hxy007 - 从来不相信刻苦学习（题海战术、机械训练），畅谈亲子数学，兼谈数学的乐趣

2008-9-21 17:04

　　帖子长了，做个目录索引。各位BBMM各取所需吧！目前编到第11页，欢迎志愿者帮助编索引，欢迎对编目分类提出建议和意见。
　　恳请各位BBMM在分享我们的亲子数学经验时，让我们也分享你们的快乐数学经验。在发表帖时，请记得给自己的帖子安个标题，以便编目。

　　目录在第35页第1701楼，直接点击http://ww123.net/baby/viewthread ... &page=35#pid4576329（本帖下面也有）
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自己发明算法

　　儿子读三年级了，最近在学“一位数乘多位数”的乘法。不由想起当年自己学相似内容的一段经历，这段经历使我对今天教孩子学数学的方法充满了怀疑。
　　那时的数学课本很简单，老师也只教过我们一种“一位数乘多位数”的算法，那就是列竖式计算。如：
　　　　9 9
　　　×    2
      -----------
         1 9 8
　　就在老师教我们这种算法时，我的脑子里突然灵光一闪：99×2其实是就是100个2减去一个2，也就是198.我把这道题写成：99×2=100×2-1×2=200－2=198。这个发现让我兴奋不已，并且把我引向了一个妙不可言的数学世界。老师要我们用竖式计算42×8，我却想着怎么把42×8变成一个不必列竖式也能计算的有趣算式：
　　42×8=（40＋2）×（10－2）
　　那时我还小，想到这一步就碰到了困难。老师发现之后，用非常欣赏的语气表扬了我，同时要求我先按老师教的方法计算这道题。老师说，我想出的方法到初中的时候老师才会教。这话非但没有吓住我，反而刺激着我进一步钻研。回到家里，我继续思考，终于解出那道题目：
　　42×8
　　=42×（10－2）
　　=42×10－42×2
　　=（40＋2）×10-（40＋2）×2
　　=（40×10＋2×10）-（40×2＋2×2）
　　=（400＋20）-（80＋4）
　　=420-84
　　=336
　　那时我大概9岁吧，靠着自己的独立钻研，发现了一种算法，解决了老师说的一个只有初中生才能解决的数学问题，是很有成就感的。更重要的是，这段经历让我突然窥见了数学的奥秘，领悟到数学中许多有趣的东西。从此，我迷上了数学，从小学到大学，钻研数学问题从来不觉得累，乐此不疲，沉迷其中。
　　遗憾的是，今天我们的孩子很难有机会体会到数学的这种内在魅力了。因为课本里已经直接告诉我们孩子这种计算方法（第16页），老师在课堂里一定也会训练孩子反复使用这种方法，直至精熟。今天，孩子他妈还特意在这方面做了拓展性的辅导，使孩子迅速地了解了当年我经过很长时间才琢磨出来的上述解题方法。我不知道孩子是不是真正懂了，但我心里清楚，孩子就算是懂了，他也不可能像我当年那样迷上乘法，迷上数学。因为我们剥夺了孩子从容探究、逐渐体会到数学内在魅力的机会。
　　今天的许多老师和家长更加关心是孩子如何迅速地掌握算法并且运用算法快速而准确地做习题、试题，大量的练习就在所难免。长此以往，数学在孩子脑子里就会变成一种非常僵硬、无聊的东西。很少体会到数学的奥妙和乐趣的成年人，真不该过多地辅导孩子学数学。急于求成，容不得孩子慢慢来，恨不得孩子一下了掌握所有的东西；为了精熟，孩子在催促中，苦恼着、叹息着、流着泪，反反复复地做着那些难度相同、处于同等心智水平的习题。熟练是熟练了，但也练呆了，练傻了，练腻了，练得对数学没有感觉、没有兴趣了，作孽哟！
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[ 本帖最后由 hxy007 于 2012-4-19 19:48 编辑 ].

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网上查得的关于0的说法

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pm_simple

2009-8-22 16:25

看来数字魔鬼说对了

首先感谢pm_simple大侠对数字“0”的考证，给我们提供很多很有意义的史实。我一直认为学数学而不研究数学史，便算不得学过数学。最近，我们对“0”的研究更加加深了这一看法。如果我们把数学仅仅看成是一种算术技能，原是不需要去探讨诸如“0”的由来这种问题的，只是这样的话，数学便沦为达成某一功利目标的工具，我们终难对一工具产生多大的兴趣，最终可能失去学习的动力。

根据“亲子数学社”对罗马数字、阿拉伯数字、中文数字的研究，我们发现跟以上史实相同的东西，与“数字魔鬼”的说法也不谋而合，那就是－－用数字的位置代表其数字的大小具备特别的意义。具体的研究内容待 hxy007 的总结报告出来，大家会看得更加清楚。

上学期为配合三年级的教学内容－－面积，我们比较多得讨论了几何方面的东西，这学期可能会把研究的重点放在数论上，敬请期待。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-8-23 22:20 编辑 ].

ccpaging

2009-8-23 21:45

小数点大闹整数王国

小数点大闹整数王国
http://www.labahua.com/edu0051/quwei1/068180939581924_2.htm
2006-8-18 9:38:56　　数字乐园　佚名

　　山那边有一个整数王国。整数王国中有国王、总理和司令。国王是胖胖的数0，总理是矮个子-1，司令是瘦高个1。

　　今天是元旦，又是零国王的一千八百八十一寿辰。

　　零国王是哪天诞生的呢？他是公元1年1月1日0时0分0秒出生的。既是双喜临门，王国中文武百官都来王宫祝贺。

　　王宫内外张灯结彩，只见零国王高居宝座之上，宫门外整齐地排列着两行祝贺的队伍。一行是以总理-1为首的文官队伍，跟在-1后面的是-2，-3，-4……他们个子一个比一个矮；另一行是以司令1为首的武官队伍，1后面是2，3，4……他们的个子一个比一个高。两行祝贺队伍很长，一眼望不到头。

　　三声炮响，庆典开始了。忽然从零国王的宝座下面，钻出一个黑乎乎圆溜溜的小家伙。1司令拔出宝剑，紧走几步，上前大喝一声：“谁如此大胆敢来扰乱庆典？”小家伙慢条斯理地回答：“怎么。你们连我都不认识？我就是大名鼎鼎的小数点。”

　　1司令问：“你来干什么？”

　　小数点说：“我是来参加庆典的，请你把我也安排到祝贺队伍中去吧，我想看看热闹。”

　　1司令把小数点想参加庆典一事，回禀零国王。零国王轻蔑地看了小数点一眼说：“把你也安排到队伍中去？那怎么能成！我们整数王国一向以组织严密、排列整齐、秩序井然而闻名于世。你看宫外这长长的祝贺队伍，文官从-1总理开始，每后一位文官都比前一位小1；武官从1司令开始，每后一位都比前一位大1。这里连一个空位置也没有，把你往哪放呢？”

　　小数点又哀求说：“好国王！你看我个头这么小，随便给我加个楔儿吧。”

　　零国王摇摇头说：“不成啊！你还是赶紧离开这儿，别耽误我们的庆典。”

　　听完零国王这番话，小数点脸色陡变，厉声说道：“怎么？好言好语和你商量你不答应，那可就别怪我小数点不客气了。我要叫你们的秩序来个大变样，让你们知道我的厉害。”

　　零国王听罢勃然大怒，向宫外喝道：“谁来把小数点给我拿下。”话间刚落，数5从外面跳了进来，伸手来捉小数点。只见小数点不慌不忙地往5的前面一靠，“嗖”的一声，数5一下子缩小为原来的1/10，变成0.5了。

　　零国王又向外面大喊：“快来一个大数，给我把他捉住。”从外面“噔噔噔”走进一个大高个儿，个头比山还高一截儿，他是6 600 000……六百六十万。6 600 000大吼一声：“小数点，你往哪里走！”上前就捉小数点。小数点面对这个庞然大物，毫不畏惧，小眼睛一转就来了一个新招儿。只见他跳上王位揪起零国王往数6 600 000前面推去，自己就站在国王的前面。“唿”的一声响，高大的6 600 000立刻变得比凳子还矮，成了0.066了。

