2010年高联赛试题点评及2011联赛预测(续）
本想写一点自己通过对2010年高联赛试题的分析来预测今年联赛试题的走向及难度，但偶然间看到了北京左老师写的这篇分析文章，深有同感，因此对左老师的文章进行一点删减后分二次帖出，供各位学生和家长参考。
接下来我们来看二试：
第一道是平几问题，40分。前年的平几问题图形比较复杂，是03年的集训队选拔题改编而来。去年的题目难度比前年的还要大，至少据我了解到的，只有屈指可数的几位超一流高手做出来了。大部分同学或者早早放弃，或者在本题上浪费了一个多小时之后无奈地放弃。这就导致两个结果：早早放弃的同学会非常占便宜，因为与前年相比，后面的三道题目可能都要容易一些。这样二试会得到很多分数。在本题浪费太多时间的同学就惨了，后面本来会做的题目可能会来不及做。
本题的图形非常简单，事实上本题就是完全四边形的一个基本性质，大家可以在《高等几何》等平面几何参考书上找到。如果有一些极点、极线的背景知识，可能本题会好做一些。
从前年和去年的平几题目来看，高一很多同学押一道平几的做法可能不好使了。因为这两道平几题目都非常地难，如果不了解一些相关背景知识很难想到标答中的那种做法。看来以后对平几的学习决不能仅限于区区几个平几著名定理了，一些以前被认为高深的东西例如极点极线、调和点列、调和四边形、反演与位似等等也需要了解一下，否则平几可能很难拿分了。
事实上综观十余年来的二试第一道平几题目，颇有几年出的非常难。以至于押平几的同学往往空手而归。今年是湖北省命题，湖北省的x教授对几何的研究也非常深入，且专门讲授《高等几何》，我估计明年的平几问题仍然是相当困难的。这一点各位同学要做好思想准备。
接下来看第二题，这道数论问题就非常简单了，与前年数论问题相比，本题难度完全就不在同一个层次上，对数论学习比较透彻的同学可能不到十分钟就会完全明了证明的步骤。事实上本题并不需要用到阶的专门知识，仅仅利用最简单的整除再加上简单的归纳即可完成证明。保守估计，北京市至少有一百余人完整完成了本题；
第三题是代数问题，一道不等式。这道不等式事实上是一道非常规的不等式。因为一般的不等式问题往往会用到一系列的重要不等式如均值、柯西之类。而本题甚至完全凭代数恒等变形就可以得到结果，最多在中间用了一个增函数的性质。可以说，一个优秀的初中生可能就可以完成此题。
本题难度不算太大，但要比第二题难度大一些，因为前面的恒等变形还是颇见功夫的。事实上标答中给出的方法并不算太好，把简单的问题复杂化了。我估计考场上绝大部分考生不是采用标答的方法解答的。
前年的不等式问题要比去年的稍简单一些。
从前年和去年的不等式问题形式我们可以看出，事实上由于利用柯西、均值不等式来解决的问题以及三元轮换对称不等式问题近年来已经被研究得比较透彻了，这方面的新题要么太简单要么过难不适合作为赛题；因此今年代数方面的命题我预计很有可能不会再考不等式，而是转向方程组求解、递归数列中的综合问题等；如果要考不等式，那么极有可能还是这种非主流不等式。
去年这种不等式问题事实上与前年的西部数学奥林匹克最后一题非常类似。有兴趣的同学不妨自行对比一下。
第四题：染色与计数问题。
作为一道压轴题，大家早已经习惯联赛二试最后一道题目全省仅有十来位同学做出来甚至全军覆没。压轴题超难，最好放弃基本上已经成为一种定势。但今年的压轴题显然没有这种难度。命题人可能认为这种计数是非常困难的，这从标答中给出的令人费解的、充满各种复杂符号的解答过程中可以看出来。
但是，如果从问题本质来看，我们可以把它视为一种“二维组合”，如果把0与1看做X轴上的0与1，把两种颜色看做Y轴上的0与1，那么我们考虑四种组合方式事实上就对应坐标平面上的四个点，我们连结它们得到一个正方形，那么事实上我们可以看做是一只“青蛙”在这个正方形四个顶点上的移动，每次它可以原地不动，也可以跳往相邻顶点，但不能跳往对顶点；这样我们就可以利用递推数列来做了，很方便地就可以得到三组递推关系，并可以计算出初值为27；接下来的求解递推数列通项是非常常规的问题了。
这种正方形的方法，似乎与01年CMO中的“太空城”问题稍有点类似，不过那道问题的难度要远远高于本题：
而求解递归数列通项的方法，则与大家熟悉的青蛙跳问题如出一辙。那个问题大概是中国为IMO所供的第一道题，似乎是齐东旭先生给出的。
二试总结：
第一道极难，估计北京市完整做出不会超出20人；第二道较容易；第三道稍难；最后一道是后三道中最难的，但与历年压轴题难度相比可能是十余年来最容易的一道。这直接导致今年北京市进营的分数线直线上升，可能会升到240以上。而一等奖的分数线由于二试较易，估计在一试85+二试70，也就是说160分左右甚至可能更高。（完）
在这里，我们预祝明天参赛的所有选手加油！
[
本帖最后由 畅想未来 于 2011-10-15 10:59 编辑 ].
