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姜老师在线——全国初中数学联赛第二试平面几何问题

本主题被作者加入到个人文集中
笔者曾将本问题整理成文,在2001年的春节期间发表于本市某科普杂志上。福建的一位读者来信指出,“52”并非本问题有解的“底线”。事实上,他找到了比52更小的一个可能值——46。对应的取法是:0,1,2,4,8,15,24,29,34,46。

这位读者的指正是正确的。那么,我一开始的想法又错在哪里呢?仔细比较0,1,2,4,7,12,20,29,38,52和0,1,2,4,8,15,24,29,34,46这两组数据,我们不难发现:尽管第二组数据的8,15,24比第一组数据相同位置的7,12,20要大一点,但第二组数据的34,46则一下子比第一组数据相同位置的38,52要小许多。由此看来,依靠“压缩”十个数间的相对距离求“底线”的方法,实在只是我的一种“异想天开”。.

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那么,本问题真正的“底线”又是多少呢?利用抽屉原理可以证明:问题有解的“底线”不小于45。但对应于45的取桔子的方案却很难用人工方法搜索出来。

看样子,只有计算机才能助我们一臂之力了。老姜编了一个程序,真正的“底线”终于浮出水面——45。对应的方案有两组:0,1,7,10,13,21,26,41,43,45和0,2,4,19,24,32,35,38,44,45(请注意:这两组解恰为对称解,即用45减去一组解中的十个数,便得另一组解)。

值得一提的是,对应于46的方案居然有24种之多。.

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46应该是最小的解了吧。“45”无解。
老姜设了一只圈套让大家钻。.

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引用:
原帖由 helenLee 于 2006-10-2 19:21 发表
46应该是最小的解了吧。“45”无解。
老姜设了一只圈套让大家钻。
老姜有这么坏吗?.

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5、10、16、22(23、24)、41、42、43、44、45   

此题有多解,技巧是解决最后的数字发散问题.

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引用:
原帖由 多多侠妈妈 于 2006-10-2 19:24 发表
5、10、16、22(23、24)、41、42、43、44、45   

此题有多解,技巧是解决最后的数字发散问题
这是哪门子解?不算括号内的数,怎么只有九个呢?加上括号内的数,却有十一个!.

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引用:
原帖由 多多侠妈妈 于 2006-10-2 19:24 发表
5、10、16、22(23、24)、41、42、43、44、45   

此题有多解,技巧是解决最后的数字发散问题
这里有很多重复的。.

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同理推算出如果是每筐43个橘子

0、5、10、16、22、39、40、41、42、43

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引用:
原帖由 多多侠妈妈 于 2006-10-2 19:24 发表
5、10、16、22(23、24)、41、42、43、44、45   

此题有多解,技巧是解决最后的数字发散问题
不懂,42+43不就等于41+44吗?

哎,光看这些数字就头晕,怪不得我那上预初的小狗再也没辙了!.

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回复 #60 Jessie_Shi 的帖子

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2006年10月3日

如图,EFG是一个边长为5的正三角形的“轮子”,它和边长为8的正方形ABCD的初始位置如图所示。

现在让“轮子”按下面的方式“滚动”起来:

先绕着G点顺时针旋转,使得E点恰好落在CD边上;

又绕着E点顺时针旋转,使得F点恰好落在AD边上;

再绕着F点顺时针旋转,使得G点恰好落在AB边上……

仿此规律让“轮子”连续“滚动”1000次,问:在最后时刻,A、E两点之间的距离是多少?.

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11.JPG (5.25 KB)

2006-10-2 19:43

11.JPG

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引用:
原帖由 多多侠妈妈 于 2006-10-2 19:40 发表
  
计算机已经给出正确答案了,多多侠妈妈居然还想“翻案”。 .

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引用:
原帖由 老姜 于 2006-10-2 19:23 发表

老姜有这么坏吗?
还不算忒坏。

如果提示可以用编程解决,偶就直接写程序去解了。
可惜死了好多脑细胞。.

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我到现在看到数字还晕呢.

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引用:
原帖由 老姜 于 2006-10-2 19:43 发表
2006年10月3日

如图,EFG是一个边长为5的正三角形的“轮子”,它和边长为8的正方形ABCD的初始位置如图所示。

现在让“轮子”按下面的方式“滚动”起来:

先绕着G点顺时针旋转,使得E点恰好落在CD边上; ...
解:8-5=3
A---E的距离为3

对吗?.

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回复 #61 老姜 的帖子

每滚动48次,回到初始位置,答案是3.

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引用:
原帖由 红眉 于 2006-10-3 18:51 发表
每滚动48次,回到初始位置,答案是3
Jessie_Shi最早给出答案,红眉则点出了问题的要害。恭喜恭喜。.