　　零国王一见大惊失色，高喊：“谁能抓住小数点，我封他为王侯！”只见从外面不慌不忙地走进一个长得像不倒翁的数，原来是数8。

　　数8深深地向零国王鞠了一躬说：“国王陛下，依臣看捉拿小数点不能力擒只能智取。”零国王点点头说：“那你试试吧。”小数点在一旁听了嘿嘿直乐，心想：“好，好，我倒要看看你怎样智取我。”

　　数8对小数点抱拳拱手说：“小数点，刚才我目睹　你的本领，的确身手不凡。但是你只会把一个数变小，把5变成了0.5，把6 600 000变成了0.066。不知阁下还有什么本领？”

　　小数点听罢微微一笑说：“你说我只会把一个数变小，你叫一个负数来。”只见-39应声蹦了进来。小数点“哧溜”就钻到3和9这两个数之间，-39的身子向上长了一大截儿，变为-3.9。小数点说：“我把39变成了-3.9，根据负数的绝对值越小，数值越大的道理，我不是把一个数变大了吗？我不但能把正整数变小，还能把负整数变大。”

　　数8又说：“一个人只有两样本领，还不能算本领高强。你还有什么本事？”

　　小数点晃了晃脑袋说：“我还有一样看家本领没拿出来呢，你来看！”小数点说罢一跺脚，一个小数点立刻变成为两个。正巧数4进宫向零国王禀报公事。小数点喊了声：“来得好！”其中一个小数点站到了数4的前面，另一个小数点飞身跳到了数4的头顶上，只见数4已变成0.　。这时一种奇怪的现象发生了，数4就像着了魔一样，一个变两，两个变四个，整整齐齐地排成一队，0.　　变成了0.444……一直排到王宫外面向无穷远伸展开去。

　　不一会儿，小数点离开了0.　，数4又恢复了原样。

　　数8向零国王说：“国王陛下，从小数点刚才施展的招数，臣已看出我王国中只有一位高手不怕小数点的法术，可以捉拿小数点。”

零国王向前探着身子忙问：“这们高手是谁？”

　　数8回答：“就是国王陛下您。”

　　零国王惊奇地问：“我？我为什么不怕小数点的法术？”

　　数8说：“小数点站到正整数前面，会把正整数变小；小数点站到负整数里，会把负整数变大。但是，唯独站在您这个既非正整数又非负整数的零前面，不会发生变化。因为0.0仍然等于零呀！”

　　零国王一指自己的脑袋说：“小数点如果跳到我头顶上怎么办？”

　　数6说：“那也无妨，因为0.　＝0.000……结果仍然等于零，您还是您自己，毫无损伤。小数点只对于您是不起作用的。如果您能亲手捉他，准能成功。”

　　小数点在一旁听到零国王能降伏自己，十分害怕，没等数8把话说完，“哧溜”就从王座底下钻跑了。

摘自：《梦游“零王国”》李毓佩著

下接：
小数点的计算 2692# http://ww123.net/baby/viewthread ... ;page=54#pid5845647

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-9-16 20:47 编辑 ].

ccpaging

2009-8-23 22:04

圆越大估算的误差也越大

引用:

原帖由 hxy007 于 2009-7-20 12:43 发表
　　007暗自盘算：Alex的估算最准确，J同学其次，11再次。好像有一个规律，圆越大，用格子去估算面积，误差也越大。也许这并不是什么规律，但是11是007的儿子，他估算的精确度最低，所以007宁愿相信这是规律。 ...

007所猜想的完全正确，圆越大，估算的误差也越大。有2个原因导致误差增加：
1、不同大小的圆对误差的要求是不同的。例如计算一个2CM直径的圆，面积为3.14。如果用同样的计算方法计算一个20CM直径的圆，面积应为314，而不是314.15，要达到0.01的精度，格子的密度应增加10倍。
2、你们的实验方法忽略了累积误差。你们其实只数了一个圆的1/4，然后以此面积乘以4作为圆的面积，如此一来，误差扩大了4倍。

不过，数学上对误差的研究远不是小学能够解决的，有一个问题放在这也就足够了。.

ccpaging

2009-8-23 23:11

佩服!!!.

萱家熊妈妈

2009-8-24 15:08

给语文老师出个小难题

引用:

原帖由 hxy007 于 2009-8-14 22:25 发表
知音哪！让我一起共勉吧。
　　从孩子三年级开始，要坚持这种理念，变得越来越艰难。hxy007前些天去香港出差，不巧老师来家访。据太太说，老师对我们散养孩子一个暑假很不以为然。在老师看来，那么多三升四的同学都在各种辅导班里大学特学，我们带着孩子到处玩，到处参观，在家不过是让孩子多看课外书，唱唱英语歌，看看英语牒片，一个匹萨饼的面积问题折腾了一个暑假，还搞什么乱七八糟的罗马数字……简直在浪费大好时光，四年级学习成绩退步在所难免。 ...

我跟Alex 最近看了《小数点大闹整数王国》和《数字魔鬼》，颇有一些想法。假期作业里边还差一篇“周记”，所以我跟Alex商量一起写一篇“小数点初进整数王国”，初步设想如下：

1、标题拟为“我是谁”。为了保持大家的阅读兴趣，始终不告诉你“我是谁”。
2、为什么整数王国里的国王是“零”？在我们的学校可不是这样，考试考“零”分是最差的，这样的同学怎么可能当国王呢？
3、整数王国里边有将军和士兵，例如 4 就是 2的士兵，因为 2 可以把 4 除尽，6也是 2 的士兵，因为 3虽然也可以把 6 除尽，但是 3 的排位在 2的后面。
4、整数王国里边有哪些将军？哪个将军手下的士兵最多？
5、零国王的法术有哪些？
6、我的法术有哪些？

以上只是设想，也许会一直停留在设想状态。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-8-24 16:10 编辑 ].

ccpaging

2009-8-24 16:08

真不错，学习了，我也是最讨厌死读书，读死书，人越读越木讷.

apple_fw

2009-8-24 18:51

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pm_simple

2009-8-26 16:34

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cocoyangyang

2009-8-31 07:23

引用:

原帖由 cocoyangyang 于 2009-8-31 07:23 发表
亲子数学社现实中在哪里啊？

你问的是“我不知道”亲子数学社吗？.

ccpaging

2009-8-31 20:02

回复 2562#ccpaging 的帖子

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cocoyangyang

2009-8-31 20:19

回复 45#hxy007 的帖子

很喜欢。顶一下。
我儿子今年暑假学会的游泳。去年去参加了一个暑假培训班，打退学得很标准啦，可是因为还是怕水，所以，要拿板的，手的动作老师教了，可是还没有成为他的东西。今年我素性买了张年卡，一放假，就隔三岔五的带他去游。慢慢的自由泳就会了，蛙泳也会了，还经常要自我发明的潜水，虽然动作不标准，但是看他在水里是那么的自由和自信，我感觉圆满完成任务。.

水百合

2009-9-3 08:34

前面说了游泳，我想学习和游泳时一样的。如果像我这样学奥数，我估计我的蛾儿子是会喜欢数学，但是，奥数得奖就会有些困难，可能他会用更多的时间花在类是他自己发明的动作上，而不能有效提高游泳前进的速度。游泳不是参加比赛的，如果要比赛，而且是4年级，5年级就要比赛的，你敢让他这么自由吗？所以，奥数我还是选择暑假里在外面上课啦。很无奈的.

水百合

2009-9-3 08:40

引用:

原帖由 水百合 于 2009-9-3 08:40 发表
前面说了游泳，我想学习和游泳时一样的。如果像我这样学奥数，我估计我的蛾儿子是会喜欢数学，但是，奥数得奖就会有些困难，可能他会用更多的时间花在类是他自己发明的动作上，而不能有效提高游泳前进的速度。游泳不 ...

希望孩子学习数学也能达到那种“自由和自信”的程度，或者说状态，我觉得那才是学习的境界。如果一定要与奥数拿奖作取舍，我选择前者。当然，更希望奥数老师能像那些好的游泳教练学习，使孩子感到自由、自信的同时，取得好成绩，寻找这样的奥数老师可能是一个奢望了。.

ccpaging

2009-9-3 14:32

回复 2566#ccpaging 的帖子

问题是我们考奥数就冲着得奖，为了进好的中学去的，所以，奥数老师也是这个目的。孩孩子能自由？老师拼命把题目出的很难，考了60分么。老爸的脸就成了马脸。我们不得不围着小心翼翼的培养这他的兴趣与题海之间寻求艰难的平衡。.

