10楼童爸0928
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发表于 2010-1-28 15:20
只看此人
就按照7楼的思路,简单证明一下第一个题,供参考。原来我第一题作得稍复杂了点。
第二个题需要分奇偶数讨论,证法类似
(2k+1)(k+1)=(x-1)(x+1)
首先这里2k+1,k+1互质, x-1,x+1互质
另外,假设还有其它解
(1) 若p(p>1)是k+1因子,则有
((k+1)/p)*(p(2k+1))=(x-1)(x+1)
必存在一个p满足
(k+1)/p=x-1 和 p(2k+1)=x+1
解得 k=(p-1)/(2p^2+1)<1
所以矛盾
(2)若p(p>1)是2k+1的因子,则有
((2k+1)/p)*(p(k+1))=(x-1)(x+1)
必存在一个p满足
(2k+1)/p=x-1 和 p(k+1)=x+1
得 k=(2p-p^2+1)/(p^2-2)
分子 2p-p^2+1=-(p-1)^2+2
可知,p>=3时,分子<0,所以不成立
对于p=2,解得k=3/2,不是整数解
[ 本帖最后由 童爸0928 于 2010-1-28 15:22 编辑 ].
