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姜老师在线——全国初中数学联赛第二试平面几何问题

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姜老师在线——全国初中数学联赛第二试平面几何问题

考试结束了,生活还要继续……

[ 本帖最后由 老姜 于 2007-4-17 19:55 编辑 ].

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回复 #1 老姜 的帖子

2006年9月28日

打字员准备将所有的四位数都打印在卡片上,每张卡片打印一个数。注意到有的四位数,倒过来看仍是一个四位数(如9961,倒过来看是1966),于是,9961和1966完全可以合二为一,用一张卡片来代替。打字员最少需要打印几张卡片,就能表示所有的四位数?(我们假定:在本题中,0、1、6、8、9倒过来分别是0、1、9、8、6,其余数字倒过来都不再是数字了。).

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8250

[ 本帖最后由 将真实进行到底 于 2006-9-28 22:43 编辑 ].

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回复 #4 将真实进行到底 的帖子

中学版答题的规矩: 要有过程..

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回复 #5 快乐小猪妈妈 的帖子

哈哈,我是答得好玩

9*10*10*10-4*5*5*5/2=8250
(四位数减能倒写的重复的四位数).

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引用:
原帖由 将真实进行到底 于 2006-9-28 22:49 发表
哈哈,我是答得好玩

9*10*10*10-4*5*5*5/2=8250
(四位数减能倒写的重复的四位数)
这个答案好像有问题哦。.

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顶.

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9000-4*5*5*5+4*5*5*4/2+4*5*5=8800

[ 本帖最后由 wood 于 2006-9-29 09:48 编辑 ].

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上述答案不包括类是0001这样的数.

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回复 #7 老姜 的帖子

嘿嘿,是有问题,减法就算错了
9000-4*5*5*5/2=8750


再试一个  9000-4*5*5*4/2=8800.

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引用:
原帖由 将真实进行到底 于 2006-9-29 10:33 发表
嘿嘿,是有问题,减法就算错了  
9000-4*5*5*5/2=8750


再试一个  9000-4*5*5*4/2=8800
好像还是有问题啊。:(.

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回复 #2 老姜 的帖子

先考虑四个位数上可以放那些数字,再考虑0不可以放首位和末位,然后去除重复的就是正确的答案。.

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回复 #12 老姜 的帖子

我抛砖引玉

还有特殊数字,倒过来是本身的 1111、1001、1881、1691、1961、6119、6009、6889、6699、6969、8888、8118、8008、8698、8968、9116、9006、9886、9966、9696、

9000-(4*5*5*4-20)/2=8810   

再不对就不做了

[ 本帖最后由 将真实进行到底 于 2006-9-29 15:30 编辑 ].

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引用:
原帖由 将真实进行到底 于 2006-9-29 13:03 发表
我抛砖引玉

还有特殊数字,倒过来是本身的 1111、1001、1881、1691、1961、6119、6009、6889、6699、6969、8888、8118、8008、8698、8968、9116、9006、9886、9966、9696、

9000-(4*5*5*4-20)/2=8810   
...
8809离8810仅一步之遥,“真实”终于把脚步迈了过去,看来“真实”的排列组合学得还不错啊。

其实“20”不用穷举得到,9000-(4*5*5*4-4*5)/2=8810 ,想一想,为什么可以这样算。.

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2006年9月29日

有三个大小相同的立方体,每个立方体的六个面上分别写有1至6六个数字,其表面展开图如图所示。现在将这三个立方体按如图方式粘合在一起,设粘合体表面的各数字之和为S,求S的所有不同可能值的和。.

附件

三个立方体.JPG (18.19 KB)

2006-9-29 18:01

三个立方体.JPG

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42-58,对吗?

没有仔细审题,应该再将42到58的数全部加起来。

[ 本帖最后由 dongdong 于 2006-9-30 22:06 编辑 ].

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引用:
原帖由 dongdong 于 2006-9-30 09:59 发表
42-58,对吗?
差一点就对了。

请再审一下题。.

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850,对吗?.

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[ 本帖最后由 Jessie_Shi 于 2006-9-30 20:09 编辑 ].

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回复 #21 Jessie_Shi 的帖子

回答正确。.

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2006年9月30日

对于正数x和y,定义新运算“#”如下:x#y=(x*y+20)/(x+y+1)。例如,1#2=(1*2+20)/(1+2+1)=11/2,(1#2)#3=(11/2)#3=((11/2)*3+20)/((11/2)+3+1)=73/19。试计算(((……(((2006#2005)#2004)#2003)…)#3)#2)#1的值。.

