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[数学] 质疑:2009年希望杯四年级答案

质疑:2009年希望杯四年级答案

对于下面第14题的答案:
  
14、人的头发平均有12万根,如果最多不超过20万根,那么13亿中国人中至少有       人的头发的根数相同。

标准答案:平均每组=130000/20=6500人/组

我儿子有不同的看法:他认为这样分,无法保证平均数是12万根。
  
并设计了一个极端的情况来想这道题。
人的头发平均有3根,如果最多不超过4根,那么12人中至少有       人的头发的根数相同。

头发        0根头发        1根头发        2根头发        3根头发         4根头发          平均头发                 
人                                                          4                  4                  4                 3                   我儿子的想法
人               2                  1                     1                 5                   3                 3                 
人               3                  2                     1                 1                   5                 3                 
人                                   3                     3                 3                   3                2.5                  标准答案的方法

如果标准答案的方法: 至少有12/4=3人的头发相同,那么用最后一行的排列方法才能排出最大的“平均头发”=2.5 不能满足平均3根头发的要求。


如果用第一行的方法思考:因为最多是4根,保证平均数的情况下,相差1根是极端情况:12/3=4

所以对于第14题他认为应该是:1300000000/(2*(200000-120000) +1)=8125人/组

大家觉得这个想法有不对的地方吗?.

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这道题它是用了等差数列求和的概念,等差数列的和等于等差数列的平均数乘以项数,所以应该是1300000000X120000/(120000X200000)=6500,这是我的个人观点,仅供参考!.

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回复 1#dongdong-mama 的帖子

您孩子的问题应该是12/5,因为0也是一种情况。原题也应该是13亿除以(20万+1),抽屉原理,但1和20万差太多,可以近似计算。12万在此更像是一个陷阱,离10万很近,13亿人平均很容易取到。个人理解,供参考。

[ 本帖最后由 smartwxc 于 2009-3-24 17:36 编辑 ].

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回复 2#峻峻妈妈 的帖子

请教:分子是13亿人总共有多少根头发。分母是什么意思呢? .

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分母应该是1~200000这个等差数列的和,但要保证平均数为12万,这个和就要用120000X200000(平均数X项数)..

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回复 3#smartwxc 的帖子

如果是12/5=2.4约是3 ,要想平均数最大的话,也应该如下排列。而这种排列是不能满足平均是3的要求呀?

头发        0根头发        1根头发        2根头发        3根头发         4根头发          平均头发                 
人                3        3        3        3        2.5       
如果12万在这里是一个陷阱的话,而不是已知条件,那出题人…….

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回复 6#dongdong-mama 的帖子

你把人数调整一下,4根多一些,其它各一个,平均不就超过3了吗?且原题问最多至少是几人.

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这种题目对四年级小孩来说没啥大意思,会让小孩概念不清!我敢肯定做对的也是连猜带焖的!.

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回复 5#峻峻妈妈 的帖子

如果平均数要保证12万,就不可能是1~200000的公差是1的等差数列。换句话说,这200000里必有重复的数字。也就是结果应该比6500大。.

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严格来说你说得没错,肯定有某些根数的人数要大于6500个,但就没法具体统计了,所以最终结果也是个估计值,但至少不少于6500.所以我也认为这种题目没意思!.

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回复 7#smartwxc 的帖子

所以我认为,当是3个的时候是不能满足“平均数”的条件。只有当是4个的时候才能满足条件。.

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此题严格来讲答案应该是7800.

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回复 11#dongdong-mama 的帖子

您举的例子数字太接近了.

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回复 13#smartwxc 的帖子

举一个简单的例子,只不过是让思路更清晰。但是无论简单的数字还是复杂的数字,思考的方式是一样的呀。.

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用你的简单化举例,答案是“至少有3人的头发的根数相同”,也就是说,当人均头发数是3时,无论怎么排列组合,至少有一组人的人数时大于3的。
其实这里面的平均数是多余的条件,13亿人,0-20万共200001种分布,总归有至少6500个人的头发数是相同的。

[ 本帖最后由 花间 于 2009-3-24 16:08 编辑 ].

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回复 15#花间 的帖子

所以我认为答案“3”是不对的。而应该是“4”呀!.

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回复 14#dongdong-mama 的帖子

我一直认为6500是一个接近的近似值,所以才有数字大小的说法,不过刚才仔细想了下,10万和12万的差了20%,同意您和12楼的意见,不过问题是如何求得更精确的数字,我来再想想

[ 本帖最后由 smartwxc 于 2009-3-24 16:25 编辑 ].