水百合

2009-9-3 17:16

回复 2566#ccpaging 的帖子

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小猪崽妈妈

2009-9-6 21:17

回复 2568#小猪崽妈妈的帖子

　　007的数学不厉害，ccpaging鼠鼠才厉害！向他请教才对头。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-9-7 09:29 编辑 ].

hxy007

2009-9-7 09:23

道歉

　　各位社员，007脱岗许久了，很抱歉。暑假跟孩子们玩来罗马数字，还没有把报告整理出来。愧对ccpaging的一番苦心

　　慢慢补上吧。还有许多半吊子的报告，但愿有机会补上。007最近忙死了，写帖子的热情下降。如果大家经常来起哄，被各位一感动，并时常受到网友社员的启发，007就乐意熬到深夜，把各种有趣的探究报告写出来，和大家分享。
　　别老是当潜水员呀！

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-9-7 09:40 编辑 ].

hxy007

2009-9-7 09:28

做纸盒

　　昨天下午，ccpaging和Alex父子来到007家串门，跟11及J同学一起玩了做纸盒的游戏。
　　007遵照ccpaging的要求，拿出了5张铅画纸。ccpaging要每个人都在纸上画一个立方体的平面展开图，再照着展开图做一个立方体的纸盒。

　　（一）讨论

　　ccpaging说他要做一个边长为5厘米的正方体，11随口就说他要做一个边长为10厘米的正方体。ccpaging问大家：这么大的纸能做一个边长为10厘米的正方体盒子吗？
　　大家讨论下来：首先要弄清楚做边长10厘米正方体的盒子究竟需要多少纸，其次要弄清楚一张铅画纸到底有多大，这样才能判断这张纸够不够做边长10厘米的盒子。
　　11说：边长10厘米的正方形，面积是100平方厘米。
　　Alex说：正方体有6个面，一个面100平方厘米，6个面就是600平方厘米。
　　铅画纸有多大呢？大家量下来，它的长是39厘米，宽是27厘米，面积是39×27=？
　　计算比赛。11和J同学用竖式计算，计算出铅画纸的面积是1052平方厘米。007用巧算39×27=（40-1）×27=40×27—27=1080—27=1052（平方厘米）。结果一样，007算得更快。
　　结论是：用一张铅画纸上可以做一个边长为10厘米的立方体，更大的都能够做成。
　　可是，我们是要先在纸上画立方体展开图并照着图做盒子。讨论下来，按这种要求这张纸最多只能做边长9厘米的盒子。如果考虑要预留粘贴的边边的话，最多只能做边长8厘米的盒子。儿子说他来做这个最大的盒子。007选择做6厘米的，ccpaging选做5厘米规格的，Alex做4厘米的，J同学选了一个最恶心的2厘米规格。

　　（二）设计

　　ccpaging、Alex、J同学各自根据对立方体的展开图的理解，设计图纸，各画了6个方格。11左思右想，想不出立方体平面展开图是什么样子，便奔进他的房间，说是要查看一下小二的数学书，看一看立方体展开图有哪些形式。007制止儿子看书，要求他自己设想。最后，007和儿子都采取相近的做法，在铅画纸上各画了一个24×16平方厘米、32×24平方厘米的长方形，并把它分成6×6或8×8的方格；进而根据各自的理解，选择其中的6个方格作为立方体的展开图形（纸盒的6个面）。007在6个格子上涂了颜色，儿子则在上面标上的阿拉伯数字，说是要做成一个色子。
　　　　　　

　　（三）制作

　　大家都用剪刀，照着设计的立方体平面展开图剪裁，加以折叠和拼接。007动作慢，没有抢到剪刀，只好用美工刀和钢尺来制作。粘接时，有的用固体胶，有的则用双面胶。五个人各显神通，都设法把自己画出的立方体平面展开图变成了纸盒子。
　　　　　　　

　　（四）评比

　　谁做得最好？不是ccpaging说了算，也不是007说了算，是大家说了算。每个人都对别人的作品打分，采取十分制。去掉一个最高分和一个最低分，把剩下的两个分数加起来平均一下，就是该作品的得分。每个人都计算一个作品的平均分。最后的结果是：
　　第一名：Alex，9分；
　　第二名：11，8.6分；
　　第三名：ccpaging，8.5分；
　　第四名：J同学，8分；
　　第五名：007，8分。
　　Alex的作品评为第一是理所当然的，因为他速度最快，而且又快又好。11得第二名，不是作品做得精致，而是有创意，做成了一个色子。ccpaging得第三名，实在是讨便宜了。他的展开图根本拼不成一个纸盒，最后是用剪刀剪开一格，调换一个开口方向，用固体胶重粘才解决问题。大家够宽容的，没有笑话他的设计，反而给了作品较高的评价。J同学和007的得分一样，但他年龄小也能得8分，所以排名应该在007之前，007对此无话可说。问题是，007觉得自己的作品（第二大的那个）即使不是最好，也是第二好，为什么没有给我高分呀？太不公平了！

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-9-7 12:40 编辑 ].

hxy007

2009-9-7 09:40

哈哈，谢啦，007。
下周末把“做纸盒”这个游戏在我家开展。.

xiaomg

2009-9-7 11:21

引用:

原帖由 小猪崽妈妈 于 2009-9-6 21:17 发表
我妈妈说两位爸爸的数学都很厉害。
我同学教我一个魔术是这样的：
（1）拿21张牌，让观众从中选取一张牌，但不要说出来
（2）将21张牌分成三堆发，第一堆一张，第二堆一张，第
三堆一张就这样123，123的发 ...

看起来像是矩阵变换，回家后试试看。.

ccpaging

2009-9-7 11:43

能不能用简单的数学描述计算展开图是否能拼成正方体

引用:

原帖由 hxy007 于 2009-9-7 09:40 发表
　　ccpaging得第三名，实在是讨便宜了。他的展开图根本拼不成一个纸盒，最后是用剪刀剪开一格，调换一个开口方向，用固体胶重粘才解决问题。大家够宽容的，没有笑话他的设计，反而给了作品较高的评价。 ...

是的，只有我一个人把图画错了。我一直在想，我们有没可能把展开图能否组成一个正方体用一个公式表达出来，也就是说把规律用数学的方式表达出来。

一个用6个正方形组成的图形，要组合成正方体，应该符合一下条件：
2个正方形能且只能共享一条边。
3个正方形能且只能共享一个顶点。
（可能还有其它的、、、）

我们有没可能用一些数学的运算，能比较容易得计算出某6个正方形是否符合这些条件呢？

这么想着就走神了，也没想好就开始画图了，结果图画错了。还好补救了，评分的时候蒙了评委们，嘿嘿。

Alex经常在家里画图，正方形、正方体展开图等，盒子也经常做。盒子可以用来放骨头渣什么的，大多数是用折纸工艺。建议大家在家里多让孩子做做手工，这样孩子对点线面的基本概念会掌握的比较好。
这次活动里边J同学的做工最不好，我观察下来，J同学在画图时对2点一线中的点的取法，如何充分利用直角、平行线这些基本特征还不能运用得很熟练，需要加强。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-9-7 12:02 编辑 ].

ccpaging

2009-9-7 11:52

回复 2573#ccpaging 的帖子

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小猪崽妈妈

2009-9-7 11:53

做纸盒（续）

　　正方体平面展开图据说有11种形式，这些都是小二数学课本里的学习内容。Alex是小三生，J同学和11是小四生了，怎么现在才玩做纸盒的游戏呢？人家ccpaging另有考虑，先不说这个。单说这次做纸盒活动本身，孩子们就学到了许多。如果我们两位爸爸不那么着急的话，三个小朋友会学到更多东西。

