hxy007 - 从来不相信刻苦学习（题海战术、机械训练），畅谈亲子数学，兼谈数学的乐趣

2008-9-21 17:04

　　帖子长了，做个目录索引。各位BBMM各取所需吧！目前编到第11页，欢迎志愿者帮助编索引，欢迎对编目分类提出建议和意见。
　　恳请各位BBMM在分享我们的亲子数学经验时，让我们也分享你们的快乐数学经验。在发表帖时，请记得给自己的帖子安个标题，以便编目。

　　目录在第35页第1701楼，直接点击http://ww123.net/baby/viewthread ... &page=35#pid4576329（本帖下面也有）
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自己发明算法

　　儿子读三年级了，最近在学“一位数乘多位数”的乘法。不由想起当年自己学相似内容的一段经历，这段经历使我对今天教孩子学数学的方法充满了怀疑。
　　那时的数学课本很简单，老师也只教过我们一种“一位数乘多位数”的算法，那就是列竖式计算。如：
　　　　9 9
　　　×    2
      -----------
         1 9 8
　　就在老师教我们这种算法时，我的脑子里突然灵光一闪：99×2其实是就是100个2减去一个2，也就是198.我把这道题写成：99×2=100×2-1×2=200－2=198。这个发现让我兴奋不已，并且把我引向了一个妙不可言的数学世界。老师要我们用竖式计算42×8，我却想着怎么把42×8变成一个不必列竖式也能计算的有趣算式：
　　42×8=（40＋2）×（10－2）
　　那时我还小，想到这一步就碰到了困难。老师发现之后，用非常欣赏的语气表扬了我，同时要求我先按老师教的方法计算这道题。老师说，我想出的方法到初中的时候老师才会教。这话非但没有吓住我，反而刺激着我进一步钻研。回到家里，我继续思考，终于解出那道题目：
　　42×8
　　=42×（10－2）
　　=42×10－42×2
　　=（40＋2）×10-（40＋2）×2
　　=（40×10＋2×10）-（40×2＋2×2）
　　=（400＋20）-（80＋4）
　　=420-84
　　=336
　　那时我大概9岁吧，靠着自己的独立钻研，发现了一种算法，解决了老师说的一个只有初中生才能解决的数学问题，是很有成就感的。更重要的是，这段经历让我突然窥见了数学的奥秘，领悟到数学中许多有趣的东西。从此，我迷上了数学，从小学到大学，钻研数学问题从来不觉得累，乐此不疲，沉迷其中。
　　遗憾的是，今天我们的孩子很难有机会体会到数学的这种内在魅力了。因为课本里已经直接告诉我们孩子这种计算方法（第16页），老师在课堂里一定也会训练孩子反复使用这种方法，直至精熟。今天，孩子他妈还特意在这方面做了拓展性的辅导，使孩子迅速地了解了当年我经过很长时间才琢磨出来的上述解题方法。我不知道孩子是不是真正懂了，但我心里清楚，孩子就算是懂了，他也不可能像我当年那样迷上乘法，迷上数学。因为我们剥夺了孩子从容探究、逐渐体会到数学内在魅力的机会。
　　今天的许多老师和家长更加关心是孩子如何迅速地掌握算法并且运用算法快速而准确地做习题、试题，大量的练习就在所难免。长此以往，数学在孩子脑子里就会变成一种非常僵硬、无聊的东西。很少体会到数学的奥妙和乐趣的成年人，真不该过多地辅导孩子学数学。急于求成，容不得孩子慢慢来，恨不得孩子一下了掌握所有的东西；为了精熟，孩子在催促中，苦恼着、叹息着、流着泪，反反复复地做着那些难度相同、处于同等心智水平的习题。熟练是熟练了，但也练呆了，练傻了，练腻了，练得对数学没有感觉、没有兴趣了，作孽哟！
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[ 本帖最后由 hxy007 于 2012-4-19 19:48 编辑 ].

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恶心的罗马数字

　　敬请期待！

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-9-19 21:16 编辑 ].

hxy007

2009-9-18 17:01

做天平

引用:

原帖由 hxy007 于 2009-9-8 10:51 发表
简易天平要求不高，给孩子玩以理解等号的意义，并不要求天平做得多么精致呀！
如果你嫌做天平烦，那就带孩子去玩翘翘板吧。那也是一个天平，同样可以帮助孩子建立等号和等式概念。

　　上星期天，Alex带着ccpaging来到11家玩。这一回，玩的是做天平。

　　（一）Alex式天平

　　人家可是有备而来，ccpaging带来了一整套精加工的工具，里边有小电钻之类的好玩意儿。与先进工具形成鲜明对比的是，他们用来做天平的材料出人意料的简陋，竟然是吃冰淇淋用的小木片、回形针、细绳、硬纸板、饭粒、钉书钉……
　　 Alex像个工程师，在三块小木片上又是测量，又是画线，说是要找到重心，还要确定打孔的位置。ccpaging是Alex的助手，像打孔这样的粗活就由他来做了。三块木片靠的是钉书钉来固定，形成天平的横梁。横梁的中点和两端各钻一孔，套上回形针，天平的秤架就做好了。秤盘是用硬纸板做成的，每个秤盘通过细绳挂在秤架上，一个简易天平就做好了！重心的设定有点误差，人家就在秤盘里粘几粒米饭，以使天平保持平衡。

　　（二）11式天平

　　Alex做好天平时，11和J同学早已完工。
　　11虽然事先没有准备，但毕竟见过他老爸制作的天平，况且就是在自己家开展活动，得天独厚，可就地取材。他本来想照着以前007的样子，把两个月饼盒盖粘在一把钢尺上，但试下来发现这么做很烦。于是，他把磁力棒找出来，用这种神奇的东西把两个铁盖子固定在钢尺上。他又想学老爸的样子，用搭积木的材料搭出天平的底座和支点来，试下来天平的灵敏度不够。最后，11想到用文具盒盖做底座，用磁力棒做支点。他制作天平，方法简便，是最早一个做成天平的。