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回复 16#dongdong-mama 的帖子

举一个更显见的例子,100个人,头发数从1—10,则至少有10人头发一样多,此时平均数是5.5,如果要提高平均数20%,同时使10的变化尽量小,则将6.5以下的尽量消灭,此时4根到10根的有13人,9人3根,共664根,平均为6.6,平均数提高20%,最高人数提高30%。看来不能毛估估,有时要出大事的。
所以原题解法:从4万—20万人数相等,平均12万,共16万种分布,13亿除以16万=8125人,同意你儿子的答案

[ 本帖最后由 smartwxc 于 2009-3-24 18:02 编辑 ].

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回复 16#dongdong-mama 的帖子

仔细看了一下,你这样出题,只能有一种排列组合的方法,可是13亿人,20万种分布,跟你的举例是不一样的。你把你的举例改成最多不超过5根,平均是3根,就会发现不同了。所以,你的举例不能说明原题。.

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看到这道题目我就想到了“泄题”。无语。.

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这个题主要是考“抽届”,但因多加了一个条件平均120000万就让这个题目难度急剧增加(如果不算不严谨的话)。说实话,我尚未做出,就算不考虑0根的情况,楼上几位的做法也是错的。没有理论,通过试算可得7650左右是可以的,即:5-20根的人数都为7650人,4根为7600人,其他根数的人为0,总人数13亿,总头发数1560400万根,平均数120038根(懒得继续算了),真正正确的答案尚待高人。
但此题显然是考“抽屉”。应该说答案不严谨。

[ 本帖最后由 jerry0524 于 2009-3-25 11:45 编辑 ].

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加上平均120000万这个条件,6500无论如何是不对的。.

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一声长叹:可怜的孩子,无奈的家长!.

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如果孩子真严格按题意做了,做对了还是错,但做得对么?.

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回复 15#花间 的帖子

加上了就不算多余,数学是严谨的。.

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回复 1#dongdong-mama 的帖子

您儿子聪明哈,这个也能想到,算是相当聪明了,我孩子的说法是不懂。但题目?看我前面的贴子

[ 本帖最后由 jerry0524 于 2009-3-25 11:46 编辑 ].

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引用:
原帖由 dongdong-mama 于 2009-3-24 13:11 发表 \"\"
对于下面第14题的答案:
  
14、人的头发平均有12万根,如果最多不超过20万根,那么13亿中国人中至少有       人的头发的根数相同。

标准答案:平均每组=130000/20=6500人/组

我儿子有不同的看法:他认 ...
你儿子怀疑得很对!不过我还没有找到正确的解决方法。

[ 本帖最后由 SophieDAD 于 2009-3-25 09:38 编辑 ].

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回复 1#dongdong-mama 的帖子

不管对否,你儿子的思维能力真是让我们做家长的佩服,他能这样想,说明他已经具备了深入思考的能力了,这也是我对我儿子的要求。.

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抽屉原理这样考孩子,出题者的用意何在?.

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谢谢大家的回复!通过和大家的讨论,我对这道题的理解更加清晰了。

其实一道题的对错是次要的,鼓励孩子多提自己的主见才是最重要的!.

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这道题我记得以前在哪里看见过的。我翻了几本做过的书都没找到,实在记不得是哪里了。但很清楚的记得是归纳在抽屉原理里的,我记得数字都是一样的。我女儿做法是13亿除以20万零1种,得到约等于6500。但说实话,我当时对这题是有疑问的,一来计算量有点大,二来我总觉得怪怪的。至于那个12万的数字,我认为是题目里不需要实际运用的数字,因为不止一次碰到此类题目,告诉孩子要判别数字的必需性,不要看见数字就一定要使劲用上去,但碰到有用不上的数字,也要说出不用的道理。.

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如果数字与题目无关,理应让小孩区别。但此题平均数120000根,则超过半数(即6.5亿)以上的将集中在11-20根的区间,则结果一定大于6500。据试算应大于7200,

[ 本帖最后由 jerry0524 于 2009-3-25 21:36 编辑 ].

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一看题目应该归在抽屉原理里面,小孩子被平均12万根给绕进去了,其实知道原理就好了。.

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加上平均12万这个条件,标准答案就错了。理由其实相当简单,如果这是一个无关条件,那么改变其数字,结果仍会一样,假设改为平均19.999万根,6500这个答案岂不荒唐

[ 本帖最后由 jerry0524 于 2009-3-28 21:26 编辑 ].

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