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答案是4,对吗?.

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引用:
原帖由 Jessie_Shi 于 2006-10-1 09:57 发表
答案是4,对吗?
是的是的,Jessie_Shi很厉害呀。.

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看来题目难度得加大了。.

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2006年10月1日

图书馆的一本藏书里夹着一张发黄的纸片,

上面密密麻麻写着1至1000这1000个连续自然数。

管理员发现,蛀虫将这些自然数中所有的0都蛀掉了。

于是,类似于10、230 、400这样的数分别变成了1 、23和4,

而类似于506这样的数则摇身一变成了5和6两个数。

问:在被虫蛀食过的纸片上,所有数的和是多少?.

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5356,对吗?.

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引用:
原帖由 Jessie_Shi 于 2006-10-1 13:27 发表
5356,对吗?
这回差得可太远了。.

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是不是俺审题有误?是否除了被虫啃过的数字还得加上完好无损的数字的和?.

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415451,对吗?.

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引用:
原帖由 Jessie_Shi 于 2006-10-1 18:16 发表
415451,对吗?
六位数中只有一个数字是错的,足见楼上确实厉害。.

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414451,对吗? .

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414451,对吗? .

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引用:
原帖由 Jessie_Shi 于 2006-10-1 20:08 发表
414451,对吗?   
确乎如此,不胜惊喜。.

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回复 #27 老姜 的帖子

请给出这题和前一题的过程好吗?


[ 本帖最后由 cyn 于 2006-10-1 20:55 编辑 ].

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引用:
原帖由 cyn 于 2006-10-1 20:51 发表
请给出这题和前一题的过程好吗?
   
请Jessie_Shi给出解题的思路,以便让更多的家长知道问题的来龙去脉。.

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对于正数x和y,定义新运算“#”如下:x#y=(x*y+20)/(x+y+1)。例如,1#2=(1*2+20)/(1+2+1)=11/2,(1#2)#3=(11/2)#3=((11/2)*3+20)/((11/2)+3+1)=73/19。试计算(((……(((2006#2005)#2004)#2003)…)#3)#2)#1的值。


    解:我们不妨设X为4,则
x#y=(4y+20)/(4+y+1)=4(y+5)/(y+5)=4
∴任何一个这样的式子里,只要含有#4,答案都为4。
∴(((……(((2006#2005)#2004)#2003)…)#3)#2)#1的值为4。
姜老师,我这样想对吗?

[ 本帖最后由 Jessie_Shi 于 2006-10-2 09:08 编辑 ].

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引用:
原帖由 老姜 于 2006-10-1 12:30 发表
2006年10月1日

图书馆的一本藏书里夹着一张发黄的纸片,

上面密密麻麻写着1至1000这1000个连续自然数。

管理员发现,蛀虫将这些自然数中所有的0都蛀掉了。

于是,类似于10、230 、400这样的数分别变成 ...
解:
被虫子蛀过的数为:10、20、30……990、1000(末尾为0)
                           101、102、103……109、201……909(中间为0)
这些数的原值的和为:(10+1000)*100/2+45*9+4500*9
                               =50500+40905
                               =91405
这些数被蛀后变成:1……9、1、11……19、2……91……99、1
                           1、1、1、2、1、3……9、9
这些数被蛀后的值的和为:(1+99)*99/2+46-450+45*9+45*9
                                     =4500+46+810
                                     =5356
(1+1000)*1000/2+5356-91405
=500500+5356-91405
=414451
姜老师,有没有比这简单一点的解法?
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Jessie_Shi的方法已属很简单了,在这两个问题上,老姜并不比你高明多少啊。你太厉害了,今天(10月2日)的题目只能痛下杀手了。.

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2006年10月2日

有十只筐,每只筐里都装有45只桔子,其中有八只筐里的桔子每只重1两,另有两只筐里的桔子每只重9钱。用一台磅秤,只称一次,如何找出份量较轻的那两只筐?.

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橘子或脑细胞少了点,如果每筐有88只偶的脑细胞就够用了 .

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引用:
原帖由 多多侠妈妈 于 2006-10-2 16:35 发表
橘子或脑细胞少了点,如果每筐有88只偶的脑细胞就够用了  
如果每筐有52只桔子,偶的脑细胞也够用了。

[ 本帖最后由 helenLee 于 2006-10-2 16:59 编辑 ].