　　（五）效果与反思

　　我家11是个喜欢动脑、动嘴的孩子，可是跟他爹一样动手能力比较差，不像Alex及J同学那样喜欢折纸，动手能力强。要是让11一个来做纸盒，他大概不会有这么高涨的情结。一伙小朋友做纸盒，对11是一种带动。经过做纸盒，他在动手操作方面受到了锻炼。希望今后经常创造这种机会。
　　从讨论，到设计，到制作，到评比反馈，孩子们所经历的这个过程，实际上就是劳动产品、作品设计和制作的程序。经常参与这种创作过程，孩子们就会逐渐学会以严谨、科学的态度对待生产和创作的程序、规则。
　　这不是一场纯粹的手工游戏活动。其中，给孩子们学数学、用数学也创造了许多机会。除了要用到二年级学过的立方体平面展开图形的知识外，他们还使用了面积计算公式，两位数乘两位数的竖式计算和巧算，以及加法、除法、平均分等知识。
　　孩子们在巩固和运用前面学过的平面几何知识（点、线、面的知识），还为他们将来学习立体几何以及体积概念埋下了伏笔。
　　计算平均分时，孩子们遇到了小数或奇数除以2的问题。当11计算自己作品的平均分进，去掉了一个最高分、一个最低分，剩下两个分数加起来是19.2分，他曾经认为这个数无法被2除尽。在大人的提示下，最终算出平均分是9.6分。虽然有点超前，但是孩子们终究还是理解了这个小数的意义。至少，这是在为今后学小数作点准备吧。
　　如果时间允许，两位爸爸再仔细，再耐心一些。孩子们可能会受到更多的刺激，作过更加深入的思考。例如：

引用:

原帖由 ccpaging 于 2009-9-7 11:52 发表
这么想着就走神了，也没想好就开始画图了，结果图画错了。还好补救了，评分的时候蒙了评委们，嘿嘿。

　　ccpaging发现自己的展开图拼不成立方体纸盒时，所有的人应该暂停各自的制作活动，一起来讨论，为什么他不成功？立方体的展开图有什么特点或规律？
　　还有，最后评分环节太粗了。ccpaging提出了用什么标准进行评价的问题，但是孩子们没有响应。如果大家使用一套合理的标准，对作品逐个进行评议的话，相互之间会分享到更多的经验。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-9-7 13:51 编辑 ].

hxy007

2009-9-7 13:38

引用:

原帖由 hxy007 于 2009-9-7 13:38 发表
　　正方体平面展开图据说有11种形式，这些都是小二数学课本里的学习内容。Alex是小三生，J同学和11是小四生了，怎么现在才玩做纸盒的游戏呢？人家ccpaging另有考虑，先不说这个。单说这次做纸盒活动本身，孩子们就学 ...

小数点的计算和大数的计算都可以运用“蹦蹦跳”原理。下次咱们做天平，还可以针对这次的情况予以补足。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-9-7 13:49 编辑 ].

ccpaging

2009-9-7 13:45

小四生的困惑

　　儿子读小四了。开学第一周，数学老师就给他们一个下马威。连续几天布置了超纲超标的数学难题，有的BBMM想教孩子用代数方程的方法解决这种难题。可惜，小四生不容易懂这种抽象的东东，弄得父母直抓狂。见http://ww123.net/baby/viewthread ... %3D1%26cycleid%3D52。
　　儿子也面对这种难题，他怎么没有来问我们呢？难道我家孩子比一般的小四生聪明，自己琢磨出代数方程方法吗？抑或，他自己有什么独特的方式解决这类难题？如下是几天前007在明强小学圈里写的调查与辅导报告。

引用:

原帖由 yvonne_tina 于 2009-9-2 22:16 发表
题目：在一个减法算式里，如果被减数，减数与差相加的和是360，其中差是122，那么减数是（）

　　今晚回家请教儿子，终于弄清楚了他是怎么解题的。总的来说，他的思路是正确的，也是对没有学过方程的小四生合用的。可惜他计算粗心，算错了答案。先以前一天那道他完全做对了超纲题为例，来透视他的解题思路吧。

　　（一）

　　9月1日（周二）小四生第一次面对这样的题目：在一个减法算式里，如果被减数、减数与差相加的和是60，其中差是24，那么减数是（　　）。儿子填写的答案是6，对的！
　　007问：这道题很难的，我没有弄清楚你是怎么做出来的。
　　儿子轻描淡写地说：不就是x和y相加再相减吗！
　　父：呵呵，你都会xy了。那么设被减数、减数与差分别是x、y、z，你是怎么算出来的呢？
　　子：差已经知道是24，不要设z了。只要设被减数是x,减数是y,就可以了！
　　父：好的，完全可以这样。接下来你怎么想的呢？
　　子：x+y+24=60,所以x+y=36.
　　父：我不明白，为什么x+y=36？这个36是从哪里来的？
　　子：60-24=36.
　　父：可是为什么x+y=60-24？
　　子：因为两个数加24的和是60，所以这两个数等于和减去24.
　　父：我懂了，减法是加法的逆运算。我还有一个办法，你看x+y+24=60，我在等号两边都减去24，这个等式还成立吗？
　　子：成立。
　　父：左边x+y+24-24等于多少？
　　子：等于x+y.
　　父：右边60-24就是你刚才算出的36了，所以x+y=36，对不对？
　　子：对的。
　　父：现在你靠x+y=36能够算出x和y各是多少吗？
　　子：不能。还有x-y=24.
　　父：现在我们知道了x+y=36，还知道x-y=24，就可以算出x和y各是多少吗？
　　子：我算不出来，我是猜出来的。
　　父：说说看，你是怎么猜出来的？
　　子：我知道x最小是24，最大是36。
　　父：你凭什么说得这么肯定？难道它不可以等于20，不可以等于60吗？
　　子：因为x减去一个数还等于24，所以x肯定不会比24小。因为x加上一个数等于36，所以它肯定不会比36大。
　　父：你的想法有道理！因为我们现在还没有学负数，只学了正数，所以你的这猜想是对的。那么，x到底是多少？
　　子：我先猜它是27，验算了一下猜得不对。后来我就去找24-36中间那个数，找到了30，一试就证明我猜对了，x=30,y=6,减数是6.　　
　　父：原来是这样。你这叫试算。试算是个笨办法，也是一个可靠的办法。为了试算的时候不漏算，要从大到小，或者从小到大有序地试算。可是从1开始试算没有必要，因为你已经知道x不会小于24；从60开始往小一点的数试算也没有必要，因为你已经知道y不会大于36.你把试算的范围缩小在24-36，这是一个聪明的试算。你还想到找到中间数试算，那就更是一种聪明的试算。这个懒偷得好！

　　（二）

　　父：你会做星期二这道的题，为什么星期三那道题又不会做了？
　　子：我会做，是算数了。
　　父：到底哪里算错了？
　　子：x+y=360-122,我算成了138，少算了100，结果算出x=130, y=130-122=8.
　　父：解决的办法都是对的，你却粗枝大叶，计算出错，写出错误答案，多可惜呀！

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-9-7 15:52 编辑 ].

hxy007

2009-9-7 14:03

小四生的困惑（续一）

　　不断有小四生的BBMM报道，老师出了一些用代数方程可以轻易解决但小四生却因还没有学习代数方程而难以解答的题目。
　　例如：

引用:

原帖由 amy0202 于 2009-9-4 09:22 发表
被减数除以减数为8，被减数加上减数的和是18，求被减数和减数？

　　（一）有序试算

　　007觉得，上述问题用试算法解决，其实并不难。

　　x(被减数)÷y（减数）=8…………………………（1）
　　x(被减数)+y（减数）=18………………………（2）

　　试算开始了。可以x为中心试算，也可以y为中心试算。就这题而言，y作过除数，肯定比x小，因此以y为中心试算比较方便。
　　假如y=1，那么根据（1）式，x=8；把x=8,y=1,代入（2）式检验，x+y不等于18。第一次试算失败。
　　假如y=2，那么根据（1）式，x=16；把x=16,y=2,代入（2）式检验，正好x+y=18。呵呵，第二次试算就成功了！

　　（二）逐步缩小试算范围的聚焦式试算

　　上面的题可稍加变化：

　　x(被减数)÷y（减数）=8…………………………（1）
　　x(被减数)+y（减数）=108………………………（2）

　　两者之和数字大多了，试算的难度也就随之加大。再完全按照上面的思路老老实实从y=1,2,3……这样试算下去，就太死板了！快速有效的试算需要另外一个策略——逐渐缩小试算范围。和孩子一起探讨，可能会出现如下精彩的场面：
　　首先，假定y=1，根据（1）式得x=8；把x=8,y=1代入（2）式进行检验，x+y＝9，离108远着呢，可以狠狠地往大里猜，那就看看y=10吧。
　　接着，假定y=10，根据（1）式得x=80；把x=80,y=10代入（2）式进行检验，x+y=90，比较接近108了，x和y还要大些！
　　然后，假定y=15，根据（1）式得x=120；不把x=8,y=1代入（2）式进行检验，都可以知道x+y比108大了。可见，10＜y＜15，或者说y有可能是11、12、13、14。为了方便进一步缩小试算范围，接下来选一个中间一些的数试算吧。说不定，运气好，一下子就找中了。
　　最后，果真很幸运。假定y=12，根据（1）式得x=96；把它们代入（2）进行检验，呵呵，x+y正好等于108。成功了，被减数是96，减数是12.