      （三）J氏天平

      J同学最亏，既没有助手，又不是在自己家里干活，有诸多不便，用的还都是11用剩的材料。他最初不得要领，试图用磁力棒做成天平的支架，屡试屡败，最后只好放弃这个想法。J同学强烈要求提供一把钢尺给他，但他保证做出来的天平跟11不一样。007不想亏待J同学，可是家里只有一把钢尺，咋办呢？007翻箱倒柜，终于在自家的工具箱里找到一片钢锯，哈哈，这个可以做天平的横梁！
      J同学做的天平非同凡响，果然不同于11式天平：他的秤盘通过磁力棒挂在横梁之下，他还用磁力棒和磁力球搭出了一个别致的三角锥体支架！大家都为他的创意叫好。

（四）相互评议打分

　　三个小朋友各显神通，都做出了自己满意的天平！他们相互评议，一致认为：Alex的天平最灵敏，但只能秤轻东西；11的天平秤的重量最重，而且制作方便，就是不很灵敏；J同学的天平，最有创意，最可爱，就是不大方便保持平衡。总的来说，三架天平各具千秋，各有缺点。大家的评论都相当客观。两位爸爸对此都相当欣赏。
　　三个小朋友通过评议，也形成了综合评价的评分标准（这一次他们一致认为要用百分制）：
　　（1）灵敏性　　　20分
　　（2）制作方便　　20分
　　（3）使用方便　　20分
　　（4）承重能力　　20分
　　（5）创意　　　　20分
　　（6）观感　　　　10分（加分项目）
　　J同学提出11和Alex两个人的爸爸不能参加评分，007和ccpaging表示理解，作壁上观。
　　还是老规矩，三个小朋友只能给别人的作品打分，不能给自己的作品打分。每个人有两个分数，算平均分。得分情况如下：
　　11式天平：100分，93分
　　J式天平：110分，104分
　　Alex式天平：100分，92分
　　要求三个小朋友自算平均分，结果他们全都以一种方法计算：两个原始分数相加，和除以2，得平均分。看来，他们被学校训练得脑子僵化了，没有灵气了。
　　007等他们算好之后，忍不住说出了一种不用笔算的简便方法：11的平均分实际上就是，100减93等于7，7分除以2得3.5，再加93，就是96.5分。
　　ccpaging又提供了两种灵活的计算方法：J同学的平均分，先假定是100，再用多出的14分除以2得7分，加上100，就是107分；Alex的平均分，也先假定是100分，但他还差8分，8除以2得4，100减去4，得96分。
　　三个小朋友默默地听着两位爸爸在那里滔滔不绝地讲灵活的思路和解法，他们显然都听懂了，但并没有表现出我们期待的那种兴奋，大概人家还是觉得老师教的方法比较正宗。

　　（五）两位爸爸的反思

　　三个作品中，J同学的得分最高，胜在创意上。Alex的作品排名第三，主要是因为制作麻烦而费时最多。但在007看来，他做出来的天平技术含量最高，对孩子的锻炼最多。
　　现在的孩子比我们这一代更具公平意识，他们都同意两位爸爸不参加评分，除非J同学的爸爸也参加。但是，我们观察到一个有趣的现象：J同学给人评分最严格，分数打得低；Alex最大方，分数打得最高，甚至给了J同学满分；11掌握的评分尺度介于前两者之间。结果是，给人打分严的自己得分最高，给人打分最宽松的自己得分最低。11看了别人的评分之后试图重新打分，虽然遭到007的制止，但是很可能他隐约感到了这种评分制度的不合理。今天的孩子真是不简单啊！

　　（六）外公的评论

　　几个小朋友做完天平立即到外边玩去了，外公帮着收拾凌乱的桌子。007一不注意，外公就把11和J同学做的天平都拆了，将磁力棒、钢尺、锯片等归至原处。007深表遗憾，对外公说：本来是想让11多玩上几天的。外公不以为然：小孩子学习那么紧张，哪里还有时间玩？007从外公的神情和语气觉察到了，外公对我们花上大半个下午和孩子们制作天平很有意见。在他看来，这种活动既不会提高孩子的学习成绩，也不会提高孩子的学习效率，没有意思，没有意义，纯属多余。这个007心里明白，持这种想法的人一定不在少数。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-9-25 00:45 编辑 ].

hxy007

2009-9-18 17:02

回复 2704#hxy007 的帖子

提示: 该帖被自动屏蔽

cocoyangyang

2009-9-18 20:02

提示: 该帖被自动屏蔽

cocoyangyang

2009-9-18 20:05

回复 2704#hxy007 的帖子

你不干脆说做一个Jupiter天平

Jupiter

2009-9-18 20:40

三年级思考题：减法算式

引用:

原帖由 hxy007 于 2009-9-7 14:03 发表
　　儿子读小四了。开学第一周，数学老师就给他们一个下马威。连续几天布置了超纲超标的数学难题，有的BBMM想教孩子用代数方程的方法解决这种难题。可惜，小四生不容易懂这种抽象的东东，弄得父母直抓狂。见http://w ...

三年级思考题
一个减法算式，被减数、减数与差的和是24，减数为8，请问被减数和减数各为多少？

Alex的试算法

简单之美
原题里边的文字太多，太复杂，我们首先用数学的语言进行整理：
第一式：被减数－减数＝差
第二式：被减数＋减数＋差＝ 24
第三式：减数＝ 8

要自己列出这样的算式对三年级小朋友有点困难，因为书上只针对具体的算式做过说明，如下：
15 － 4 ＝ 11
被减数减号减数差

1、Alex在自己房子里边想了足足半个小时，又跟我反复商量，最后才写出了减法算式。不过，他想出来第一个算式后，其它2个就非常简单了。
2、Alex 对是否需要写第一式有疑问，经过思索后，他认为也许第一式不重要，但是应该写上。
3、我们用已知条件 “减数＝ 8”对算式进行了简化。这时，我们发现不知道的数只有2个，算式也只剩下2个，前进了一大步。
4、剩下2个算式的求解花了 Alex 一些时间。当他发现可以利用“差＝被减数－减数”来简化第二式时，问题就完全被解决了。

