若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。.

一、整除的定义：
当两个整数a和b（b≠0），a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或b整除a，也把a叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作b a.

二、数的整除性质：
(1)对称性：若甲数能被乙数整除，乙数也能被甲数整除，那么甲、乙两数相等。记作：a|b,b|a,则a=b。   
(2)传递性：若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。记作：若a|b,b|c,则a|c。
   (2) 若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能该自然数整除。
记作：若a|b,a|c,则a|(b c)。
   (3) 几个数相乘，若其中有一个因子能被某一个数整除，那么它们的积也能被该数整除。
   (4) 若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能分别被这两个互质数的积整除。记作：若a|b,c|b,(a,c)=1, 则ac|b。
   (5) 若一个数能被两个互质数的积整除，那么，这个数也能分别被这两个互质数整除。记作：若ac|b,(a,c)=1, 则a|b,c|b。
   (6) 若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
   (7) 若a|b,m≠0,则am|bm。
   (8) 若am|bm,m≠0,则a|b。
  （9）若c|a，c|b，则c|（ma+nb），其中m、n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）

三、整除特征
  （1）1与0的特性：
1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.
0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.
  （2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
  （3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
   (4)  若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
  （5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
  （6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
  （7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
  （8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
  （9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
  （11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！
  （12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
  （13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
  （14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
  （15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
（17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。
（18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。

四、其他重要结论
1、能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别在这个数的未一位、未两位、未三位上。我们可以概括成一个性质：未n位数能被 (或 )整除的数，本身必能被 (或 )整除；反过来，末n位数不能被 (或 )整除的数，本身必不能被 (或 )整除。例如，判断19973216、91688169能否能被16整除，只需考虑未四位数能否被16整除便可﹝因为16 =  ﹞，这样便可以举一反三，运用自如。
    2、利用连续整数之积的性质： 任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除； 任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。这个性质可以推广到任意个整数连续之积。

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2006-7-5 17:17 编辑 ].

女儿用计算器运算后回答：不可以，但是为什么有劳james来回答了。哈哈，.

侬结棍格！阿拉重读小学去了。

[ 本帖最后由 上海的考拉 于 2006-7-5 17:23 编辑 ].

你不会是熊斌的分身吧？.

小朋友最多应该是158人.

3与5的最小公倍数是15 ,所以有重叠的部分人数是15*9+1=136
左边还有15-3=12人;右边还有15-5=10人
所以最多人数是136+10+12=158人.

先感谢以上各位,再来一题!
        自动投币售货机,可使用的硬币有1分、2分、5分、1角、5角和1元共六种，如果要使购买任何一件价值不超过5元的商品时，都能免去找零钱的麻烦，那么你应该准备的各种硬币的总枚数最少是多少？.

考拉兄，你我那时读书没有奥数，叫趣味数学。学得是１＋１＝２，研究的是１＋１＝１０。哈哈。。。.

ｃｏｏｌ爸，该请客了，帮你做了Ｎ道了，你老汇总汇总可以出解题集了。

那题目做１０步就出来了，你就发现规律了。.

我们这些大家也不一定做得出。

幼儿园小班上折纸课，老师给每个小朋友发一张长方形花纸，老师开始教小朋友折飞机。小明把纸的一角折了起来，他想，角折大的，再大的，啊，那折痕的长短是不一样的，他就问老师，这个角的顶点在长方形纸的什么位置时，其折痕最小？在什么位置时，其折痕最长？

你试试看。.

不知道N等于几,我出解题集恐怕弄不到书号,还是刻刻蜡纸,油印吧.开印的时候搞个仪式,请你老参加,不过不要空手哦!.

ｃｏｏｌ我做答案，你刻字，估计你大字能卖大价钱，我那答案都误了人了，合作一把。哈哈。。。。.

有问题,首先我的字卖不了价钱,更谈不上大了,你的答案也没误人,看样子难合作了.不过FB一下估计能合作得起来!.

顺便叫考兄把那个什么带上..