　　（三）数学直觉在试算中的作用

　　我家11经常使用试算的笨办法解决一些有难度的数学问题，逐渐形成了一些试算经验。在实战中，他不时能够靠着数学方面的直觉，比较快地限定一个比较小的试算范围，甚至三下五除二就蒙到正确答案。例如上面一题，他很可能在一开始不试算y=1，凭着直觉就会判断y不可能这么小，他最有可能是一开始就试算y=10。等他确认y肯定比10大时，他不会去试算y=15，甚至会根据（2）式猜想到y不可能是一个奇数。由于y=10时已经接近答案，他的第二步最有可能就猜y=12.
　　对于没有受过奥数训练没有方程知识的小四生来说，试算也许是对付本帖提及的数学问题的唯一可用、可理解的方法了。这些问题到了小五学过解方程之后，孩子们能够轻易解决。所以，007非常反感逼着孩子们提前学习这些东西。好在，我家小四生对此并未心生畏惧和反感，还能够动用自己已有的学识，用试算的方法解决问题。这种试算非常考验孩子的严谨而灵活的思维。做一道题实际上等于做了一连串的运算练习，孩子浑然不觉。仅从这些方面来说，老师出这种变态题有一些积极的意义。但是，这种意义仅仅是对我家孩子而言，是否具有广泛性，还有待检验。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-9-8 08:04 编辑 ].

hxy007

2009-9-7 14:13

引用:

原帖由 ccpaging 于 2008-12-4 12:28 发表
关于奥数班的问题，我们是不是可以从另一个角度考虑。

现在基本上我们有一点共识，那就是：如果把孩子送到奥数班，这个奥数班仍然是采用跟学校类似的题海战术来教学的话，那么这个奥数班上的就没有意义，反而有害 ...

您理想中的奥数老师找到了吗？？找到了共享一下啊。我儿子同是3年级。
我是一直想让儿子去学奥数，不为奥赛成绩来学，但，外面的奥数班似乎没目标一致的。
如可能，是否可以找几个不为奥赛成绩而学奥数的同学，再找个老师，没有压力，不为成绩来教。.

xiaomg

2009-9-7 14:15

小四生的困惑（续二）

　　正当007为自己孩子用试算法对付老师出的变态奥数题而暗自庆幸时，ccpaging给了当头棒喝：

引用:

原帖由 ccpaging 于 2009-9-4 17:37 发表
　　“试算法”有它的积极意义，但是我们即不能老局限在这一种方法中，尝试用多种思路、多种角度去看待问题，不能满足于仅仅得出一个结果，而应尝试寻找其规律等更基本的东西。
　　同时，也不能把试算法本身停留在目前的程度，在脑子里边试算可以过渡到用表格试算，表格试算可以过渡到笛卡尔坐标。那种认为，“我只要脑子想想，就能得出结果，我多聪明”的想法尤其要不得。

　　是啊，孩子从一年级起就经常用试算法解题，总不能过了三年还是这种水平吧！何况，试算起来是很花时间的。应该像CC说的那样，更上一层楼了。孩子到了四年级，其认知发展应该到了可以更加一般地探索和总结数学思维的层次了。试试看吧，表格法、坐标法、代数法都可以试试了。007花了那么多精力去反对小奥，何不也花点精力引导孩子学几套正宗的武功去对付小奥（万一碰到的话）？

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-9-7 15:43 编辑 ].

hxy007

2009-9-7 14:28

回复 2580#xiaomg 的帖子

　　ccpaging就是这样的老师呀！

hxy007

2009-9-7 14:30

纸盒的妙用（一）

　　ccpaging让小三小四生做纸盒可是有深意的。在他的授意下，007在一大一小的纸盒里藏了一些11以前收集的瓶盖。然后，开始玩“魔术”：请三个小朋友猜一猜两个盒子里各藏了几个盖子？
　　007给出的条件是：大盒子里的盖子加上小盒子里的盖子，共有9个盖子；大盒子里的盖子减去小盒子里的盖子数，只剩下1个盖子。
　　要求是：独立思考，找到答案；不但要找到答案，而且要讲出道理；想清楚了不许说，等三个小朋友都想好了再作交流。
　　三个小朋友说出的答案都一样：大盒子里有5个盖子，小盒子里有4个盖子。虽然答案正确，但是他们解决问题办法各不一样。
　　J同学说：大的比小的多1个。我先把1个盖子拿来，让它们平分剩下的8个盖子，大小盒子都有4个盖子。我再把多出来的那1个盖子放在大盒子里，这样大盒子里就有5个，小盒子里还是4个。
　　呵呵，这个法子很聪明！
　　11好像受到这个法子的启发：我把9个盖子分成两半，大小盒子就都有4个半盖子。从小盒子里拿出半个盖子给大盒子，大盒子里就有5个盖子，小盒子里还剩下4个盖子。
　　哈哈，也很精彩！
　　Alex呢？人家以近乎代数的方法解题。最不“精彩”，却是最正宗的数学武功！这正是两位小四生要学习的目标。
　　Alex很难用语言让两位小四生理解他的解法，于是007和他一起演示了一种新的解法：007考察“大+小=9“的各种可能，Alex考察“大—小=1”的各种可能。
　　
　　ccpaging：假定小盒子里有1个盖子，那么大盒子里多少盖子？
　　       007：我的大盒子里有8个。
　　    Alex：我的大盒子里有2个。
　　ccpaging：对不上。再来：假定小盒子里有2个盖子，那么大盒子里多少盖子？
　　       007：我的大盒子里有7个。
　　    Alex：我的大盒子里有3个。
　　ccpaging：对不上。假定小盒子里有3个盖子，那么大盒子里多少盖子？
　　       007：我的大盒子里有6个。
　　       Alex：我的大盒子里有4个。
　　ccpaging：对不上。假定小盒子里有4个盖子，那么大盒子里多少盖子？
　　       007：我的大盒子里有5个。
　　    Alex：我的大盒子里也有5个。

　　对上了！这就是正确答案了。我们边算边写，列成了两个表格。这便是表格法的雏形了！

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-9-7 22:27 编辑 ].

hxy007

2009-9-7 14:51

纸盒的妙用（二）

　　接下来，007把刚刚做好的5个纸盒都用上了。两个盒子藏了同样多的盖子，分别标上A；另外三个盒也藏了同样多的盒子，分别标上B。告诉三个小朋友：2个A盒子加上1个B盒子，一共有13个盖子；1个A盒子加上3个B盒子，共有14个盖子。问：A盒子和B盒子里分别有多少盖子？
　　三个小朋友忙开了……
　　欲知探究过程与结果如何，且听晚上分解。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-9-7 15:53 编辑 ].

