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[数学] 五年级放飞:用四个一样大小的直角三角形凑成一个大正方形

五年级放飞:用四个一样大小的直角三角形凑成一个大正方形

直角三角形的直边长度分别为a和b,斜边长度为c。.

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回复 1楼ccpaging 的帖子

有点复杂, 得慢慢想.

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回复 2楼aochuanhui 的帖子

嗯。第一步可以先从剪纸开始。画一个直角三角形,剪下来。另照样剪三个同样大小的直角三角形。然后,拼图。.

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几何画板作图

直角三角形的斜边长度为c,两条直边的长度分别为a和b。


作图软件使用几何画板5.03单文件增强板。下载地址:
http://www.kejianyuan.com/Soft/201005/20100519164552.html

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-4 20:10 编辑 ].

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真的是一个大正方形和一个小正方形吗?

父:先恭喜你,终于拼出一个正方形了。
子:是啊。原来我花了许多时间,因为你没说中间可以有个“洞”。
父:哦,那是我的错。
子:但,我还有个问题。
父:肿么啦?
子:我剪出了好几组这样的直角三角形,但拼起来,总是有缝隙。
父:那当然啦。事实上,根本没有那样的剪刀,没有那样的人,可以剪出两个一模一样的直角三角形。也就是说两个“全等”的三角形,在我们的现实生活中是不存在的。
子:我明白你的意思。但是,这样的话,你凭什么说,这四个三角形拼出来的就是一个大正方形和一个小正方形呢?
父:什么意思啊?
子:上次,我们研究过一个差不多的问题。在我们班上争论了一学期呢。


[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-13 11:30 编辑 ].

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这道我小时候做过,因为角度略有不同,所以拼成的不完全是长方形,但肉眼看得不明显。.

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回复 6楼Wini妈妈 的帖子

还能记起进行过怎样的争论吗?.

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请容我汗一个。。。
我直接想到的是4个b=2a的直角三角形.

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引用:
原帖由 rhealu 于 2012-2-13 14:43 发表 \"\"
请容我汗一个。。。
我直接想到的是4个b=2a的直角三角形
不必汗,其实,这是一个好问题。按照正规的说法,题目应该是:
任意的直角三角形的直边长度分别为a和b,斜边长度为c。

出题目时,对是否加“任意的”三个字,我是踌躇过的。对于大人来说,看到“任意的”,立刻就会明白,这是在研究一个带有普遍性的问题。但当我们的对象是小学生时,就要慎重了。因为他们可能对“任意的”手足无措。
这让我想起一个软件业者中流传的一个笑话。一个IT工程师对客户进行操作指导,“请按任意键进入下一步。”过了十几分钟,客户回答:“大哥,俺的键盘上肿么没有‘任意’键啊!”所以,Windows以及其它的许多软件的操作手册,都将“请按任意键进入下一步”改成“请按回车键进入下一步”。

所以,我觉得,在出这道题时,不必加入“任意的”三个字。而是耐心等待小童鞋提出问题来,再做讨论。另外,要凑出一个大的正方形没有中间的空洞,应该用等腰直角三角形吧?

你看,家长不需要预先把一个数学难题想的面面俱到,反而可以为质疑和讨论提供更多的空间。这样,家长有更多的机会去肯定童鞋,而不是反过来,让童鞋对家长的敬仰之情如滔滔江水连绵不绝。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-13 15:50 编辑 ].

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引用:
原帖由 rhealu 于 2012-2-13 14:43 发表 \"\"
请容我汗一个。。。
我直接想到的是4个b=2a的直角三角形
有趣的题目!
试着将b-a=0到b-a=无穷大进行演变,让家里小家伙观察一下中间那个正方形的演变过程。.

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CC, 有个妈妈紧急求助

http://ww123.net/thread-4804632-1-1.html
简便运算用简便方法计算
600÷25÷410000÷125÷896000÷50÷20
这道题目有人知道如何解吗?
在线等.

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回复 1楼ccpaging 的帖子

那个求助的妈妈就是我,题目见楼上,谢啦,同时也谢谢楼上的妈妈.