考兄在组织ＦＢ，你老也到场，急母思也要来，请他不要再在中东采访报道了。

爽爸，ＦＢ主题是什么？要不然活动经费ＬＰ不批。.

至少出現一個6，且能被3整除的五位數共有几個？.

cool爸爸千我头皮是吧！炫爸 手中的题目可真多啊，啥时正像cool爸爸说得那样，ＦＢ一次，咱们把题刻了，印了，卖了，把人误了，咱们ＦＢ　的费用有着落了，哈哈，.

考兄千万别这么说，因为你的那个什么汤勺让人印象太深刻了！炫爸说你在组织，我可不能拉下啊

[ 本帖最后由 cool爸爸 于 2006-7-8 17:17 编辑 ].

自动投币售货机,可使用的硬币有1分、2分、5分、1角、5角和1元共六种，如果要使购买任何一件价值不超过5元的商品时，都能免去找零钱的麻烦，那么你应该准备的各种硬币的总枚数最少是多少？


没人应，只有自己来了．
５＝１*４+０.５*１+０.１*４+０.０５*１+０.０２*２+０.０１*１
４+１+４+１+２+１＝１３
答案为１３.

考拉，在腐败专区挂上FB帖子，也不短我一声，我报名了，支持你，有爱心的爸爸。.

很谢谢你在网络上给我们的帮助。这道题回家给孩子做了。有个问题我想问，因为球的轻重不知道。如果第一次4-4 轻重不同时，取哪组再2-2？.

终于找来答案,大家共享.
第一次称天平每一边四个，如果平，则不合格的在剩下的四个球中，第一次称的八个球都是标准球。在剩下的四个球中取3个球，放在天平的一边，另一边放三个标准球，进行第二次称重。若平衡，则剩下的那个为不合格球，再称一次即可知道轻重。
若不平，则不合格球在这三个球中，而且已知道其轻重。第三次称时在这三个球中取两个，天平每边一个，若平衡，则不合格球为剩下的那个；则不平，则根据第二次称时知道的轻重关系也可找到不合格球。
如果第一次称时天平不平衡......记录下轻重关系，并且现在有4个标准球。

从较重的4个中取3个，从较轻的4个中取2个，放在天平一侧；
较重4个中剩下的1个和4个标准球放在天平的另一侧。

如果天平保持平衡，只要称较轻4个中剩下的2个即可，轻的那个就是；
如果有标准球的一侧轻，说明另一侧较重的3个中有一个偏重，再称其中任意2个即可；
如果有标准球的一侧重，则称另一侧中较轻的2个球，如果不一样重，则较轻的那个是，如果一样重，则有标准球那侧的那个偏重。.

高的, 总算看懂了..

方法相同，下面的说明更容易理解。

(①,②,③ 表示三次称量)

将球分为三组，每组4个，如：X组(1,2,3,4) Y组(a,b,c,d) Z组(A,B,C,D)
Q代表问题球。

①if X=Y then Q in Z
从Z中抽出D加入正常球1 称 (A,B) (C,1)
②if (A,B)=(C,1) then Q = D
②if (A,B)<(C,1) then 称 A,B
③if A = B then Q = C
③if A > B then Q = B
③if A < B then Q = A
②if (A,B)>(C,1) then 称 A,B
③if A = B then Q = C
③if A > B then Q = A
③if A < B then Q = B

①if X > Y then Q in X or Y
从X中抽出(3,4)，从Y中抽出(d)，X剩(1,2) Y剩(a,b,c)，
并用X中(2)的和Y(c)中的进行交换，再向X中加入正常球(D),
重组后X组(1,c,D)，Y组(a,b,2)，再称量X，Y

② if X = Y then Q in ( 3,4,d)。
因为(1,2,3,4)>(a,b,c,d)(由称量①可知),所以 Q = d(比正常轻) or Q = (3,4)中重的那个，
称量(3,4)。
③if 3 = 4 then Q = d
③if 3 > 4 then Q = 3
③if 3 < 4 then Q = 4