hxy007

2009-9-7 15:22

“我不知道”亲子数学社一周年纪念

　　一年前的今天，007出于对孩子数学学习中的种种困惑，在WW上发了这个亲子数学帖，意在和各位BBMM讨论，向各位有经验的家长讨教，也有向学校施加压力以避免把数学教得过于机械之意。
　　一年过去了，这个帖子成了小学圈里一座高楼，高达两千多层。这是007事先没有料到的。感谢各位网友的热情参与，相信每一个参与者多多少少从中受益，进而使自己的孩子受益。但是，受益最多的是007本人。同年级和高年级生的经验教训，统统都成了我和我孩子的经验教训；低年级生的困难和问题，也促使我去检查和反省孩子身上是否存在同样的困难、问题。虽然耗费了大量的时间和精力，却使我的孩子不必在课外补习也能够保持数学上的进步态势。不但我的孩子可以快乐地学习和探索数学，我本人也像孩子般地重新迷上了数学。钻研小学数学及其辅导措施，成了007业余生活的重要内容。
　　如上面几楼显示的那样，我的孩子进入四年级了，又有新的困惑和疑难。我将继续利用这个平台，向各位讨教，和大家一些交流。让我们的孩子都因为我们的用心而少走冤枉路，让我们的孩子永远迷恋这可爱的数学，让我们的孩子快乐而健康地成长！也恳请各位BBMM继续热情参与这里的讨论，无论是经验和问题，赞扬和表扬，都一样受到欢迎！
　　别潜水，想到什么说什么。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-9-7 22:08 编辑 ].

hxy007

2009-9-7 15:42

对 11 算法的理解

007给出的条件
大盒子里的盖子加上小盒子里的盖子，共有9个盖子；大盒子里的盖子减去小盒子里的盖子数，只剩下1个盖子。

简单的美
007给出的条件是我们生活中经常发生的事情，使用的也是我们生活中常见的描述方式，但这样的描述在数学来说过于啰嗦。数学追求那种极致简单的美，所以第一件事是把这件事用数学的语言去描述。

上述的条件经过规则化（对齐、一致）以后，可以描述成这样：
大盒子加小盒子等于 9
大盒子减小盒子等于 1

可是，我们还是觉得写起来有点麻烦，能更加简单一些吗？当然可以啦，我们可以给盒子做标记，或者标号，例如：
“1” ＋ “2” ＝ 9
“1” － “2” ＝ 1
或者
△ ＋ ○ ＝ 9
△ － ○ ＝ 1
或者
a + b = 9
a - b = 1
哪种表达方式更好呢？让同学们自己选择吧。

11 算法的另类解释
11 算法：我把9个盖子分成两半，大小盒子就都有4个半盖子。从小盒子里拿出半个盖子给大盒子，大盒子里就有5个盖子，小盒子里还剩下4个盖子。

“我把9个盖子分成两半”等于上图中的红线，即（a ＋ b） / 2 ＝ 4.5
“从小盒子里拿出半个盖子给大盒子”等于上图中的，(a - b) / 2 = 0.5
a = （a ＋ b） / 2 + (a - b) / 2 = 4.5 + 0.5 = 5
b = (a + b) / 2 - (a - b) / 2 = 4.5 - 0.5 = 1

这就是11 的聪明算法。可惜，11没能用图形的方式把自己的思维表达出来，不过这不怪 11，四年级的小朋友能想到这已经是非常了不起了。

原生态数学
在这次活动中，三四年级的小朋友思维非常活跃，涌现出很多原生态的数学算法，下次我们可以专门讨论这些原生态算法的规律，进行仔细的研究和总结，以求更上一层楼。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-9-7 22:37 编辑 ].

ccpaging

2009-9-7 22:02

却在灯火阑珊处

引用:

原帖由 xiaomg 于 2009-9-7 14:15 发表
您理想中的奥数老师找到了吗？？找到了共享一下啊。我儿子同是3年级。
我是一直想让儿子去学奥数，不为奥赛成绩来学，但，外面的奥数班似乎没目标一致的。
如可能，是否可以找几个不为奥赛成绩而学奥数的同 ...

学习数学，如探秘寻幽、如寻访名胜、如凌绝顶而览胜景，不容易啊，其中有兴奋，也有对未知的恐惧，但如果有可崇拜的人、可信赖的人在一起，也许不需要做什么，仅仅是跟他们在一起，我们就会容易很多。

BBMM除了可以跟孩子一起学习研究数学外，也可以循着“不看成绩”、“不只重证书”的原则选择合适的数学班，也就是选择老师。少给老师们这些压力和要求，使老师和同学能在轻松的环境下“玩”数学，这未尝不是一种可操作的方法。

喜欢旅游，可以不是徐霞客；喜欢跑步，可以不是刘翔；喜欢游泳，可以不是菲尔普斯。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-11-10 16:58 编辑 ].

ccpaging

2009-9-7 22:33

LZ太强了！！！
我感觉又重新学了一遍数学~~~
不知道lZ是从你儿子几岁开始教他接触数学的呢？.

婷妈0216

2009-9-7 22:50

回复 2586#ccpaging 的帖子

　　呵呵，11要是真能像你所解释的那样作抽象思考，代数问题对他来说就可以迎刃而解了。他还没有到这种程度，还没有登堂入室。只能说，他还在代数殿堂的门口徘徊。再朝前迈一步，就别有洞天。可是，迈出这一步，是多么难啊？.

hxy007

2009-9-7 22:57

引用:

原帖由 ccpaging 于 2008-9-22 12:05 发表
二年级上周末有这样的题目：
5X3 + 12 = ?

儿子按部就班的计算：
5X3 + 12 = 15 + 12 = 27

我观察到，10道这样的题，有9道题是可以分解以后再加的，最典型的是这道题：
9X10 - 9 = ?

通过孩子做题的方式 ...

一方面，你反对教材过早的把一些解题思路拓展开，另一方面，你也急着帮你儿子拓展解题思路。结果是，如果好的就更好，如果不好，就更不好。
另外，一方面你反对学校的过于死板的教育，另一方面，你又干着急儿子不认真学习学校的过于死板的教育课程。你到底想让你儿子怎么样呢？我也替你家儿子捏把汗了。
呵呵。.

cinkyfeng

2009-9-7 23:02

引用:

原帖由 婷妈0216 于 2009-9-7 22:50 发表
LZ太强了！！！
我感觉又重新学了一遍数学~~~
不知道lZ是从你儿子几岁开始教他接触数学的呢？

　　我家小孩子跟别家小孩一样，在很早就会有一点点数学启蒙，但都是在玩中学，在生活中学，并没有特别的训练。参见：

　　第4页第163楼《儿童的数学启蒙（一）：别急着学数学》
　　　　第167楼《儿童的数学启蒙（二）：快乐游戏，顺便学点数学》
　　第176楼《儿童的数学启蒙（三）：生活和游戏中时时处处有数学》.

hxy007

2009-9-7 23:13

纸盒的妙用（三）

引用:

原帖由 hxy007 于 2009-9-7 15:22 发表
　　接下来，007把刚刚做好的5个纸盒都用上了。两个盒子藏了同样多的盖子，分别标上A；另外三个盒也藏了同样多的盒子，分别标上B。告诉三个小朋友：2个A盒子加上1个B盒子，一共有13个盖子；1个A盒子加上3个B盒子，共有14个盖子。问：A盒子和B盒子里分别有多少盖子？
　　三个小朋友忙开了……
　　欲知探究过程与结果如何，且听晚上分解。

　　007给盒子编号，让三位小朋友省事不少。他们很快列出了式子，但稍有不同。
　　11和J同学写成：A+A+B=13；A+B+B+B=14.
　　Alex写成：AAB=13；ABBB=14.
　　他们是怎么解决这个问题呢？

　　（一）J同学的试算-表格法

　　J同学可能从来没有遇到过这么奇怪而复杂的问题，在另外两个小朋友埋头思考时，他一个劲地嚷嚷：讨厌的题目，我不干，我不干！
　　007赶紧安慰他：别着急，我们一起来想办法，我们一起来解决它。刚才，我和Alex不是用一种简单的方法解决了前面那个问题吗？我们也可以用这种方法试一试。于是，我们俩分工，我管A+A+B=13，J同学管A+B+B+B=14，以B为中心进行有序试算。
　　　　　　　　

　　呵呵，试了三次就对上了。J同学最快找到了答案：A=5，B=3.