偷个小懒
前2种算法做完以后，Alex 准备收工了。
我：“你觉得做这题，最麻烦的是什么？”
Alex：“写好多字，手都写累了。”
我：“你也许可以考虑第三种算法，我们先给数取一些简单的名字？”
Alex：“用括号（）吧？”
我：“可是用括号分不出被减数和减数啊！”
Alex：“那，用△和○吧？”
我：“你学过26个英文字母吧？”
Alex：“嗯，那用 xyz 吧！可是我们老师能看得懂吗？”
我：“所以，你要写上，x 是被减数，y 是减数，z是差，这样老师就看得懂了。”

第一种算法被整理成这样：

下面时候传说中的第三种算法：

备注：Z 写得不清楚，注意辨识。

小结和心得
前面 Alex 用过 a1, a2, a3, x，y， z等变量解题，但是他还不清楚如何去设 xyz，这道题目展示了 xyz 的由来。
因为有前面的天平实验，从算式到方程过渡得比较自然。
全部过程花了 Alex 一个多小时，冥思苦想了好几回，但最后还是自己想通了，才继续走下去的。
hxy007 前面的教案给了我们很大的帮助。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-9-19 10:57 编辑 ].

ccpaging

2009-9-18 21:32

引用:

原帖由 Jupiter 于 2009-9-18 20:40 发表
你不干脆说做一个Jupiter天平

　　你是J姐，或JJ，不是J同学。

hxy007

2009-9-18 22:11

回复 2708#ccpaging 的帖子

　　第三种算法没看懂。.

hxy007

2009-9-18 22:13

回复 2709#hxy007 的帖子

J，申请旺旺专利了，不得滥用，要付钱的。

Jupiter

2009-9-18 22:16

引用:

原帖由 hxy007 于 2009-9-18 22:13 发表
　　第三种算法没看懂。

第三种算法跟第二种算法一样，只是偷懒用xyz代替了汉字。
Z写得不清楚，别认成 2 就行。

谢谢 hxy007 前面给出的教案。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-9-19 10:45 编辑 ].

ccpaging

2009-9-18 22:47

回复 2711#Jupiter 的帖子

　　总共只有26个英语字母，你一个人就想占用一个，而且占用的是最漂亮的一个字母，太过分了吧。

hxy007

2009-9-18 23:23

提示: 该帖被自动屏蔽

cocoyangyang

2009-9-19 09:34

回复 2679#unununun 的帖子

　　目录已经做到第11页啦，如果美女拉链还愿意帮忙做的话，就做第12页吧。
　　分类目录颇伤脑筋，各位有什么建议，请不吝指教！.

hxy007

2009-9-21 10:52

引用:

原帖由 hxy007 于 2009-9-21 10:52 发表
　　目录已经做到第11页啦，如果美女拉链还愿意帮忙做的话，就做第12页吧。
　　分类目录颇伤脑筋，各位有什么建议，请不吝指教！

我做的目录在：
http://ww123.net/baby/viewthread ... ;page=54#pid5813902

藏的深了点，不知集成否？

对标题有一些建议：

第1章　快乐学习论与刻苦学习论的角逐
＝》子非鱼，焉知鱼之不乐。数学也快乐，数学也疯狂，你快乐吗？你疯狂吗？

第2章　和孩子一起体会数学思维的严谨与灵活
＝》数学之美需要我们共同体会和分享

第3章　和孩子一起经历数学探究的过程
＝》探索是数学的素养

幼儿数学启蒙和数学童子功可以合并成“数学启蒙”
＝》从“一个丁老头”到“多吃了一个‘屁’”
从这个目录中，我倒是得到了一个新的启示，那就是数学启蒙要从生活中来，从生活中寻找数学之根源。
其它启蒙篇章，如无限、负数、排列组合等，似乎也可以归于此类

牛吃草、相遇追击、加密解密，可以归入类似难题研究一类。
＝》“我是小小数学家”
里边的小标题不妨用那首打油诗：
最易鸡兔同笼
路程追击不惧
英雄独怕牛吃草

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-9-21 12:09 编辑 ].

ccpaging

2009-9-21 11:55

回复 2716#ccpaging 的帖子

　　你的及其他两位社员整理的目录，我都用上了，谢谢！
　　你对分类目录的建议，我会在下一次整合时充分参考。再次谢谢！.

hxy007

2009-9-21 12:23

引用:

原帖由 hxy007 于 2009-9-21 10:52 发表
　　目录已经做到第11页啦，如果美女拉链还愿意帮忙做的话，就做第12页吧。
　　分类目录颇伤脑筋，各位有什么建议，请不吝指教！

第12页，是指这个帖子的第12页吗？我看了一下，好像在斗嘴。？.

unununun

2009-9-22 11:42

回复 2718#unununun 的帖子

　　是的是的，在斗嘴。“我不知道”亲子数学社就是在这场死掐中成立的。

　　要是没有兴趣，就请你做第15页的目录吧。前面几页，我来做。.

hxy007

2009-9-22 12:01

回复 2719#hxy007 的帖子

知道了，干活了。.

unununun

2009-9-22 12:13

有劳您了！.

hxy007

2009-9-22 12:20

是不是这样做？
1.“蕃茄二分法”
2.毁人不倦：可怕的小学奥数
3.别让孩子越学越“笨”
4.讲的是历史教学，数学教学不也是这样吗？
5.只会做题的老师不是好老师
6.聪明儿子和笨爸爸：余数研究之二
7.聪明儿子和笨爸爸：奇偶之争
8.系统诘问与装傻充愣：产婆术的基本要领
9.儿子就是比老子强
10.思想实验：学长很聪明，MM的经验值得收藏
11.大狗和小狗
12.“黄狗撒尿法”与“最小公倍数”：两次夭折的亲子数学探究
13.和孩子一起阅读一起分享
14.书籍•书厨•书房•书香：兼说淘书、藏书、赠书、读书的乐趣
15.公鸡生蛋：滑稽的小学奥数
16.小天鹅想飞
[http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&extra=&page=15[/url]

[ 本帖最后由 unununun 于 2009-9-22 12:50 编辑 ].