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回复 9楼ccpaging 的帖子

求助CC老师
题目:已知在平行四边形ABCD中E,F是所在边上的中点,三角形AEF的面积是18平方米,求平行四边形ABCD的值?
图形无法上传,谢谢了!.

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回复 13楼nyp695 的帖子

E、F所在的边是邻边还是对边?另外,提示下,做几何问题,要从画图开始。尺规作图非常重要。.

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回复 14楼ccpaging 的帖子

E、F所在的边是邻边。.

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回复 13楼nyp695 的帖子

图形结合面积公式看看:


纯几何的方式:
.

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回复 15楼nyp695 的帖子

建议让孩子画图。如果孩子不会画,或者画不好,家长可以慢慢教他。
1、学会基本的尺规作图。如画中点(不能用尺量)、平行线、垂线(不用三角板上的直角)等。
2、注意标注的标准化。
3、辅助线一定要画出来。

几何学习中最难的就是加辅助线。不要教,因为那没法教。其实,要学会怎么加辅助线,很简单,大量地尺规作图。在作图的过程中,自然能体会到。在一个标准的作图上,有的,一眼就能看出来。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-16 16:11 编辑 ].

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引用:
原帖由 ccpaging 于 2012-2-16 16:01 发表 \"\"
图形结合面积公式看看:
682978

纯几何的方式:
682979
画图是个好办法!
来个愚蠢的纯公式法。

已知:
a和b为边,c为夹角。
三角形面积公式:1/2*absinc
平行四边形面积公式:absinc

假定两边为x和y,夹角为A,三角形面积公式:1/2xysinA=18,则xysinA=36
根据已知条件,平行四边形面积为2x*2y*sinA=4xysinA=4*36=144.

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回复 18楼小点点宝宝123 的帖子

如果没有学sin,设AEF的高为h,AF的长度为a、、、.

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是否还可以从普遍性和特殊性的角度质疑?

如采用最特殊的平行四边形---正方形去推理?
18推出三角形边为6,再推出正方形边长为12,再得出结论。

只要平行四边形能适用,那么正方形也应该适用,这样行吗?.

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回复 20楼小点点宝宝123 的帖子

可以尝试以动态的方式,即一个更为简单的正方形,通过拉伸两个对角,逐渐变成了平行四边形,而三角形AEF的面积与四边形ABCD的比例关系保持不变。

在这个拉伸过程中,再观察四边形ABCD,边长为1保持不变,随夹角c的变小,面积逐渐变小,它的面积据说就是sin(c)。

用 4# 介绍的几何画板,可以制作动态图形。.

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回复 16楼ccpaging 的帖子

不好意思原题E,F是边CD和CB上的中点,在你这个图中应该是连接CE和CF组成三角形CEF,已知的是三角形CEF的面积是18平方厘米,求平行四边形ABCD的面积?

[ 本帖最后由 nyp695 于 2012-2-17 08:33 编辑 ].

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回复 4楼ccpaging 的帖子

这个要怎么下载,我点进去没看到要下的软件?.

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引用:
原帖由 nyp695 于 2012-2-17 08:30 发表 \"\"
不好意思原题E,F是边CD和CB上的中点,在你这个图中应该是连接CE和CF组成三角形CEF,已知的是三角形CEF的面积是18平方厘米,求平行四边形ABCD的面积?
根据20楼的释疑,举一反三,学生得出根据夹角相同的前提下三角形与平行四边形的关系。
现在有三个三角形是这种情况,已知三角形面积是余下的一个,然后可以继续推论下去。

[ 本帖最后由 小点点宝宝123 于 2012-2-17 09:15 编辑 ].

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引用:
原帖由 nyp695 于 2012-2-17 08:34 发表 \"\"
这个要怎么下载,我点进去没看到要下的软件?
注意链接中页面的下载地址一项:

一般说来,为尊重作者的工作,不好意思直接给出链接地址。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-17 10:39 编辑 ].

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引用:
原帖由 nyp695 于 2012-2-17 08:30 发表 \"\"
不好意思原题E,F是边CD和CB上的中点,在你这个图中应该是连接CE和CF组成三角形CEF,已知的是三角形CEF的面积是18平方厘米,求平行四边形ABCD的面积?
平行四边形是中心对称的。你转到计算机屏幕的后面,从上往下看,就是你所需要的图形了。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-17 15:45 编辑 ].