　　（二）Alex的变态代入法

　　Alex是独立完成探究的。他列的式子很特别：

　　AAB=13……………………（1）
　　ABBB=14…………………（2）

　　他玩天平玩多了，对等号的理解远远超过了一般的小三生，两个小四生都不如他。Alex将（1）式两头扩大两倍，变成：

　　AAAAAABBB=39…………（3）

　　他怎么这么变态？干嘛要弄成这个样子？且慢，看看他到底想干什么？
　　原来，人家看中的是（3）式左边的后半部分有ABBB。根据（2）式，ABBB不就是等于14吗？（3）式的左边减去ABBB，右边就减去14，这样“天平”才能保持平衡。于是，得出：

　　AAAAA=25……………………（4）

　　5个A等于25，1个A当然是5，因此，A=5.
　　将A=5代入（1）式，5+5+B=13，所以，B=3.
　　精彩吧？还有更加精彩的，人家还将A=5，B=3代入（1）（2）进行验算，以确认答案的可靠性。最后，自己给自己做的题打了一个大大的勾。这一系列过程尽显一个训练有素的小学生的数学潜质。当年曹操曾经感慨：生子当如孙仲某。现在007也在羡慕：生子当如Alex!

　　（三）11的加减折腾法

　　J同学做出来了，Alex也做出来了，11却还在苦思冥想。007想看看他怎么搞的，却遭到了儿子的制止。他坚决地说：让我自己想！
　　11满脸胀红，显示出一种极其亢奋的忘我状态，好像就要取得一个重要发现，容不得别人打扰。007只好忍着，在一旁观战。看了好一会，才弄明白，他陷入了困境！
　　11也有一点把等号当天平的意识。但他的处理，跟Alex不同。他列出的式子是：

　　A+A+B=13………………………………………（1）
　　A+B+B+B=14……………………………………（2）

　　可爱的儿子用（2）式去减（1）式，得B+B-A=1，再根据刚刚学过的加减逆运算规则得出：

　　A=B+B-1…………………………………………（3）

　　接下来，007就看不懂了。因为，儿子通过加加减减，得出了许多有趣的等式和不等式，例如：

　　A+A=B+B+B+B-2
　　A+B=B+B+B-1
　　A+1=B+B
　　B+B+B＞A+B
　　B+B＞A
　　……

　　天哪！儿子这么折腾，实际上是在兜圈子。他还没有找到走出这个怪圈的门路！007几次话到嘴边，都被儿子制止不让老爸吱声。ccpaging也支持11，示意007让他继续思考。007如坐针毡，恨不得钻进儿子的脑子里，把那根别住了的脑筋扳过来……
　　时间在悄悄地流逝，从做纸盒到算盖子，已经过去将近三个小时，期间没有间断没有休息，007已经有点累了疲了。两个做好题的小朋友已经玩了老长时间，11还在执着地钻研……
　　007看不到儿子有突破的希望，最终还是粗鲁地打断了他的思路：你这做下去，不会有结果的。你要想办法在一个等式里把所有的A都消灭掉，才有可能先算出B，再算出A。
　　儿子满脸困惑，不明白007在说什么。007指着（3）说：你已经算出A=B+B-1了，难道不可能利用这点，在别的等式里把A统统消灭掉？
　　11总算开窍了，他把（3）式代入（1）式得：B+B-1+B+B+B=14，“天平”两边都加上1得：

　　B+B+B+B+B=15

　　5个B相加等于15，1个B当然等于3，即B=3，把它代入（3）式立马算出：A=5.将它们代入（1）（2）两式进行检验，答案果然正确！父子俩都舒了一口气。
　　题目做出来了，终于可以休息了，可以去游泳了！于是作鸟兽散。

　　（四）小结与反思

　　007一直担心小四小三生的抽象能力还不够，难以理解用抽象符号代替他们已经习惯了阿拉伯数字的新式运算。可是，我们的试验证明，他们非常自然接受了这种抽象符号之间的运算，尽管并不熟练。其中的关键，是007在他们看得见摸得着的那5个纸盒上写上了A和B这样的符号。这无异是为三个小朋友从具体到抽象架设一座适当的桥梁，借助这座桥，他们在思想上比较顺利地开始了一个重要的数学过渡——从“算术”到“代数”的过渡。当然，要说他们完成了这种过渡，还为时尚早。但是，可以说他们开始了这种过渡和转变。可以预想，将来他们正式学习代数的时候，会比较顺利。
　　遗憾的是，007还是在最终失去了辅导者应有的耐心，没有让儿子坚持独立思考，自己找到突破的出路。在“代入”这一关键步骤上的提示，虽然使11的思考顺利地进行下去并且找到答案，但是，这种提示剥夺了孩子一次自主探索和思维锻炼的极好机会。尤其在孩子如此兴奋愿意自己想办法的情况下，007的干预实在不明智。在傍晚游泳时，007深为此懊悔。为什么不让孩子自己想下去呢？为什么要代替孩子思考呢？难道是因为别的孩子都做出了，就非得要自己的孩子也做出来吗？他也许要想很长时间，才能解决一个等式里有两个未知数的问题。可是他一旦想出了解决办法（即代入法），他会多么地兴奋，多么地喜欢数学，多么地相信自己的能力！
　　007最初出的题目也比较随意。根据11在思考上遇到的困难，007应该出一个更加简单的题。例如：1个A盒子加上1个B盒子，一共有8个盖子；1个A盒子加上2个B盒子，共有11个盖子。问：A盒子和B盒子里分别有多少盖子？
　　孩子们不难列出：
　　
　　A+B=8…………………………………………（1）
　　A+B+B=11……………………………………（2）

　　11以（2）-（1）的思路，立即可以得出B=3，从而顺利地想到用代入的方法求得A。
　　看来，代数启蒙，适当的方法很重要，适当的题目也很重要，最重要的是以一颗平常心鼓励、引导孩子去独立思考，自主探究。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-9-8 08:19 编辑 ].

hxy007

2009-9-7 23:22

引用:

原帖由 cinkyfeng 于 2009-9-7 23:02 发表

一方面，你反对教材过早的把一些解题思路拓展开，另一方面，你也急着帮你儿子拓展解题思路。结果是，如果好的就更好，如果不好，就更不好。
另外，一方面你反对学校的过于死板的教育，另一方面，你又干着急儿子不 ...

二年级上开学时做的这些题目，如：
5X3 + 12 = ?
9X10 - 9 = ?

当时应该正是教科书开始引进乘法概念的时候。乘法是加法的延续，除法可以被看成是乘法或者减法（这点被注意的程度不够）的延续。也就是说，就算术而言，只有加减法就够了，没有学习乘除法的必要。可是对数学而言，乘法的具象于加法的具象不同，其引申出的许多基本规律亦不相同，所以要特别不同地予以研究。

9X10 - 9 有2种做法：
10列9人队，跑掉1列，还剩9列9人队，这是一种基于乘法的具象思维。
10列9人队共90人，跑掉9个，还剩81人，这是一种加减法的具象思维。
在这种简单的计算上，无论采用哪种方法都可以得到正确的结果。

不过，个人以为数学是无关乎结果的，它是被用于帮助我们寻找规律的科学。具体到就这道题，能否解题不重要，重要的在于是否符合教科书的要求，即掌握乘法的具象意义。
Alex 的作业中使用了第二种做法，他延续了加减法的思维，虽然也有一个正确的结果，但其做法不符合教科书当时的目的，故怀疑他上课没有认真听讲。后来我跟老师核实一下，结果也确实如此，我也专门询问了 Alex，Alex的意思大概是：上课的东西我都懂了，不用听老师讲了。由以上的分析可以看出，他以为能计算出答案便是懂了，其实不过是懂了加法，乘法还没入门，是一种十分肤浅的“懂”了。

另外，我不认同说学校教育过于死板的说法。教科书是多年教育结果的精华，历经修订，凝聚了很多新老科学家、老师的精髓。在与老师打交道的过程中，我以为老师也是人，也适用于“皮特玛利翁效应”，相信老师能教好，多给予老师鼓励和正面的赞许，是可以促进老师的教学的。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-9-8 12:02 编辑 ].

ccpaging

2009-9-8 00:26

补充一点：ccpaging，Alex，J同学

引用:

原帖由 hxy007 于 2009-9-7 23:22 发表

　　007给盒子编号，让三位小朋友省事不少。他们很快列出了式子，但稍有不同。
　　11和J同学写成：A+A+B=13；A+B+B+B=14.
　　Alex写成：AAB=13；ABBB=14.
　　他们是怎么解决这个问题呢？

　　（一）J同学 ...