unununun

2009-9-22 12:48

回复 2722#unununun 的帖子

要求和方法见前一页第2695楼　http://ww123.net/baby/viewthread ... ;page=54#pid5849349.

hxy007

2009-9-22 12:53

引用:

原帖由 hxy007 于 2009-9-22 12:53 发表
要求和方法见前一页第2695楼　http://ww123.net/baby/viewthread ... ;page=54#pid5849349

可以下载和参考别人的做法，如：http://ww123.net/baby/viewthread ... ;page=54#pid5855597.

ccpaging

2009-9-22 13:30

这样行吗？

15.rar (4.59 KB) .

unununun

2009-9-22 13:48

给个话呀，老师！要行，后面的活我包了。.

unununun

2009-9-22 15:40

提示: 该帖被自动屏蔽

cocoyangyang

2009-9-22 16:01

引用:

原帖由 unununun 于 2009-9-22 15:40 发表
给个话呀，老师！要行，后面的活我包了。

　　就是这样，太感谢了！

　　为了节省精力，不必给条目编号，楼层号也不必标成别的颜色。
　　后面的编目工作，希望有别的朋友参与进来。一起编，一起分享，才有意思。我在等待其他志愿者伸出援助的手。.

hxy007

2009-9-22 17:06

第16页.rar (3.26 KB)

第17页.rar (3.09 KB)

第18页.rar (3.05 KB)

第19页.rar (2.5 KB)

第20页.rar (3.42 KB)

第21页.rar (3.38 KB)

第22页.rar (2.95 KB)

第23~33页.rar (11.03 KB)

第34~54页.rar (16.41 KB)

[ 本帖最后由 unununun 于 2009-9-25 15:48 编辑 ].

unununun

2009-9-22 20:38

回复 2708#ccpaging 的帖子

先问个歪题，
如何能将图片发上来？.

xiaomg

2009-9-23 11:33

如何在帖子里边发图片

引用:

原帖由 xiaomg 于 2009-9-23 11:33 发表
先问个歪题，
如何能将图片发上来？

点“引用”和下面的“回复”可以发图。
点上面的“回复”是快速回复，无法发附件和图。
自己的帖子可以点“编辑”，在编辑时可以发图和附件。

进入帖子编辑界面后，可以点“选择”发送图片和附件，注意下面对“可用扩展名”的要求。

选择好附件以后，会在“上传附件”下面显示已经选择图片，点选插入可以把图片混排到帖子里边去。.

ccpaging

2009-9-23 12:02

RE:CCAPING 减法算式

昨天小M作业只用半小时做完，我就把这里看来的这道题写在小黑板上给他做。
因为不想让他觉得今天作业做得快，老妈就给加任务。我渲染了气氛, 和他描述了WW网上大家讨论激烈的场面。但没做任何关于题目的提示和引导。
我并用了激将法。
我：“小M，WW网上有位数学专家说他儿子三年级，用了半个小时才把这道题解出来的。我估计你做不出。”
小M同学信以为真，眼睛咕噜直转。但一声不吭，估计是不服气。
大概是激将法起了作用。
小M用不到2分钟的时间，在黑板上解答如下：

我本来也希望他试算啊，最后引出设未知数的。看他写出答案，我赶紧问：“快给我讲讲，我怎么没看懂？”（说老实话，确实一下子没理解他算式的意思）
他说：“48-8=40，就是被减数+差=40，我先给被减数和差一人分一半，就是40÷2=20, 被减数和差相差8，被减数肯定比差大，8÷2=4, 那么20+4=24就是被减数，20-4=16就是差。”
我听他说的也有道理。但想想，如果减数是单数，那怎么能除尽呢？
于是：“我问，那减数如果是7怎么办呢？就不好一分为二了呀！”
小M答：“我也能分，就先给他分半个，再分半个。把半个记在心里。”我没太懂他的意思。

当我还在考虑是否真能分时，小M已经跑去和爸爸下围棋了。我左思右想不对劲，还是发到这个经典的帖子上来。给专家们看看，帮忙分析一下。
小M的解答，似乎和你们的几种解题方法都不匹配，CCAPING & HXY007请帮忙分析小M的解题思路？路子对吗？

由此，我的思考如下：
1.数学学习，条条大路通罗马。结果是对的，说明罗马是到了。至于走哪条路，大概的区别就在于看到的风景不一样吧。
2.每个孩子，确实思路和情况不一样。作为家长，要因势诱导，但不是每个家长都有这个能力。因为毕竟不是每个人都是数学专家或教育专家。
3.再想个似乎不该我想的，现在学校的老师为什么就不能承认这样的方法不同？（将下次发帖，说明小M的老师不能容忍孩子方法的改变）
4.盼望能有社会教育机构，给孩子提供这样的受教育机会。

[ 本帖最后由 xiaomg 于 2009-9-23 14:18 编辑 ].

xiaomg

2009-9-23 14:14

回复 2731#ccpaging 的帖子

感激！
和你不光学数学，还学发帖！呵呵。.

xiaomg

2009-9-23 14:20

让孩子当我们的老师

引用:

原帖由 xiaomg 于 2009-9-23 14:14 发表
昨天小M作业只用半小时做完，我就把这里看来的这道题写在小黑板上给他做。
因为不想让他觉得今天作业做得快，老妈就给加任务。我渲染了气氛, 和他描述了WW网上大家讨论激烈的场面。但没做任何关于题目的提示和引导。 ...