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回复 20楼小点点宝宝123 的帖子

用夹角求面积孩子还没学,是小学5年级的。

[ 本帖最后由 nyp695 于 2012-2-17 11:03 编辑 ].

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回复 26楼ccpaging 的帖子

看那个图形?我还是没能理解?能再详细点吗?.

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回复 28楼nyp695 的帖子

让孩子看看先。也许他有感觉,也说不定哦。.

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回复 29楼ccpaging 的帖子

好的,回家先让他看看。谢谢!.

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引用:
原帖由 ccpaging 于 2012-2-17 00:01 发表 \"\"
可以尝试以动态的方式,即一个更为简单的正方形,通过拉伸两个对角,逐渐变成了平行四边形,而三角形AEF的面积与四边形ABCD的比例关系保持不变。

在这个拉伸过程中,再观察四边形ABCD,边长为1保持不变,随夹角c的 ...
通过你的指导,学生在尝试的过程中可能会慢慢摸索出AEF和ABCD面积的比例关系。
那么为了让学生进一步熟悉平行四边形的一些特性
1)是否可以尝试AE和AF的边长是AB和AD的三分之一,继续摸索三角形面积和平行四边形面积的比例关系
2)是否可以尝试E、F是BC和AD的中点,寻找AEF三角形和平行四边形面积的比例关系

这种尝试,不知算不算您说的培养学生“体验、猜想、思考、解决问题、检查、反思”的学习思路呢?.

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回复 27楼nyp695 的帖子

不好意思,可能没讲清楚。我的意思是指用CC老师21楼讲的三角形和平行四边形面积的比例关系来推导答案。
当然CC老师的纯几何法更高明,呵呵。.

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回复 31楼小点点宝宝123 的帖子

是的。当然,还要注意,这些问题,或者说相关的问题都应该由孩子提出来。如果他不提,那么,说明体验还不够,或者有其它的原因,一般不能因为着急,就强制他做下去,而是要另外想办法,促使他产生问题。

一旦孩子提出了问题,家长或者老师所要做的是跟着孩子的问题的思路走。因为这样,才是孩子在自主学习。让孩子走在前面,他的眼界和思考问题的起点,与让他跟在你后面,两者是大不相同的。根据我的经验,这么跟着走,小学生的思路经常能走到中学,在某些问题上,甚至能提出大学才能解决的问题。当然,以他们现在的能力,未必能解决,那么,就让这样的问题悬而未决。

正是不断地产生新的疑问,才是驱使他们自主学习的动力。.

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引用:
原帖由 小点点宝宝123 于 2012-2-17 19:08 发表 \"\"
不好意思,可能没讲清楚。我的意思是指用CC老师21楼讲的三角形和平行四边形面积的比例关系来推导答案。
当然CC老师的纯几何法更高明,呵呵。
说不上高明。不同的孩子对同一个问题的观察角度是不同的。像我们家的,喜欢折纸,那么,就很可能倾向于产生后一种方法。前一种方法,跟代数有关。有的孩子会比较精于计算。如果是小组讨论的话,很可能看到不只这两种。理解其他人的解法,检查和讨论,对每个人的学习都有很好的促进。.

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回复 34楼ccpaging 的帖子

回错了,删。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-17 19:40 编辑 ].

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回复 26楼ccpaging 的帖子

老师能再讲解详细点吗?我们还没有理解。.

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回复 36楼nyp695 的帖子

注意对照16#的图。
1、EF在哪个角上并不重要。因为平行四边形的中心对称的,换个角度,道理仍然是一样的。
2、在三角形AEF中,过E点做AF的高。因为E是AB的重点,所以,刚才说的这个高,是平行四边形ABCD的高的一半。
3、F是AD的重点,AF=平行四边形ABCD的底边的一半。
4、三角形AEF的面积=过E的高 x AF ÷ 2。平行四边行ABCD的面积=(过E的高 x 2) x (AF x 2)。

所以,平行四边行ABCD的面积 = 8 x 三角形AEF的面积。

再对照图2。
1、平行四边形被过中心的两条中线分成了4块全等的小平行四边形。
2、三角形AEF是小平行四边形的面积的一半,即小平行四边形的面积 = 2 x 三角形AEF 的面积。

所以,平行四边行ABCD的面积 = 8 x 三角形AEF的面积。.

