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原帖由 千零 于 2010-12-8 12:59 发表
一个正整数可以有很多种表达方法,看你的需要了。比如100,你可以表达为10k, 5k, 3k+1,等等等等。你的题目里要求被5整除,那我们就从整除的角度去下手,不是每个正整数都可以被5整除的,那就牵涉到余数了,牵涉到余数了就可以利用同余的性质,而且有最多最少,牵涉到抽屉了。 ...
从数学的发展史看,不能整除的现象对萌芽期的数学来说,确实是个问题。为了避免这个问题,甚至有人想出了十二进制、六十进制这么变态的做法。例如,圆周采用360度来表示,在很大程度上就避开了余数的麻烦。但这还不够,后面人们发现了素数,如7、11、13、17等,一旦把这些大的素数作为分母,除不尽的问题又冒出来了。再后来,不同的文明都想出了同一个办法来解决,即分数。分数就解决了除不尽问题吗?没有。毕达哥拉斯发现了√2这个无理数,引发了第一次数学危机,中国人后来研究了π,达芬奇发现了黄金数,越来越多的无限循环小数,即无理数被发现。
这个过程说明了什么?所谓“余数问题就可以利用同余的性质”完全是奥数老师的胡说八道。学奥数的同学,一旦养成了这样的错误的固定思维,试问,他怎么还能继续接受学校里边正常的对“除不尽”问题的教学,如分数的加减乘除,如对无限循环小数和无限不循环小数的研究。难道说,进奥数课堂用一个脑子,进学校课堂用另一个脑子,不怕分裂吗?
下一个--再讲讲集合问题。
集合问题最早的研究是有限集合,如一个班上打篮球的或者踢足球的共有30个人,15人打篮球,25人踢足球,问又打篮球又踢足球的有几人?有限集合简单哇,蛮简单的,同学们都可以学。不过小一生学得话一定要小心,因为数学中经常研究的集合是数的集合。正常情况下,小一生还只是刚开始学数数、加减、乘除,他们眼里的数是具体的有实物代表的数。当他们还没有建立起对数数、加减乘除的全面的、稳固的认识时,把数作为抽象的对象来研究,例如数列等,都可能造成混淆,增加他们正常学习的困难。
而这道题所展示出来的集合问题绝不是什么集合初步,前面我说错了,查了下资料,在此纠正,而是无穷集合问题。无穷集合问题也是困扰萌芽期数学家们的一个大问题。
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公元前5世纪,埃利亚学派的芝诺(约公元前490-前430),一共提出45个悖论,其中关于运动的四个悖论:二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论尤为著名,前三个悖论都与无穷直接有关。芝诺在悖论中虽然没有明确使用无穷集合的概念,但问题的实质却与无穷集合有关。
希腊哲学家亚里士多德(前384-前322)最先提出要把潜在的无穷和实在的无穷加以区别,这种思想在当今仍有重要意义。哲学权威亚里士多德把无穷限于潜在无穷之内,如同下了一道禁令,谁敢冒天下之大不韪,以至于影响对无穷集合的研究达两千多年之久。
公元5世纪,拜占庭的普罗克拉斯(410-485)是欧几里德《几何原本》的著名评述者。他在研究直径分圆问题时,注意到圆的一根直径分圆成两个半圆,由于直径有无穷多,所以必须有两倍无穷多的半圆。
近代科学的开拓者伽利略(1564-1642)注意到:两个不等长的线段上的点可以构成一一对应。他又注意到:正整数与它们的平方可以构成一一对应,这说明无穷大有不同的“数量级”,不过伽利略认为这是不可能的。他说,所有无穷大量都一样,不能比较大小。
数学家之王”高斯(1777 —1855)的意见为代表。高斯是一个潜在无穷论者,他在1831年7月12日给他的朋友舒马赫尔的信中说“我必须最最强烈地反对你把无穷作为一完成的东西来使用,因为这在数学中是从来不允许的。无穷只不过是一种谈话方式,它是指一种极限,某些比值可以任意地逼近它,而另一些则容许没有限制地增加。”
法国大数学家柯西(1789-1857)也同他的前人一样,不承认无穷集合的存在。他认为部分同整体构成一一对应是自相矛盾的事。
数学分析严格化的先驱波尔查诺(1781-1848)也是一位探索实无穷的先驱,他是第一个为了建立集合的明确理论而作出了积极努力的人。他明确谈到实在无穷集合的存在,强调两个集合等价的概念,也就是后来的一一对应的概念。
黎曼(1826-1866)是在1854年的就职论文《关于用三角级数表示函数的可能性》中首次提出“唯一性问题”的。
1870年到1883年康托尔奠定了集合论的基础,此时方才诞生了现代的集合论。
大卫·希尔伯特(1862-1943)在他的1926年《论无穷》的讲演中所说的那样:“没有任何问题象无穷那样深深地触动人的情感,很少别的观念能象无穷那样激励理智产生富有成果的思想,然而也没有任何其它概念能象无穷那样需要加以阐明”。
以上摘自:
http://baike.baidu.com/view/26152.htm
原文太长,适当删减。
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看了集合论的历史,大家不妨想想,为什么真正的集合论诞生在1870年左右,为什么芝诺和亚里士多德不能创建集合论?原因很显然,集合论的创建需要一系列的研究和知识作为基础,同时有了基础,对集合问题的研究才是有意义的,值得当时的数学家们去研究。在奥数班,在同学们都没有这些数学基础研究和基础知识作为铺垫的情况下,只会出现两种情况,一是扭头就走,他不知道这样的研究有任何意义,勾不起他研究的兴趣,二是陷入与芝诺悖论类似的思维陷阱,不能自拔。
再下一个--同余定理、、、算了,不说了,有兴趣的朋友不妨去查查 google。
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本帖最后由 ccpaging 于 2010-12-8 16:15 编辑 ].