我觉得是对的，不过我提几条建议：
1、不把做题的速度快或者慢作为评价的标准，因为小小数学家在做数学研究呢。
2、不把结果的正确与否作为唯一的标准，即使结果不正确，也要分析做题的过程，寻找思想上的闪光点。

单就此题而言，我认为小M很聪明，他完全没有被复杂的题目吓倒，一直能保持清晰的思维，做题的步骤也很标准。

但是，总有个但是，我确实有点吹毛求疵了，我都不好意思说这个“但是”。让我们把注意力放在“我没理解他算式的意思”、“我听他说的也有道理”、“当我还在考虑是否真能分时”这三个段落上，这其实就是BBMM应该置疑的地方，MM完全可以这样说：“48-8=40，这个我认可，没有问题。可是我就是不明白为什么‘被减数+差=40’，题目里边没说啊！”MM还可以摆出一付“我就是不懂嘛，你得讲给我听，我听不懂，我就跟你没完。”的架势，然后，用崇拜的眼神鼓励孩子写出详细的分析过程。

让孩子当我们的老师，他对这个数学问题的理解会更进一个层次。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-9-23 16:01 编辑 ].

ccpaging

2009-9-23 15:58

回复 2734#ccpaging 的帖子

虚心接受CCPAGING的建议。
我确实正在为孩子能这么快做出来答案，有点洋洋得意呢。

今晚完成作业，继续讨论。.

xiaomg

2009-9-23 16:10

三年级放飞：60x50 的积末尾有（）个0

Alex 的三年级第一次单元测验中有这样一道选择题：
60x50 的积末尾有（）个0
A. 1 B. 2 C. 3
Alex的答案是B。正确的答案是C。

是不是粗心
可能有些BBMM会把这道题看成是一时粗心，这种说法有道理，毕竟三年级的小朋友中，粗心是常态。

为了回答这个问题，我特意询问了 Alex，“你做这道题是有没有把乘法算式写出来？”
Alex：“没有，我当时觉得这道题很简单，前面的50和60分别有2个零，那么积也有2个零。”
我问：“那么，你检查的时候是如何验证这道题的呢？”
ALex：“我没有验证。”
我问：“你知道验证的方法吗？我们曾经讨论过，算术题就像是走路，从 A 开始，到 B 结束，我们无法知道 B 这个地方是不是我们的目的地，如何来验证呢？”
Alex：“我可以从 B 走回 A，如果能走回去的话，说明结果没错。”
我：“那么这道题的目的地在哪里呢？”
Alex憋了很久，说：“有几个0？”
我：“什么有几个0？”
Alex：“积”
我：“什么的积有几个0？”
Alex：“50 x 60 的积有几个0？”
我：“对啊，这好像又回到了起点？”
我原以为经过这一番问答，Alex会写出这样的算式，即：
50 x 60 = 3000
希望Alex能够明白，面对一个数学问题，首先是用数学的方式来表达，然后用数学的方法去解决。在做这样的题目时，没有把积算出来之前，脑子里边蹦出来的那个选择不是数学的结果，只是一个猜想，因为它没有经过数学的方法进行验证。显然，我的希望落空了，这场父子对话进入了死胡同，于是我们暂时中止了对话。
其后，我对这场对话进行了分析，我发现，对话虽然没有得到预想的结果，但仍然是有意义的，它帮助我发现一些新问题，即这个错误不是粗心造成的，而是更严重的问题－－ Alex在做这道题时没有采用数学的方法。

口诀
既然题目问积后面有几个零，那么我们首先要把积算出来，再数数有几个零，这是笨办法，可是三年级刚开始学习十位数的乘法，笨办法可以应付了，重要的是这个笨办法是数学的办法。既然 Alex 没有采用数学的方法，那他又是根据什么来做出选择的呢？怀着这个疑问，我仔细问了 Alex。Alex 回答道：“我做这道题时，想到老师课堂上说，计算50 x 60的方法是，先把 50 和 60后面的0扔在一边，计算 5 x 6 = 30，在30后面把刚才扔掉的0拣回来，填在后面。”我心想：“是啊，这样想确实没错，前面扔掉两个零，再拣回来，可不就是2个零吗？”
这种口诀我听到过，不过我小时候对这些东西从来没有认真对待过，因为我觉得只要会计算乘法，根本就不需要口诀。这种数零的方法我用到过，特别是在检查 Alex 的作业时。对此，我感到了困惑，口诀对数学而言到底意味着什么呢？
Alex的妈妈说：“是的，我小时候记了很多这样的口诀。”
hxy007说：“如果孩子事先明白了乘法是怎么回事，这些口诀才可以帮助孩子计算，但仅仅是帮助而已。不能把孩子能按照记住的口诀做题，看成是孩子懂了。”
听了大家的话，思索了好一阵，我的结论是：
口诀不是数学，它只是一种“算术”。你可以根据口诀做计算题，仅此而已。如果你不在心里对这个口诀问一声“为什么？”，那这个口诀对你而言就是刘谦的一个魔术，你只是茫然不知看着魔术师在表演一个有关数字的魔术。口诀是个魔术。

Alex的妈妈看到这感叹到：“唉，难怪我的数学不好，原来我学的是‘算术’啊。”

“散步”于小学数学一到二年级
今天，2009年9月23日，Alex在学校里边一切正常，课堂作业较少。我跟Alex终于有了一次饭后散步的机会，自 Alex 升到三年级以来，Alex的作业一直很多，他经常忙得喘不过气来。
昨天，我跟 Alex 说：“你能不能跟数学老师说说，能不能把计算作业减少一点？”
Alex说：“这个作业又不是我们数学老师说了算的，她不能减的。再说数学作业也不多啊！”
我：“你看，我们把减法塔都研究好了，却始终没有时间写总结，这样老是不动脑子想问题，脑子会锈掉动不起来的。”
Alex：“是啊，计算题太简单了，都不用动脑子。但是我可不敢跟老师这么说，要不你说吧，你可以跟我们数学老师联系啊，发邮件，打电话都可以。”
我：“嗯，可是，可是，我也不敢啊。”
Alex笑了笑，潇洒地转身，洗洗睡了。