我当时以为这道题是太难了点，所以我有意在我的草稿纸上写下了一点提示：
A + A + B = 13
A + A + B = 13
A + A + B = 13
A + B + B + B = 24
我把这个提示给J同学和Alex看了。

J同学看了以后说：“这跟题目本身并没有不同啊，这算什么提示啊？”
Alex看了许久，突然问我：“39 － 24等于多少？”
我胡乱答到：“好像等于26吧？”
Alex 知道我的这个习惯，这等于告诉他：“你自己想去吧！”所以也就不吭声了，自顾自地在草稿纸上写了起来。他很快计算出了结果，就在那里大声的喊：“我知道结果了，我知道结果了。”几乎每逢这个时候，我都会兜头一盆冷水浇过去：“你可以验证你的结果吗？”基本上这已经是我们父子之间的一种默契了，Alex知道他唯一要做的是重新验算一次。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-9-8 01:04 编辑 ].

ccpaging

2009-9-8 00:52

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cocoyangyang

2009-9-8 08:18

给小一生的一个建议：回复 2595#cocoyangyang 的帖子

　　人比数复杂。COCO对人那么耐心、体谅、理解，对数的把握应该不在话下。你是小一生，可以暂时不理会我们现在讨论的内容。可是，前面有不少低年级数学的交流帖，可以先看那些呀！
　　当然，你要是留意的话，就会发现我们现在玩的东西，其实就也是在补一年级遗留下的不足。我家11有着上海小学生共同的缺点，例如，表面上看，他们在一年级第一个月就懂了“=”是什么意思，而且会使用这个符号。实际上，他们懂得很浅，基本上把它理解成“计算结果是……”。如果你在一年级就照着ccpaging设计的方法，跟孩子做天平、玩天平，小孩子对“=”就会有更加深刻的理解。至少，孩子会逐渐形成这样的直观理解：“=”就像一台天平，左边跟右边一样多；左边=右边，也可以反过来说，右边=左边；左边和右边加上同样多的东西，天平还是平衡（即等式依然成立）；左边和右边减去同样多的东西，天平还是平衡（即等式依然成立）；左边和右边各加上2倍的东西，天平还是平衡（即等式依然成立）……
　　试试看，你会发现这样的概念一旦建立，对孩子的数学有关长远的意义。这是007家的教训，希望能够成为你家的经验。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-9-8 08:36 编辑 ].

hxy007

2009-9-8 08:33

回复 2596#hxy007 的帖子

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cocoyangyang

2009-9-8 08:46

玩出兴趣，玩出水平，玩出境界

引用:

原帖由 水百合 于 2009-9-3 08:34 发表
很喜欢。顶一下。
我儿子今年暑假学会的游泳。去年去参加了一个暑假培训班，打退学得很标准啦，可是因为还是怕水，所以，要拿板的，手的动作老师教了，可是还没有成为他的东西。今年我素性买了张年卡，一放假，就隔三岔五的带他去游。慢慢的自由泳就会了，蛙泳也会了，还经常要自我发明的潜水，虽然动作不标准，但是看他在水里是那么的自由和自信，我感觉圆满完成任务。

　　哈哈，我家几乎一模一样。
　　孩子一出生就喜欢水。这个谁都一样，因为胎儿就是在水环境里成长的，而且出生之后会保留数月的游泳反射。孩子怕水，都是后天习得的经验。很幸运，孩子出生前就有朋友送给我们一顶从德国买来的婴儿浴帽。那是一顶非常特别的浴帽，中间挖空，有弹性，套在婴儿的头上，就会露出小脑袋。帽沿可以挡住肥皂水，水不会流进孩子的眼睛，避免了小孩子形成害怕水的早期经验。看着帽沿上流下的水，孩子特别好奇兴奋。孩子一旦洗澡，就特别开心。抱出浴盆就哭闹，非得玩够了才罢手。
　　1岁多一点时，孩子会走路了，他还是喜欢坐在浴池玩水，一玩就超过一小时。浴池里摆满了玩具，让他沉浸在一个有玩伴的水世界里。他最喜欢玩水龙头，龙头出来的水浇在他头上，喷在他脸上，让他感到特别的刺激。再大一点，他还会把头埋在水里吹泡泡。气不足了，换一口气接着吹……
　　007是在孩子2岁半时带他去游泳池的。除了在浅池戏水，还把孩子带进成人泳区。让他趴在老爸的背上，带着他在水中探险；抱着孩子的小腰，让他在水中做飞翔动作；像在陆地一样，拉着孩子的双手，在水中抛甩着他转圈子。这个游戏做了四五年，孩子乐此不疲。不知不觉，孩子竟敢在泳池里埋头吹泡泡。于是，父子经常开展吹泡泡比赛，看谁吹的泡泡多，一口气吹的时间长。007使用一惯的伎俩，总是输给儿子，逗得孩子每到泳池就闹着要跟爸爸比试一番……
　　看过《海底总动员》后，我们开始在泳池里玩寻找尼蒙的游戏、鲨鱼追逐小丑鱼的游戏、海龟背小丑鱼的游戏。“鱼类是朋友，不是食物。”每当“小丑鱼”被“大鲨鱼”抓到，都会重复这句经典台词。呵呵，玩着玩着，儿子就学会了他的第一种泳姿——潜泳。有了潜泳作保障，自学其它泳姿不但有了基础，孩子的胆子更大了——学其它泳姿顶不住时，立即改成潜泳。孩子很快就会学会了狗刨式、仰泳、蛙泳、自由泳、踩水，甚至蝶泳也能来几下。他在水里还胡乱进行动作搭配，如手势是蛙泳，打腿姿势却是自由泳。他还发明各式各样奇奇怪怪的泳姿，如“屁股朝前平沙落雁式”的倒着泳。他在水里学他妈妈盘腿做瑜珈，或者拿大项玩倒立，一口气翻上十几个的筋头。他是如此着迷于创造各种水中动作，以致不止一次问老爸：为什么没有男子花样游泳比赛？……
　　上学前，有一回，有个教练看到他在深水区游泳，特别欣赏他。他妈妈谦虚道：什么呀！没有一个姿势是标准的。教练说：泳姿不标准没有关系，可以慢慢改。难得的是喜欢游泳，水感好，动作频率快……
　　现在，孩子去俱乐部有了固定的玩伴，大部分时间还是在玩，学练游泳一点都不正经。007时常和他们玩我们自己发明的水中排球，以及二对一的水球赛。儿子发明的水球赛，其规则近乎美式橄榄球，触壁得分，可以使用任何手段得分，也可以使用任何手段阻止对方得分。007进攻时，经常被一小子死死抱着一条腿，被另一个小子死死缠在腰上，难以动弹。小子们进攻时，007也不客气，使出各种阴招把持球者绊倒，按在水里直到抢到球为止。他们为了避免这种野蛮的攻击，只好拼命地泳得尽可能快。现在，007已经难以光明正大地追上他们了。谁说玩就不能玩出成效呢？

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-9-8 11:09 编辑 ].

hxy007

2009-9-8 10:02

回复 2597#cocoyangyang 的帖子

　　每个孩子都不一样。我的孩子没有出现小COCO的问题，他一直喜欢上学。吸引他上学的最重要的原因不是学校可以学到知识，而是学校里有许多玩伴，有许多朋友。他在学校里带领小朋友玩这玩那，很有成就感。
　　具体建议见：http://ww123.net/baby/viewthread ... p;page=1#pid5779724
　　
　　如果不差钱，买个天平玩未尝不可。但最好是和孩子一起来做这个天平，其中可以学到许多东西。前面ccpaging介绍过制作天平的方法，007家的天平也有照片。.

hxy007

2009-9-8 10:37

回复 2599#hxy007 的帖子

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cocoyangyang

2009-9-8 10:40

007写得太好了，我就是想还孩子自由。只是我们常常不免急功近利了。
很像的，我们也很喜欢游泳的，连他自己都知道：我很喜欢游泳，但是我不喜欢学游泳。我们希望他很喜欢数学，也很喜欢学数学。.

水百合

2009-9-8 10:50

回复 2600#cocoyangyang 的帖子

　　简易天平要求不高，给孩子玩以理解等号的意义，并不要求天平做得多么精致呀！
　　如果你嫌做天平烦，那就带孩子去玩翘翘板吧。那也是一个天平，同样可以帮助孩子建立等号和等式概念。.

hxy007

2009-9-8 10:51

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