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2006年10月3日

一只母鸡踱着方步去吃米(如图)。它每走一步,只能从一个方格走到与之相邻的上、下、左、右中的某一个方格内,不能斜走。

母鸡突然心血来潮,它想为自己设计一条线路,使得它在抵达目的地之前,能走遍所有写有数字的47个方格。

需要指出的是,如果有必要,母鸡在行走过程中可以重复进入某些写有数字的方格;但作为起点和终点的2个方格,则在中途不能进入。

设母鸡曾经进入的所有方格内的数字之和为S(那些重复进入的方格内的数字,在求和时将被累计),求S的最小值。

说明:2003年末,笔者原创了本题,并于次年年初在上海某科普杂志发表此题。事实上,它只是笔者构思的“母鸡吃米”系列题中的第一个问题。如果有读者解决了这个问题,笔者将于明日继续给出后面的问题。.

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母鸡吃米1.JPG (14.41 KB)

2006-10-3 21:11

母鸡吃米1.JPG

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请问高手

三个互不相等的数,可以表示成1,a+b,a,也可以表示成0,b/a,b的形式,那么a+3b=______。

请指点。
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请问高手

三个互不相等的数,可以表示成1,a+b,a,也可以表示成0,b/a,b的形式,那么a+3b=______。

请指点。.

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引用:
原帖由 美犬之爸 于 2006-10-4 19:00 发表
三个互不相等的数,可以表示成1,a+b,a,也可以表示成0,b/a,b的形式,那么a+3b=______。

请指点。
这道题目见了眼熟,它应该是某年的一道数学学校入学试题。

由于b/a有意义,因而a≠0。于是,在1,a+b,a三个数中,只有a+b=0了。由此不难知道,b/a=-1。这样,a=b/a=-1,b=1。

最后可知:a+3b=2。.

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引用:
原帖由 老姜 于 2006-10-3 21:11 发表
2006年10月3日

一只母鸡踱着方步去吃米(如图)。它每走一步,只能从一个方格走到与之相邻的上、下、左、右中的某一个方格内,不能斜走。

母鸡突然心血来潮,它想为自己设计一条线路,使得它在抵达目的地 ...
昨日“母鸡吃米”的问题终于遇到了冷场,看来这个问题看似简单,其实还是颇有份量的。老姜暂且不将个中奥秘点破,请有兴趣的读者继续开动脑筋。.

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湖边的树

2006年10月5日

湖边的树

清晨,一位老人在湖边悠闲地散着步。湖边绿化搞得不错,每隔三至五步就种着一棵树。老人想,反正自己闲着无事,何不借此机会做个有心人,将绕湖一周的树的总数探个究竟。主意打定,他便从某棵树开始,按照顺时针的方向一五一十地数了起来。为了验证所得的结果是否正确,在完成了第一次清点工作后,老人又从另一棵树开始,同样按照顺时针的方向将树的总数重又数了一遍。结果,两次统计所得的数据完全一致。

我们假设,在绕湖的这些树中,存在这样的四棵树,第一次数数时它们的序号依次为第二次数数时序号的3、4、5、6倍;又假设,存在这样的四棵树,第二次数数时它们的序号依次为第一次数数时序号的7、8、9、10倍。问:湖边至少种了多少棵树?

说明:本题为笔者原创,2003年9月发表于上海某科普杂志。.

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谢谢

谢谢老姜。你是高手,我是刚上路的新手,请多关照!!! .

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2.

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请问老姜高手

还有一题:

某计算器可以接受整数数对,并且通过一个键按照如下的规则来改变数对,当原来的整数数对(a+b)中的两个数之和a+b除以4分别余0,1,2,3时,输出的结果依次为(a+1,b),(a,b+1),(a-1,b),(a,b-1),如果按10次键后得到(1,17),那么最初输入的数对中的后一个数是_____。
这些是2000年预备年级的招生试题,小女在练习,碰到难题,只好请教高手,谢谢!.

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引用:
原帖由 美犬之爸 于 2006-10-4 20:55 发表
还有一题:

某计算器可以接受整数数对,并且通过一个键按照如下的规则来改变数对,当原来的整数数对(a+b)中的两个数之和a+b除以4分别余0,1,2,3时,输出的结果依次为(a+1,b),(a,b+1),(a-1,b), ...
这个问题宜倒过来推导。

由已知,输入数据(a,b)后,输出的数据因a+b除以4所得的余数不同,有(a+1,b),(a,b+1),(a-1,b),(a,b-1)四种可能。

于是,反过来,根据输出的数据是(m,n),我们可以推断输入的数据不外乎是(m-1,n) ,(m,n-1), (m+1,n), (m,n+1)四种可能。

举例而言,对按10次键后得到的数据为(1,17),则按9次键后得到的数据为(0,17),(1,16),(2,17),(1,18)中的一个或几个。

下面逐一验证上述四个数据。

如果是(0,17),则因为0+17=17,17除以4余1,按照规则,输入(0,17),理应输出(0,17+1),也即输出(0,18)才对呀,于是这种可能被排除了。