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回复 37楼ccpaging 的帖子

老师,题目已知的是你的图中连接CE和CF,组成的三角形CEF的面积是18平方厘米,也就是在平行四边行的中间的一个狭长的三角形,不是你图中的三角形AEF。.

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回复 38楼nyp695 的帖子

明白了,原题是这样的,对不?

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回复 38楼nyp695 的帖子

根据37#的分析,假设S(△AEF)=x,那么,能把S(□ABCD)=8x。除此之外,我们还能推算出哪些三角形或者四边形的面积呢?

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-19 10:30 编辑 ].

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回复 38楼nyp695 的帖子

能否描述下,你在前面的研究中发现了什么?.

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回复 41楼ccpaging 的帖子

从你的描述中得到了:大的平行四边形分成了4个小的平行四边形,三角形AEF是小平行四边形的一半,这样大的平行四边形的面积就等于8个三角形AEF的面积。三角形AEF是三角形AFB的一半,如果BC边的中的为G,DC边的中的为H的话,那么同理推出三角形HGC是三角形DGC的一半,且三角形DGC和三角形AFB都是平行四边形FBDG的一半。但我还是不知道如何利用已知的条件?

[ 本帖最后由 nyp695 于 2012-2-20 08:58 编辑 ].

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回复 42楼nyp695 的帖子

非常棒,你对这个题目所涉及到的图形已经非常了解了。

你是否研究过△EFC的面积呢?三角形的面积,主要的就是高和底边。研究过后发现,△EFC的三条高和其对应的底边,似乎跟平行四边形ABCD都没什么关系。怎么办呢?看来,我们要把眼光从△EFC移开,看看能不能从其他的三角形和四边形上进行突破。

假设S(△AEF)=x,那么,能把S(□ABCD)=8x。请问,S(△EBC)和S(△DFC)的面积等于多少呢?.

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回复 43楼ccpaging 的帖子

通过蝴蝶原理可以得到三角形EBC的面积是三角形AEF 的2倍,同理三角形DFC也是三角行EBC 的2倍,我明白了,用等量置换可得三角形CEF就等于3倍的AEF。所以三角形AEF等于6,大的平行四边形等于6x2x4=48。老师这样对吗?.

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回复 44楼nyp695 的帖子

对的。简单说,直接研究△EFC的底边和高,没搞头。那么,我们把它抠掉,把周围的三个三角形研究清楚了,用目标,□ABCD的面积,可以得到一个等量关系:
设 s=S(△EFC)
8s-1s-2s-2s=18
3s=18
s=6

那么,S(□ABCD)=8s=8x6=48。

但是,你说的蝴蝶原理里边的蝴蝶在哪里,能详细说说吗?.

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回复 45楼ccpaging 的帖子

蝴蝶原理就是两条平行线之间组成的三角行,通过同底等高得到两三角形面积相等,然后去掉它们重叠的三角形,剩下的两个三角行就像蝴蝶的两个翅膀,这两个三角行面积相等,因此有老师称为蝴蝶原理,也有老师称为领结原理。我这样不知道表述清楚了没有,有图的话会很直观。.

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回复 46楼nyp695 的帖子

哦,那,可能是我没问清楚。你说在蝴蝶原理,在这个问题中,指的是哪一对平行线?.

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回复 47楼ccpaging 的帖子

错了!

[ 本帖最后由 nyp695 于 2012-2-20 15:25 编辑 ].

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回复 48楼nyp695 的帖子

请根据下图,详细解释下,为什么“通过蝴蝶原理可以得到三角形EBC的面积是三角形AEF 的2倍”?


[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-20 13:54 编辑 ].

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回复 49楼ccpaging 的帖子

老师再加几个字母,把交叉的点都标出吧。.

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