难道父子间的这场“敢、不敢”的对话被神听到了，又托梦给老师了？我不知道，不过今天的作业少些了。终于又可以散步了，这最最重要了。
散步时，我对Alex说：“你们班上现在有几个同学？”
Alex：“49个啊”
我：“哦，那你们每次出去出操的时候，老师是不是要点人数啊？”
Alex：“对啊”
我：“是不是像这样报告，三一班应到49人，实到48人，缺席1人，他在拉大便。”
Alex一边坏笑一边说：“差不多，不过没有拉大便那句话。”难道 Alex 想起了 J 同学，因为 J 同学老喜欢画便便，说便便，人称 JBB。
我：“那你有没有注意到，老师每次是怎么点人数的呢？”
Alex想了想：“老师好像都是默数的，不知道她怎么数，反正每次排队的时候，她都让我们把空位填好。”
我：“哦？什么空位啊？”
Alex：“就是有些同学没来，有空位，让后面的同学向前站，不要在中间留下空位。”
我：“哦，我知道了。那么假设你是老师，你准备用什么办法来点人数呢？”
Alex：“这个，我没想过啊。你想怎么数？你先说一个方法，我可以参考。”
我：“哦，让我当老师的话，我才懒得去数呢，就让同学们1、2、3、4、、、48、49这样报数，我只要问最后一个同学，他报的数就是总人数。”
Alex：“这个办法超笨。”
我：“是啊，我突然忘了加法和乘法，所以用最笨的办法，一个个数，反正也不要我数。”
Alex：“那我有办法了，我们有49个同学，排成4列，我只要数一列有多少人，然后用4来乘，在加上余数，就知道总人数了。”
我：“原来可以用乘法和加法啊，这好像快了很多。”
Alex像是突然想起了什么，急道：“我们老师可能用的是减法来数的。我们班的总人数，减去一个领操的同学，正好是4列12排。如果人少了，只要看最后一排就知道少了几个人。”
我：“哦，你看，要点人数的话，我们可以用好多种不同的方法，数数、加法、乘法，还可以混合用加减乘除，我们学到的方法越来越多了。”

过了一会，我问Alex：“我有个问题，为什么 6 x 8 = 48？”
Alex：“乘法口诀是这样写的啊！”
我：“可是，万一我像刚才那样忘了乘法口诀怎么办？”
Alex：“那你只能一个个加了，6 + 6 + 6 ... + 6。”
我：“要是我加法也忘了呢，我忘了 6 + 6 等于多少，这怎么办啊？”
Alex：“你怎么这么笨啊，加法是一年级学的，难道你一年级白学了？”
我：“我忘了啊。哦，等等，想起来了，我可以一个个数啊。”说到这，我掰着手指，认真的数着：“我有6个苹果，7、8、9、10、11、12，我知道了， 6 ＋ 6 ＝ 12。我记得一年级的书上就是这么教的。”
Alex：“是啊”
我继续说道：“这样数着数着，我们熟悉加法了，不用再数了，5 + 3 = 8，6 + 8 = 14，就有了加法口诀。然后，我们开始学习乘法，加着加着，我们熟悉了乘法，就有了乘法口诀。可是，如果我忘了 6 x 8等于多少，是不是还有什么简单的方法可以算出来？”
Alex笑道：“5 x 8 = 40，如果你记得这个的话，结果上再加一个 8，6 x 8 = 48。”
我：“哦，我想起来了，5个8再加一个8，就是6个8。”

我想了一会，继续说到：“原来我们学的数学就是从数数开始，到加法、减法，再到乘法、除法，想不到数数这么简单，可以搞出这么多花样来。我记得数数好像还有别的一些方法？”
Alex：“嗯，可以画数轴，可以成排成列地画出来。”
我：“我又有一个新的问题，二年级我们学了 300 ＋ 500 ＝ 800，我想不起来这是怎么算的？一个个数吗？我可没长这么多手指。”
Alex：“可以把 300 + 500 里边的两个零扔掉、、、爸爸，我好像又在玩魔术了。”
我：“哈哈，是啊。假如我是一个英国人，我的问题就是 Three hundred plus five hundred is equal to bala bala bala？你看，题目没零啊！这下你怎么扔啊？”
Alex 思索了一会：“爸爸，hundred 是什么意思啊？”
我：“Hundred 是百，one hundred 就是100，two hundred 就是200。”
Alex：“那就好办了，我们可以把‘百’看成一个单位，就像 hundred 那样，3个百加5个百等于多少啦？”
我：“哦，那结果肯定是 5个百，如果把‘百’开成单位的话，我掰手指都可以算出来。”
Alex：“这就像跟我们算 300 毫米＋ 500 毫米时，把 300 毫米看成 3 米，500毫米看成 5 米，3米＋ 5米＝ 8米＝ 800毫米。”
我：“这就像我们用放大镜去看天平一样，3 ＋ 5 ＝ 8，左边是3个＋5个，如果我们用“放大镜”放大100倍就是 300 ＋ 500，要保持天平的平衡的话、、、”
Alex抢答道：“右边那个8，也要放大 100 倍，否则天平就歪了。”

至此，散步结束，嗯响门铃，回家，Alex继续写作业去了。

数学逻辑之独立于语言和符号
1、数学是世界人民的数学，生活在地球各个角落的人们，尽管语言不同、数字符号不同，但是这些不同从来没有妨碍到数学。他们可以用同样的加减乘除去计算，结果也是相同的。
10 ＝ ten = X ＝ジュウ＝ 열
2、数学中的规律，来自于自然界、来自于生活、来自于，不管用何种语言去表示，交换律、结合律都是一样的。要保持这一点，数学中的证明永远与利用语言的诡辩不同。
3、上面说到的口诀仅存在于阿拉伯（实际是印度）数字符号中，如果做深入的研究，我们可以发现是因为数字0的出现，以及用 10 来代表“十”，才赋予了阿拉伯数字符号具有符号与数学内在的统一，也许就是这种统一带来的简单和美，使罗马的数学家不惜以自己的生命为代价来保护它，也许还是这种统一，使阿拉伯数字符号在世界上被广泛接受。