附件

OrangePuzzle.JPG (28.58 KB)

2006-10-2 16:59

OrangePuzzle.JPG

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引用:
原帖由 老姜 于 2006-10-2 12:15 发表
2006年10月2日

有十只筐,每只筐里都装有45只桔子,其中有八只筐里的桔子每只重1两,另有两只筐里的桔子每只重9钱。用一台磅秤,只称一次,如何找出份量较轻的那两只筐?
这下真的被老姜考焦了,死了好多脑细胞 ,搞了一个答案,请姜老师评判:
先为其中九筐桔子分别编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9号,再分别从这九个筐中依次取出3,6,10,15,22,31,43,44,45个桔子称一下,从比(3+6+10+15+……+45)=219(两)少的分量中判断出哪两筐分量是较轻的。.

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引用:
原帖由 Jessie_Shi 于 2006-10-2 17:04 发表

这下真的被老姜考焦了,死了好多脑细胞 ,搞了一个答案,请姜老师评判:
先为其中九筐桔子分别编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9号,再分别从这九个筐中依次取出3,6,10,15,22,31,43,44,45个桔子称 ...
如果少25钱,有可能是(10+15)也有可能是(3+22),所以无法判断究竟哪2个筐轻。

如下图,当总重少25、37、46、53钱时,都产生两种可能。

[ 本帖最后由 helenLee 于 2006-10-2 17:14 编辑 ].

附件

OrangePuzzle2.JPG (351.62 KB)

2006-10-2 17:14

OrangePuzzle2.JPG

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一直在寻找不会产生两种可能的数字,却还是看花眼了。.

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谢谢Jessie_Shi、多多侠妈妈、helenLee的参与。

本题源于一个真实的故事。

2000年年末,老姜收到昔日学生ZQ的一封“伊妹儿”,打开一看,不禁乐出声来。原来,这封主题为年年有“鱼”的贺岁信,通篇内容就只一道智力题:

有十只筐,每只筐里都装有10条鱼,其中有九只筐里的鱼每条重1斤,另有一只筐里的鱼每条重9两。用一台磅秤,只称一次,如何找出份量较轻的那只筐?

老姜眉头一皱,计上心头:从第一至第十只筐里分别取出1至10条鱼。然后,将取出的鱼集中在一起用磅秤称一下。若称出的重量与55斤差n两,则份量较轻的那只筐,就必然是第n只筐了(其中n是1至10之间的某个自然数)。

解完此题,老姜意犹未尽:要是将份量不足的筐由一只改为两只,那么,只称一次,又能否将这两只筐都找出来呢?顺着这一思路想下去,老姜果然编出了一道面孔更为新颖的智力题:

有十只筐,每只筐里都装有100只桔子,其中有八只筐里的桔子每只重1两,另有两只筐里的桔子每只重9钱。用一台磅秤,只称一次,如何找出份量较轻的那两只筐?

第二天,ZQ便收到了老姜的回信。这封信的主题是——“桔”祥如意。.

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回复 #47 老姜 的帖子

容易验证,从1,2,3,5,8,13,21,34,55,89这十个数(它们恰好是著名的斐波那契数列的前若干项)中任意取出两个数相加,所得的和各不相同。于是,我们可以从第一至第十只筐里分别取出1,2,3,5,8,13,21,34,55,89只桔子,然后将它们称一下。如果这些桔子每只重1两,则它们的总重量应该是231两。但由于其中有些桔子每只重9钱,因而它们的总重量一定不足231两。设实际的重量与231两相差n钱,则只需将n分拆成上述十个数中的某两个数的和(这种表示方法应是唯一的),随后便可用“对号入座”的方法找到份量较轻的那两只筐了。例如,实际的重量与231两相差63钱,因为63=8+55,所以,份量较轻的一定是第五只筐和第九只筐。.

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老姜之所以将筐里的桔子数设定为100,其初衷只是希望能凑个整数罢了。显然,如果适当减少筐里的桔子数,问题仍可以有解。例如,我们将上面提到的十个数都减去1,那么0,1,2,4,7,12,20,33,54,88无疑也是符合要求的一种取桔子的方案(这一点,多多侠妈妈早已心知肚明)。但问题有解的“底线”又是多少呢?这是一个颇有意思的话题。.

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直觉告诉我们,如果“压缩”十个数之间的相对距离,则不难得出问题有解的“底线”。在0,1,2,4,7,12,20,33,54,88中,0,1,2,4,7,12,20的大小似乎都不可改变了,但33却可以缩小到29,进而54可以缩小到38,88可以缩小到52。如此说来,本问题似乎存在“最优解”:0,1,2,4,7,12,20,29,38,52。鉴于此,本问题有解的“底线”似乎应该是52了。(helenLee见了这段文字一定会发出会心的微笑的。 ).

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