破碎的砝码
一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物. 问这4块砝码碎片各重多少？

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2011-11-30 12:35 编辑 ].

难度很大啊.

假设一个物体为1磅重，用1磅的砝码可以称出来。
假设一个物体为2磅重，已有一个1磅的砝码，还需要一个几磅的砝码可以称出来呢？

笛卡尔说：复杂的问题要分成若干的小问题。.

我的理解就是 4个数加起来等于40, 4个数互相加加减减的各种组合, 可以等于1-40的所有整数, 然后好像比较麻烦, 明天让孩子试一下, 不过估计基本没有做出来的可能.

有些规则和技巧要通过实践才能摸索出来。

假设一个物体为2磅重，已有一个1磅的砝码，还需要一个几磅的砝码可以称出来呢？
有几个回答：
1、最简单的，假设增加一个2磅的砝码。这样还可以秤3磅的物品。
2、假设增加一个3磅的砝码呢。可以称出2磅，3磅，4磅的物品。

两相比较，增加一个3磅的砝码比较合适。.

如果是4块的话，好像只能最多称到15？ 四块重量依次为1，2，4，8 。
期待答案.

把2换成3，再试试看呢？4和8也可以考虑换别的。.

换3的话，怎么称2呢？两边都可以放砝码的话可以，那麽是1，3 ，9 ，27 ，好像对了.

两边都可以放砝码。例如：

左边：砝码3
右边：砝码1，物品。.

那就对了，1，3，9，27 都能称到，例如：5，33
左边：9          ，     27+9
右边：3+1  +物 ，     3 +物
试试应该都可以.

真厉害啊!.

我看你的思路, 先是1，2，4，8, 也就是2进制的 1,10,100,1000
然后是1，3 ，9 ，27 ，也就是3进制的 1,10,100,1000
是不是这样.

只放一边的话是2的零次方，一次方，二次方 三次方，类推
能放两边的话是3的零次方，一次方，二次方 三次方，类推。
以上是推算的，为什麽这样说不清楚。.

Bruce伍_瑞行：回复@天赋与严谨:兄弟高论，天平一边为物盘，一边为砝码盘，每个砝码可以构建三个态，不用砝码是0态，放在砝码盘是1态，放在物盘是-1态，砝码质量乘以所处状态（0，±1），累加得到物盘中物体质量。n个砝码最多可以创建3^n个态，对于本题，4个砝码可以构建81个态，对应物盘的物体重量为-40到+40。.

这样解释就通了。谢谢！请问是几年级的题？.

不清楚。你用了几年级的数学概念来做这道题？.

引用:

原帖由 ccpaging 于 2011-11-27 17:04 发表
不清楚。你用了几年级的数学概念来做这道题？

我觉得这可能是5年级的题目.

做这道题所需要的就是实践，就是玩，懂天平就可以玩，有时间就可以玩。
要说考试的话，恰恰是那种读死书背公式的，只能大眼瞪小眼，因为老师没讲过。对这些学生来说，天不生仲尼，万古如长夜。.

这道题光实践好像不行. 组合太多, 孩子试了10分钟就没兴趣了, 还是要有思路才行.

是的。最好是几个孩子一起试，联合攻关。给了思路，其实就限制了孩子的思维发展。
在做数学题之前，我们要先明确，目的是什么？如果仅仅是为了在短时间内学会做某些数学题，那么，只有数学中那些最核心、最基础的知识才是有必要的，也就是教科书上的那些知识，如四则运算、初等代数、几何等。
除了这些，那就是可学可不学的，有兴趣再学，学也是玩，玩也是学，无非是浪费时间，对数学专业素质的发展有所帮助罢了。目的如此，再去讲思路，就没什么必要了。.

三年级的女儿推算的，我做了点总结工作，不过看来做得很不到位。.

孩子能放手去试，而不是等待家长给思路、讲公式，目的就达到了。介就是数学研究。.

很好的贴子.

引用:

原帖由 小言妈妈0225 于 2011-11-27 16:53 发表
这样解释就通了。谢谢！请问是几年级的题？

其实，我还没有完全认同4#的解释。不过，有没有解释数学研究中并不是研究成功以否的标志。让孩子的小脑袋运动了，目的就达到了。

希望下次能详细记录研究过程。.

一位酒商有6桶葡萄酒和啤酒，容量分别为30升、32升、36升、38升、40升、62升。其中五桶装着葡萄酒，一桶装着啤酒。第一位顾客买走了两桶葡萄酒；第二位顾客所买葡萄酒是第一位顾客的两倍。请问，哪一个桶里装着啤酒？.