口诀这么一无是处，为什么还有老师这样教授呢？
这个问题，Alex曾经问过我，我当时没能回答上来。子非鱼，安知鱼之欲焉。但既然有人问到了，我只好在这里揣测一番了：
1、老师和学校的教学目标不是把学生教成数学家，绝大部分的学生只会用到简单的算术，要不要按照更高的要求去进行教学工作，这是否是值得和有效率的教学，值得考虑。
2、不是每个同学对这些深层次的问题有兴趣。同样都是孩子，起点是差不多的，但是不同的家庭教育、不同的老师可能会将孩子引向不同的兴趣和思维模式。如果一个学生对数学有兴趣，甚至立志研究数学，想成为数学家，那么这个学生完全可以对自己提出更高的要求，不去满足于那些浮皮潦草的“术”。
3、学生太多，课堂时间分摊到每个学生身上就少得可怜了，而讨论一些较深的数学问题，同学之间的差异会非常大，如果不能给每个孩子充分思考的时间，也许用简单的口诀效果会更好些？
4、孔子说过，如果我告诉你屋子的一个角是什么样，你对另外三个角毫无探索的兴趣，那我也懒得讲了。老师说了4，并没有禁止学生去想3、2、1。所以，如果学生不满足于老师说的口诀，偏要问一个“为什么”，深入的思考下去，老师不仅不会禁止，反而会欣喜若狂。
我是一个三年级的BB，以上内容纯属揣测，或不完全，或不成熟，有理的你听着，没理的一笑置之。

最后，重申一点
此文并非指责老师或者学校的教育方法，只是我跟Alex学习数学的一点心得，我们只是选择了我们可以接受和选择方式学习数学，写出来与各位 BBMM 分享。

教师节刚过，我和Alex在心底里给我们各自的老师鞠躬致敬了。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-9-28 23:37 编辑 ].

ccpaging

2009-9-23 20:27

鸣谢

　　在多位朋友的帮助下，我们的目录编辑大有进展。
　　

感谢ccpaging整理第7页目录，并提示富有想象力和建设性的分类建议！
　　

感谢saphir整理第8页目录！
　　

感谢cocoyangyang整理第10页目录！
　　

感谢unununun整理第15-22页目录！
　　各位辛苦了！你们热情援助和高质量的工作，对007是莫大的支持。007将尽快整合，也请各位继续对分类提出建议。.

hxy007

2009-9-23 21:54

回复 2736#ccpaging 的帖子

拜读了！感触很大：
一切行动，皆由目的使然。
我在用心思考，陪孩子学数学的目的.......

xiaomg

2009-9-24 10:15

减法算式，继续

晚8：30，家，小黑板上昨晚写的内容还在。
我想去搞清，小M到底是对这个题是怎么考虑的。

我：“小M啊，妈妈还是要和你学习一下昨天的问题，帮我讲讲吧。”
于是，他兴趣来了。
小M：“你说吧，哪不懂？”非常骄傲，大概是我平时表扬他太多了吧。
我：“48-8=40，这个我认可，没有问题。你昨天告诉我，40就是被减数和差的和，题目里面也没说呀！”
小M：“你看呀！减数是8。”边说边指小黑板上的那句话。“他们3个加起来是48，扣掉一个，不就剩下2个了吗！”“老妈，你不是在装不懂吧！”（大概我平时在他面前表现得太聪明了！这点也要改。我赶紧让他觉得我理解了。）
我：“OH,OH. 我忘了看第一句话了。那没问题了。“
我又问他，被减数和差为什么就相差8，他又开始怀疑我是懂了装不懂。
讨论一番后，问题的焦点集中在此：
被减数和差的和是40，被减数和差相差8。为什么要用40÷2=20, 8÷2=4
小M说：“40÷2=20, 我是先给被减数和差各分一半。然后再把8分一半一半。”
我：“那如果我分，我会把8分成3和5，被减数20+3=23，差20-5=14，这样他们也是相差8呀！”
小M急了：“那可不行，你得必须保证20是被减数和差的中间那个数，你这样分，20就不是他们中间的那个数了。”
我：“那为什么把8分成3和5，20就不是被减数和减数中间的数了呢？20不是也在23和14中间吗？”
小M：“我的意思是说，20应该是被减数和差正中间的数。必须要把8平分，才能平衡。要不然，20就不在正中间了。”

小M是小三，他不知道平均数的概念。他说的正中间，就是平均数？平均数在数射线上就是在2个数的正中间！！
实话实话，我不知道我们的讨论如何继续下去了。

于是，我转移话题：“小M啊，数学上，解决问题都有很多方法的。你想想看，如果不用这个方法，你还有什么方法来做这道题呢？”

小M：“好，我再想个别的办法。”
停顿10秒后。
“我用48÷8“小M似乎很兴奋。
天啊，我听了，真是没方向了。如果是以前，我会马上否定。但这次，学习了专家们的思想。我没有制止他。随便在书架上拿了个本子。说：“给你，写在这上面吧！“
于是，有了下面的答案。

接下来又是一番讨论。.

xiaomg

2009-9-24 12:11

回复 2739#xiaomg 的帖子

xiaomg学会了装傻充愣，好玩好玩！

这个这个这个，小M的第二种方法，007没有看懂，坐在板登凳上，坐直了身子，期待着小M老师继续讲课！

hxy007

2009-9-24 12:21

减法算式：继续

引用:

原帖由 xiaomg 于 2009-9-24 12:11 发表
晚8：30，家，小黑板上昨晚写的内容还在。
我想去搞清，小M到底是对这个题是怎么考虑的。

我：“小M啊，妈妈还是要和你学习一下昨天的问题，帮我讲讲吧。”
于是，他兴趣来了。
小M：“你说吧，哪不懂？”非常 ...

