这几道题是为了弥补我的过失http://ww123.net/baby/viewthread ... p;extra=#pid7320588
这几道题留给冬瓜爸爸做
1.已知有理数x、y满足y^3-2x·y^2+x^2·y+x^2·y-6y-3x=0 求证 xy+1是一个有理数的平方.

2.求证：有无穷多对正整数（a，b） 满足：①它们的十进位制位数一样②它们都是平方数③将其中一个写在另一个的左边 形成的数也是平方数.

3.已知n是正整数，d是2n^2的正约数，证明：n^2+d不是平方数.

引用:

原帖由 lucyluan1799 于 2010-7-20 10:50 发表
这几道题是为了弥补我的过失http://ww123.net/baby/viewthread ... p;extra=#pid7320588
这几道题留给冬瓜爸爸做
1.已知有理数x、y满足y^3-2x·y^2+x^2·y+x^2·y-6y-3x=0 求证 xy+1 ...

这两项怎么一样啊？.

嘿嘿 不小心多打了 一个.

1. 这题较别致。把x看成方程的主元，根据“有理数系数一元二次方程有有理数解”的特点，
    delta=9(4y^2+1)必须是有理数平方, 设4yy+1=t^2(t为正有理数)
   由求根公式得，2yx=2y^2+3±3t      化简得 xy+1=(1/4)(t^2+9±6t)=(1/4)(t±3)^2 得证
   
2. 这题比较难。
   构造两个无穷数列 4^2, 49^2, 499^2, .... 以及 9^2， 99^2， 999^2，......
   容易验证，从这两个数列中依次取数即可构成无穷多(a,b) 符合所有要求。

3. 这题容易。对d进行分类讨论(d=2,2k+1,4k,4k+2),   配以缩放法，就能说明n*n+d在各种情况下都不是完全平方数。

[ 本帖最后由 冬瓜爸爸 于 2010-7-23 09:53 编辑 ].

第一题我们还没想到要设主元
我们想配出完全平方，然后开始凑
后来老师给我们一个配法，我们狂呕
老师说，这是先凑好 在出题的.

你第一题所述的方法强烈，奏效，当然也可以。
如老姜所说，有技巧的解法总是令人心爽。(老姜，我记得你说过，对吧）
天太热，少花力气总好些。

（到底如何配成完全平方，你不妨贴上来？）.

（2x+y)^2=(1+xy)(x-y)^2
当x=y时
2x+y=0
得x=y=0
1+xy=1 为平方数
当x≠y时
1+xy=[(2x+y)/(x-y)]^2.

哦

[ 本帖最后由 冬瓜爸爸 于 2010-7-23 23:59 编辑 ].