11楼shinedream
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发表于 2008-12-29 15:30
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关于鸡兔同笼问题的分析
时间： 2008-07-15 10:21:58 作者： 来源：学而思教育
奥数名师指导
一、典型鸡兔同笼
这个问题，是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的："今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这就是鸡兔同笼的问题。
首先，我们分析下题意。这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？
鸡兔同笼问题共有四种解决办法：
1.列表法(五年级课本要求掌握)
解法：把鸡的头数、脚数与兔子的头数、脚数列表一一对应，最后查出鸡有多少，兔有多少。
这个办法属于基本方法，虽然老师称之为笨法，但是不影响解决问题，而且简明好理解。
缺点：不适合大数。如果七八十个头，一两百只脚，考试就不用算别的题了，光画表查鸡兔玩了。。。。。
2.假设与置换法（中国古代流传的方法）
解法：A。假设所有的头都是鸡20X2＝40足46-40＝6足（与实际相比，差六足）
B．置换，换一次增加两条腿4-2＝2足
C．6÷2＝3兔20-3＝17鸡
注意：这种办法的关键是要保证其中一个量（头）不变。
3.玻利亚跳舞法（西方解法）
解法：A。金鸡独立，兔子双腿倒立：腿少了一半变23足，头还是一样多：20头
B．鸡不动；兔子学鸡，一脚独立：足20，头20.
可以得出，有23-20＝3只兔子一脚独立了，所以鸡的数目可求。
心得：孩子认为这一方法好玩好记，解决问题速度最快。
4.方程法（一元一次方程，四年级课本要求掌握）
解：设鸡有X只，、则兔子有20-X只
列方程：2X+4（20－X）＝46
解得：X＝17兔子可求。
二、新型鸡兔同笼
某些问题中的量可能并不是鸡与兔,但是其本质仍是鸡兔同笼问题.比如下面两个问题.我们都采用第二种假设与置换法来解决.
例题：在一个停车场上，汽车、摩托车共停了60辆，一共有190个轮子。其中每辆汽车有4个轮子，每辆摩托车有2个轮子，求停车厂上汽车和摩托车各有多少辆？
解：假设60辆都是汽车，则有轮子（60×4=）240个，比已知条件多出（240-190=）50个，这是因为每一辆摩托车被假设为汽车时，就多出2个轮子，所以多出来的50轮子中包含多少个2个轮子，就是多少辆摩托车被假设为汽车的辆。
摩托车：（60×4-190）÷（4-2）=25（辆）
汽车：60-25=35（辆）。
例题：某小学举行一次数学竞赛，共15道题，每做对一题得8分，每做错一题倒扣4分，小明得72分，他做对多少道题？
解：假设15道全对了，则得（8×15=）120分，比已知条件多（120-72=）48分，这是因为每一道错题假设为对题时，相差（8+4）=12分，所以求出来的48分中包含几个12，就是做错题的数量。
做错题：（8×15-72）÷（8+4）=4（道）
做对题：15-4=11（道）。
个人认为解决鸡兔同笼问题最为简洁易懂的方法为第二种假设法,但对于不同学段的学生,应采用不同的解决方法,对于高年级的学生来说,方程解决是最为简单的;而对于低年级的小朋友来说,可能玻利亚跳舞法更容易引起他们的兴趣。这也许也可以理解为是因材施教吧.
当然对于新型鸡兔同笼问题,如果学生能够正确分析理解的话,我们也可以用典型的鸡兔同笼问题四种解决方法中的任何一种来解决,问题的关键并不是利用哪种方法解决,而在于能否分析出问题的本质是关于鸡兔同笼的问题.
总结：我们通过对鸡兔同笼的问题的理解，掌握其之间的数量关系，进而再掌握解题思路和方法，能够培养学生的灵活性。.