我也来试试小学数学题，

6桶总容量为238升。不是3的整数倍。
葡萄酒的总容量是第一位顾客买去的3倍，所以，是3的整数倍。
238-啤酒容量，是3的整数倍，所以，啤酒容量一定不是3的整数倍。
238-32=206，不是3的整数倍。
238-38=200，不是3的整数倍。
238-40=198，是3的整数倍。
238-62=176，不是3的整数倍。
答案，40升的桶里装着啤酒。

验证，198/3=66，
第一位顾客买了30L，和36L两桶，第二位顾客买了32L，38L和62L。

[ 本帖最后由 米叔 于 2011-11-30 13:13 编辑 ].

可以考虑用除以3的余数、、、.

我用笨办法算一下.
第一位顾客买走了两桶, 因此第二位顾客最多买3桶. 最大的3个数加起来38+40+62=140. 因此第一位顾客最多买 70
有如下组合: 30+32, 30+ 36, 30+38, 30+40, 32+36, 32+38.
但如果是第一位顾客买走了38，40，68中的一个，那么第二位顾客最多买138，第一位顾客最多可买69，因此去掉30+40和32+38，
剩下30+32, 30+ 36, 30+38, 32+36, 就一个一个试。.

第二位顾客买好后，葡萄酒卖光了？还是可以有剩余？.

葡萄酒被卖光了，剩下的是一桶啤酒。.

可以算出是葡萄酒被卖光了. 因为第一位顾客最少买30+32=62. 第二位顾客至少买3桶才能是2倍.

正解就是26楼吧？.

结果是对的。解法还有想象的空间。.

答案是3，4，9，24

我凑出来的

1，3，9，27好象也对.

试试 3，4，9，24：

1. 4-3
2. 9-3,4
3. 3
4. 4
5. 9-4
6. 9-3
7. 3,4
8. 3,9-4
9. 9
10. 4,9-3
11. 24-4,9
12. 24-3,9
13. 4,9
14. 24,3-4,9
15. 24-9
16. 24,4-3,9
17. 24-3,4
18. 24,3-9
（累，有空再试）.

再试试 3，4，9，24：

19. 24,4-9
20. 24-4
21. 24-3
22. 24,3,4-9
23. 24,3-4
24. 24
25. 24,4-3
26. 24,9-3,4
27. 24,3
28. 24,4
29. 24,9-4
30. 24,9-3
31. 24,3,4
32. 24,9,3-4
33. 24,9
34. 24,9,4-3
35.
36. 24,9,3
37. 24,9,4
38.
39.
40. 24,9,4,3

老兄，不对哦？.

还真不行.

孩子比我们厉害

今天和孩子讨论，一来他就想到1，2，4，8.但是不对。

我提醒了下，砝码是否可以放两边？于是试了很久，试到1，3，9，27了，他说是对的。我问他是否验证过。他说：“其实我没验证过，但是我知道是对的。”
我问他为什么？
他说：“3－1就是2，3+1是1，1和3何以组成1－4，9－3－1＝5，1，3，9可以组成1－13，27－13＝14，所以1，3，9，27可以组成全部数。”
思路还是挺清晰的。

接着他自己出了一道：63克的砝码，裂成6块，砝码只能放天平的一边，可以用这6块来称从1至63克之间的任意整数克的重物，问这6块的重量。.

是啊。首先要承认孩子比我们厉害，然后还要践行这个理念。也就是说，当我们试图去教他们的时候，想一想，如何教才能不束缚他们的思想，如何教才能释放他们的自由。.

忙完一阵子，我们重新归队。

一楼的题目，小朋友算出1，3, 9, 27 。说来好笑，开始时看了一眼便说，1, 2, 5, 32，问他为什么，说人民币都只有1，2，5, 总是有它的道理，后来验算了以后，觉得不对，然后才认真地开始重新寻找数字。

25楼的题目，40升里装的是啤酒。因为两位顾客买的都是葡萄酒，第一位买了两桶，一共五桶，第二位一定买了三桶，因此把二桶酒的数字加起来乘以2，再看看剩下的数字里有没有能够组合出这个数的，组合了30和36，得数是66，乘2等于132，正好62、32和38能够凑成132，所以只有40升剩下来，就是啤酒。.

这道题应该分成两个部分
1、40分解为4个正整数之和。 这是一个知识点，但不是这道题目的难点，我觉得从思维训练的角度应该先把这个前提扔掉。
2、最少砝码数任意称重问题。
     这是锻炼数感的题目，应该从2砝码，3砝码逐步开始训练孩子，直至发现规律，并引导至更高扩展性的题目。.

我来试试 不知对吗
由条件“第一位顾客买走了两桶葡萄酒；第二位顾客所买葡萄酒是第一位顾客的两倍”  得知葡萄酒一定是3的倍数
那么“30升、32升、36升、38升、40升、62升”条件简化为余数 0，2，0，2，1，2  合计为7
7/3  余数1    即40升

[ 本帖最后由 丑小鸭2003 于 2012-9-22 19:17 编辑 ].