我有点明白小M的思路了。
xiaomg 可以试试问小M这样一个问题：“现在我明白你的意思了，可是你能告诉我你是怎么想到这样的吗？”
猜测小M脑子里边有一个数轴，用的是作图法。如果是这样，可以鼓励小M，把脑子里边想到的东西画出来，这样容易表达思路。.

ccpaging

2009-9-24 13:02

减法算式，继续。 1=8？

看见他居然把结果计算出来了，我又快要激动了。
差点忘了CCPAGING的教诲----“不把做题的速度快或者慢作为评价的标准”不把结果的正确与否作为唯一的标准”。
于是我把激动掩饰起来。
事实是：如果说小M昨天的第一种方法，我有些懂了装不懂。但这次是，我确实是真的不懂。不但不懂他的想法究竟来源于哪，单纯就他列出的算式，我也一点都不理解。
这下好了，我可以做真学生了。
我：“小M，你这是啥意思啊，我怎么一定都没看懂。答案是对了，估计是蒙的吧“
小M:”我的方法就是把数变小，好凑。”
我没说话，因为，不知道如何提问。
他看我没反应，就自顾自地说起来了。
“我先用48÷8=6，就是把8看成一份，一共有6份。6-1=5，剩5份。1就是那个减数8，刚好是1份。被减数和差一起就是5份。2+3=5，被减数还是要比差大吗，所以被减数就是3份，差是2份。”
我努力理解，一言没发。
他再一次强调：“我就是把数变小啊！”
我有一点点理解了，问：“那被减数和减数加在一起是5份，为什么不分成1+4=5呢？？”
小M：“你看呀！他们要相差1呀！”一边说，一边把上面算式6-1=5上面的1，用笔圈出来了，把2+3=5上面的2，3也圈出来了。然后说：“这里的1就是那个被减数8呀！”

对于，2×8=16差，3×8=24 被（减数），1×8=8减（数），我就没再问小M为什么了。因为我觉得，他的份的概念表述得已经非常清楚了。
9：00PM了，洗澡睡了。

分享我的2点想法：
1.孩子是不走寻常路的。孩子的思维受的约束确实是少。作为大人的我，无论如何也想不出把8看成一份来解决问题。
2.从此，我一定学着尊重孩子的思维和想法。任何最初看来是多么荒诞不经的想法（48÷8=6，最初在我看来，没任何意义），都可能是一个发现的开始。

思考还有很多，留给我自己慢慢去想吧。.

xiaomg

2009-9-24 13:43

回复 2742#xiaomg 的帖子

　　老师，我好像听懂了。

　　这么不拘一格的解题思路，小M的老师怎么不会欣赏反而不加容忍涅？到底小M的老师说啥了？.

hxy007

2009-9-24 13:51

回复 2741#ccpaging 的帖子

谢谢指点。
今晚有空，回家继续减法算式。

提到数轴，也就是小一，小二一直学过的数射线。
这到让我想起了以前练习卷里面做过这样的题目。
24和16的中间数是（）。
难道是受这种问题的启发？倒过来思考，就是知道了中间数，再去找2边的数！！！.

xiaomg

2009-9-24 14:04

引用:

原帖由 xiaomg 于 2009-9-24 13:43 发表
看见他居然把结果计算出来了，我又快要激动了。
差点忘了CCPAGING的教诲----“不把做题的速度快或者慢作为评价的标准”不把结果的正确与否作为唯一的标准”。
于是我把激动掩饰起来。
事实是：如果说小M昨天的第 ...

这种方法可以用2根试管（玻璃杯、玻璃酒杯）和水来做实验。

一共有48毫升牛奶，分在两根试管里边，要求是两根试管的水差8毫升。

妈妈会怎么来分呢？试验一下就知道了。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-9-24 14:13 编辑 ].

ccpaging

2009-9-24 14:11

引用:

原帖由 hxy007 于 2009-9-24 13:51 发表
　　老师，我好像听懂了。
　　这么不拘一格的解题思路，小M的老师怎么不会欣赏反而不加容忍涅？到底小M的老师说啥了？

老师什么都没说啥，只是一个红叉叉。老师不能容忍，也是我自己揣测瞎说的。看来我是说重了，一定让别人误解了。我得赶紧去把帖子改了。希望老师能原来我，语文不好，表述不清楚。

无论如何，还是说说我揣测的根据吧。

2年级的时候，学用小棍，小球，组成正方体。
经典的题目是：

（用小球，小棒画一个残缺不全的正方体）

问题是：缺_____个小球， ______个小棍。

小M老师要求，数出图画上的小球数，假设是A，缺的小球就是8-A; 数出图画上的小球数，假设是B，缺的小棍就是12-B.并要求必须把算式列在图的旁边。
一次，我看小M的考卷，填写数字正确，老师在旁边划了个“×”并用红笔写着“算式呢？“ （注意：题目本身并没有要求列算式，只是老师要求的）
我就问小M，你不用算式，怎么能知道缺几个小球，几个小棍呢？
小M的回答：“我要看的，这就是个立方体，如果图上缺的少，我就把缺的补上。我就知道缺几个了。要不然，那么多小球，小棍，我数得眼睛都花了，还会数错。如果图上画的少，老师的方法还挺好的。”
我一听，当然赞成小M的做法。
于是，小M想了个方法，骗老师。他用自己的方法把缺的小球、小棍数好，填上。然后，倒推个算式，写在旁边给老师看。

看CCPAING说帖子中数哦：“希望Alex能够明白，面对一个数学问题，首先是用数学的方式来表达，然后用数学的方法去解决。“

我现在的问题是，小M是否在用数学的方法来解决数学的问题？？.

xiaomg

2009-9-24 14:44

引用:

原帖由 xiaomg 于 2009-9-24 14:44 发表

我现在的问题是，小M是否在用数学的方法来解决数学的问题 ...

这是纯正的数学方法啊。Alex 在测验中碰到这样一道题：“一张纸条，对折又对折后长600毫米，问纸条多长？”
很遗憾，Alex做错了：
4 x 60 = 240

Alex事后解释说：“我折完纸条，抄数的时候抄错了，扣了5分，我觉得有点冤。”

我跟他说：“你能折纸来做这道题，非常聪明。我也觉得扣5分太多了。”

有数字的方法不一定就是数学方法，没数字的也不一定就不是数学方法。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-9-24 15:48 编辑 ].

ccpaging

2009-9-24 15:23

分铅笔

小朋友分铅笔,如每人分的支数一样多,则还多15支,如再增加15支铅笔,那么每人正好15支铅笔,问小朋友有几人?铅笔有几支?

好象记得贴过类似的题，高手给过解法，但这次看到了新的解法，不设未知数，请再开动一下脑筋。.

cks_gs

2009-9-25 12:40

64=65？
[attachimg]378270[/attachimg]

[ 本帖最后由 unununun 于 2009-9-25 15:45 编辑 ].

附件

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2009-9-25 12:44

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