如果是(1,16),则因为1+16=17,17除以4余1,按照规则,输入(1,16),理应输出(1,16+1),也即输出(1,17),于是这种可能需要保留,作进一步核实。

如果是(2,17),则因为2+17=19,19除以4余3,按照规则,输入(2,17),理应输出(2,17-1),也即输出(2,16)才对呀,于是这种可能被排除了。

如果是(1,18),则因为1+18=19,19除以4余3,按照规则,输入(1,18),理应输出(1,18-1),也即输出(1,17),于是这种可能需要保留,作进一步核实。

从上面的分析来看,按10次键后得到的数据为(1,17),按9次键后得到的数据为(1,16)或(1,18)。

继续倒推。

如果按9次键后得到的数据为(1,16),则按8次键后得到的数据依然有四种可能,经检验(方法同上),只有(0,16)是合乎情理的,其他三种情况都应舍去。

如果按9次键后得到的数据为(1,18),则按8次键后得到的数据也有四种可能,经检验(方法同上),这四种情况均不合乎情理,全部舍去。

可见,实际上,按9次键后得到的数据为(1,16),按8次键后得到的数据为(0,16)。

思路大体就是这样,最后可知,最初输入的数据是(4,12)或(6,12)。所以,最初输入的数对中的后一个数是12。

姜老师今天要出门去“逍遥”,7日回沪。因而家长们这两天的问题,恕不能及时作答。

在这里预祝各位考生放稳心态,考出理想成绩。

如果有可能,请考生们将答案记下来,姜老师回来后会为大家批阅的。.

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谢谢姜老师

非常感谢姜老师的耐心解答,有困难再来麻烦姜老师!
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问题

今天考试如何.

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老姜千岛湖钓鱼回来啦!

家中扫描仪罢工了,只能用数码相机翻拍试卷,效果欠佳,大家包涵。.

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2006-10-7 17:23

1.JPG

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标准答案

(1)4;
(2)7;
(3)92;
(4)118;
(5)10235;
(6)6;
(7)75;
(8)50,25;
(9)135,225,315;
(10)88;
(11)267;
(12)240。.

附件

2.JPG (199.94 KB)

2006-10-7 17:27

2.JPG

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谢谢姜老师
第七题错了啊 .

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老姜真是牛啊,谢啦。儿子考完回来我问了问这次的出题情况,居然回答我,出了考场就全忘了。
刚看到你的卷子和标准答案,又问了他,回答是错了2题,咳,真是没办法。.

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我们对下来又错一道
这下可能是录取不了啦 .

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回复 #85 杰克之母 的帖子

你们错在哪两道?.

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3,12 。居然计算错,粗是粗心的来。.

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回复 #静若处子 的帖子

你家宝贝不会也错题吧???看来这次希望不大了.

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回复 #89 杰克之母 的帖子

你们比我们好,我们错在7和12.

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回复 #90 静若处子 的帖子

我看我家的猪宝宝也好不到哪里去。这次题目不难,全对的人应该不少吧 。.

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回复 #83 老姜 的帖子

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今年WW上考业余学校的其实并不在少数,但很多人在考试结束后选择了沉默。除非刻意低调,要不然,有一种解释就是可能不太理想吧。所以我奉劝楼上各位BBMM尽可以放宽心,你们的成绩还是不错的。

今年参加考试的有1000人左右。有家长在短心里打听今年招生的人数与录取分数线。老姜在这里告诉大家:一,具体招的人数与分数线都还没有最后确定;二,即使定了,这样的消息,也只有等官方宣布了,我不好在外面乱讲的,这是纪律。

对您的孩子来说,希望与失望并存,要注意调节好孩子的情绪。告诉他们:考试结束了,生活还在继续。.

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姜老师,错五道有希望吗.

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回复 #93 老姜 的帖子

我儿子很粗心,全部会做,可是粗心的很,您说错5道还有希望吗?我已经忐忑不安了好几天了,可是儿子一点也没有什么,心痛.

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回复 #93 老姜 的帖子

老姜此言有理
不管考试成绩如何,不管录取与否,生活还是要继续.

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大概什么时候可以知道录取结果呢? 是通知到学校里的么?.

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引用:
原帖由 禹儿妈妈 于 2006-10-8 09:40 发表
大概什么时候可以知道录取结果呢? 是通知到学校里的么?
无论录取与否,均通知到校。

11月上课,具体时间待定。.

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引用:
原帖由 宝宝龙的妈 于 2006-10-8 09:02 发表
姜老师,错五道有希望吗
今年试卷偏简单,按照往年,应该是有希望的。.

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回复 #98 老姜 的帖子

  那我们就等学校通知了, 无论录取与否

[ 本帖最后由 禹儿妈妈 于 2006-10-8 13:01 编辑 ].

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