② if X > Y then Q in (1,a,b)。
2 和 c交换没有任何影响，都是正常球，所以 Q = 1(比正常重) or Q =(a,b)中轻的那个。称量(a,b)。
③if a = b then Q = 1
③if a > b then Q = b
③if a < b then Q = a

② if X < Y then Q in (2,c)。
2 和 c 决定了X,Y的轻重， 所以 Q = 2(比正常重) or Q = c(比正常轻)。
将 2 和一正常球 1 比较。
③if 2 = 1 then Q = c
③if 2 > 1 then Q = 2
③ 2 < 1 不可能。

①if X < Y then 同理。.

我觉得很难,你们家的小帅哥能做吗? 我的孩子不能做,开始,她很快的反应是6-6,3-3,1-1,但是我一说球的轻重未知她就知道错了,我想这样的答案她是做不出的.和她解释她会很明白..

我家的小帅哥是做不了的，他根本没有耐心做这类题的。
这道题的难度可能相当于高中级别的奥数题。我是拿来给大家做着玩玩的，家长不必要求孩子会做，孩子若有兴趣肯听能理解就不错了。.

好题，俺都被轻重的问题给耍了！谢谢你让我做脑力体操！有空都帖点吧。.

关键是分堆要分的好.

炫炫爸回答完了么？.

昏过去，一群数学狂人！

来一个好玩点的吧：.

还有一个不平衡情况，在继续做。.

cool爸，你先吃吧，别等我了。哈哈。。。.

你不来我没心思吃..

趁炫炫爸努力做题的时候,再出一题!
    从3枚五分硬币,3枚一角硬币,3枚五角硬币中至少取一枚,这样可以组成几种不同的币值?.

这道题的解应该是这样的:
  
       每天快20分钟的,则至少经过36天,正好快12个小时,在钟表上则显示的是标准时间.对于那个每天慢30分钟的,算下来经过24天,正好慢12个小时,在钟表上也正好显示的是标准时间.如果两个钟要同时显示标准时间,那么36X2=72,24X3=72.所以答案是72小时..

请问是各取一枚呢,还是合在一起,任取一枚?.

至少任取一枚.

39种。
最少是一枚5分，最多全部取上，195分。
3枚5分和3枚10分可以组成5，10，15，。。。，45，
所以这些分币可以组成5，10，。。。，190，195。
因此，一共有(195-5)/5+1=39.

赞一个!.

再来一道!
    将1995减去它的二分之一,再减去它余下的三分之一,再减去它余下的四分之一,......,直到减去它余下的一百分之一,最后剩下的是多少?.

19.95
解题步骤如下：
1-1/2=1/2
1/2-1/2x1/3=1/3
1/3-1/3x1/4=1/4
...
1/99-1/99x1/100=1/100
1995x1/100=19.95.

汗,炫炫爸快来啊!我已经没题目了!

炫炫爸还在做那个球的问题?.

何方神圣？家长如此强，一代胜一代，孩子不得了啊．.

溜。。。.

题目又来了!
       若干只箱子的总重量为10吨,每一只箱子的重量不超过1吨,为了保证把这些箱子一次运走,至少需要多少辆载重3吨的卡车?.

考兄,他怎么溜了?.

至少需要5辆..

至少4辆，最多5辆。
关键是重量的分布。一般情况下，4辆卡车即可。
假设n个箱子，其中n-1个箱子重量>3/4吨 且<7/9吨 时，则需要5辆卡车。

[ 本帖最后由 helenLee 于 2006-7-6 21:51 编辑 ].

老朋友好久不见，在哪潜水呢？.

2001业余数学预初试题9.某人一块手表比家里的钟每小时快15秒，已知家里的钟比标准时间每小时慢15秒，则这块手表比标准时间一昼夜（        ）秒（填快或慢多少秒）书后答案慢1.5秒，但我怎么觉得手表显示的就是标准时间呢？各位帮帮忙。.