[数学] 新知杯赛填空题解答

对于正整数n,规定n！＝1×2×3×…×n,则乘积1！×2！×…×9！的所有约数中，是完全平方数的共有多少个？

我的答案662，比标准答案少了10。请你们帮我看看，到底是多少？顺便给出过程。多谢。.

1！*2！*3!*…*9！= 2^8 * 3^7 * 4^6 * 5^5 * 6^4 * 7^3 * 8^2 * 9
=2^30 * 3^13 * 5^5 * 7^3
设 约数(完全平方数) 可表示为 m^2  = 2^(2a) * 3^(2b) *5^(2c) * 7^(2d)
其中 ： 0<=2a<=30, 0<=2b<=13, 0<=2c<=5 , 0<=2d<=3
则 a有16种取法，b有7种取法，c有3种取法，d有2种取法
由乘法原理，则有  16*7*3*2 = 672 个。.

多谢。我的方法是拆开算的，但我的计算出错了，少进了一位成了662。还是你的方法更简单直接。.