现与树木从根部向树叶的泵水过程有关。他们认为,树木将水分输送至叶片的整个过程中,具备的总叶脉直径应当是相同的。

不过,物理学家克里斯托夫·埃洛伊对此并不认同。埃洛伊是美国圣迭戈加利福尼亚大学的客座流体力学专家,也与法国普罗旺斯大学有学术往来。在埃洛伊看来,达·芬奇公式与树叶之间存在的关系,并不在于树干向树叶传递水分的过程,而在于风施加树叶上的压力。

为了探究这一问题与风力之间的关系,埃洛伊展开了较为深入的数学研究。他将树木当作悬臂结构来建模,并形成一个分形网络。这个悬臂结构只有一端固定;所谓分形,就是指能够分叉成多个部分的结构,每个子结构与母结构是大体近似的。根据埃洛伊的模型,每个母树枝分叉形成的子树枝,都具有相近的角度和方向,以及相同的数量。大多数自然生长的树木都是以近乎分形的模式生长的。

由于同一根树枝上的叶子都长在同一侧,因此在埃洛伊的模型中,作用于树叶的风力都施加在这一悬臂结构的非固定端。他将风力公式应用到他的模型中,并假定树枝受到风力作用而断裂的概率是恒定不变的,据此他推导出了达·芬奇公式。随后,他从不同的角度对这一问题进行了计算机数值模拟,计算出施加在树枝上的风力大小,并使用这一数值来得出树枝能够承受风力作用而不致断裂的粗度值(见题图)。数值模拟的结果精确地预测出了树枝的直径大小,并得出了达·芬奇公式中指数的范围是在 1.8 到 2.3 之间。这一研究成果即将发表在《物理评论快报》上。

加州大学伯克利分校的一位数学家马库斯·罗珀认为:“树是一种非常多样的生物体,而克里斯托夫的研究可能揭示了一种简单而又漂亮的物理原理。它解释了倒锥形树枝的形成原因,从树干开始,到大树枝,到小枝桠。他的解释很令人惊讶,也很神奇。因为此前从来没有人考虑过这种(通过风压来解释的)想法。”

麻省理工学院的一名工程师佩德罗·里斯则表示:“这项研究启示我们,树的构造与人工建筑结构有更多的共通之处。人工建筑在设计时也往往必须考虑风荷载特性,埃菲尔铁塔就是最著名的例子。”他还认为,这项成果能够“影响我们对风力损害问题的理解,例如最近肆虐的飓风艾琳”,这场今年九月袭击美国东北部地区的飓风刮倒了大面积的树木。

[ 本帖最后由 yoyopapa 于 2011-11-17 20:06 编辑 ].

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2011-11-17 20:06

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回复 2楼yoyopapa 的帖子

很有趣的研究! 可以让孩子去测量一下.

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为什么树干都是圆的?

我在上海教育电视的节目中看到,觉得很有意思的。.

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学习了~~.

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想来想去——有点怀疑!.

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引用:
原帖由 junhuayang2005 于 2011-11-18 10:14 发表 \"\"
为什么树干都是圆的?

我在上海教育电视的节目中看到,觉得很有意思的。
为什么?防风?面积最大化?.......

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引用:
原帖由 Wini妈妈 于 2011-11-18 13:17 发表 \"\"
想来想去——有点怀疑!
我今天在电脑里找了一些有树干的照片(大约找到10张),大致检验了一下,结果是:多数情况是成立的,误差在5%以下,有一张误差约10%,误差最大的一张为27%(是苏州拙政园里的一棵树,这棵树看起来就有怪,主要是右侧的支干粗壮了一点)。

有空我要实际去测一测,主要挑那种自然生长,没有断过枝的树。也许与树的品种有关,研究下去也很有趣。

[ 本帖最后由 yoyopapa 于 2011-11-18 19:47 编辑 ].

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2011-11-18 19:46

苏州拙政园

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