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2008-9-12 09:40

[ 本帖最后由 老姜 于 2008-9-12 09:40 编辑 ].

试试看

因为S△BDE=S△CDE+S△BCD+S△BCE
所以原题等价于求证S△ADE= S△BCD+S△BCE

过点E作AD和BC延长线的垂线，分别交于F和G。

S△BCD+ S△BCE
=BC*FG/2+ BC*GE/2
=BC*(FG+GE)/2
=AD*EF/2 （平行四边形对边相等）
=S△ADE

证毕.

极好的方法。.

还能不能找出其他方法？我找了三种，一种是你的。.

谢谢姜老师出题，真辛苦您了。
最近小人开始学几何了，所以没事自己也一起捣腾捣腾，呵呵。
其它方法留给他周末去思考思考，再来汇报。.

从A点向DE做垂线,交DE延长线于F点,
从B点向DE做垂线,交DE于G点,
从C点向DE做垂线,交DE于H点,
延长BC,交DE于I点,
从A点作DE平行线,分别交BG、BC于J和K点,
因为AJ//DE,AF//BD,所以AF=GJ,
又因为AD//BI,AK//DE,所以AD=KI,所以BK=CI,
即三角形BJK全等三角形CHI,所以CH=BJ,
即高BG=高AF+高CH
得证。.

第二种方法有了。我的最好的一种方法还没有人提到。.

过B点作DE的平行线BF，交EA延长线于F点，
可证得S△DEC=S△ABF=S△ADF,
S△BDE=S△FDE=S△ADE+S△ADF.

这算一种吗？思路如下：

过点B、E分别作CE和AD的平行线，交于F，连接AF。
容易证得△ABF全等△CDE，△ADE全等△AEF。
这样原题就等价于求证S△DBE=△ABF+△AEF。
而S△ABF+S△AEF=S四边形ABFE=S△ABE+S△BEF
又，S△DBE=S△BCD+S△CDE+S△BCE
其中，△BCE全等于△BEF(平行四边形性质)，
所以，原命题就等价于求证，S△ABE=S△BCD+S△CDE
因为AB和CD平行且相等，所以上述等式很容易得到。.

几何题.JPG (17.63 KB)

2008-9-12 17:25

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蛮有意思的题目，期待第三者方法

[ 本帖最后由 mwt5671 于 2008-9-12 18:13 编辑 ].

上述诸法兜来兜去，都未能跳出证法一的“俗套”，从本质上讲，各种证法的意思大同小异的。

谁能把隐藏在原问题背后的东西揭示出来呢

[ 本帖最后由 老姜 于 2008-9-12 21:44 编辑 ].

DE同底.

DE平移到C 点，即可知两高之和等于另一高。.

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2008-9-13 00:08

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2008-9-13 00:11

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猜测一下，15楼是姜老师想要的第三种证明。

16楼是姜老师原来在想的东西，怕贴出来吓到大家。这种坏事就我来做吧。.

引用:

原帖由 老猫 于 2008-9-13 00:12 发表
猜测一下，15楼是姜老师想要的第三种证明。

16楼是姜老师原来在想的东西，怕贴出来吓到大家。这种坏事就我来做吧。

老猫一语道破天机。

这个问题的实质是：平行四边形每组相对的顶点到同一条直线的距离之和都相等。

这一点，很容易用梯形中位线定理证得。

在本题中，D到直线DE的距离为零。显然，这一情形属于上述一般结论的特例了。

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2008-9-13 06:39

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漂亮啊，本质。
有感觉，但就是归纳不到这个程度，佩服佩服！.

这里好作为家长培训学校了!

音响里放着 十八首全球最好听的女声, 把各种解题思路从简到难, 又由繁入简地细细琢磨过来, 真是一种享受呀. 这种脑部运动跟身体运动一样让人宠辱皆忘, 百闹归静.

[ 本帖最后由 wealth37 于 2008-9-13 12:31 编辑 ].

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都是家长在做，爸爸妈妈奥数培训班，哈哈.

请教一题:
        有1997个奇数,他们的和等于他们的积,若其中只有三个数不是1,且为三个不同的质数,求这三个数.
这是孩子的作业,请教WW上的爸爸妈妈了,谢谢!.

5  7    59.

thank you.