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标题: [数学] （求助）刚回家就被将了一军 [打印本页]

作者: echooooo 时间: 2007-11-14 21:50 标题: （求助）刚回家就被将了一军

当有理数a、b、c取何值时，等式
︱ax+by+cz︱+︱bx+cy+az︱+︱cx+ay+bz︱=︱x︱+︱y︱+︱z︱
对所有的有理数x、y、z都成立？.

作者: 老猫 时间: 2007-11-15 06:54

显然a＝1,b=c=0成立。
但是其他值为什么不行呢？.

作者: 老猫 时间: 2007-11-15 07:02

我们可以知道|ax+by+cz|<=|a||x|+|b||y|+|c||z|，那么就可以推出|a|+|b|+|c|>=1。
接下来干什么呢？.

作者: 老猫 时间: 2007-11-15 07:06

真傻，既然对所有的x、y、z都成立。
那么代数字啊。

令x=1,y=0,z=0，得到|a|+|b|+|c|=1
令x=y=z=1，得到|a+b+c|=1
由此可以得到a、b、c同号。
再令x=y=1,z=0，得到|a+b|+|b+c|+|c+a|=2

由此可得，有两组解，1,0,0和-1,0,0。.

作者: echooooo 时间: 2007-11-15 08:14

昨晚凑了下

，a、b、c三个数字中只要有一个1或-1 ，剩下2个都是0就可以。
不过，这还只可能是充分性，必要性无从得知，即完全可能漏解。
猫老师的解法貌似总还有凑答案的嫌疑，嘻嘻，得寸进尺。

作者: 布尔巴基 时间: 2007-11-15 08:42 标题: 回复 4#老猫的帖子

这种做法是这类题目的好做法.
因为xyz可以任意取,所以就任意取..

作者: shuaishuaimm 时间: 2007-11-15 09:28

天哪，你家SG已经在做那么难的题目啦？俺是看得一愣一愣的。PFPF..

作者: 新海乐·孩乐 时间: 2007-11-15 11:17 标题: 好题

.

作者: 老猫 时间: 2007-11-15 17:52

引用:

原帖由 shuaishuaimm 于 2007-11-15 09:28 发表
天哪，你家SG已经在做那么难的题目啦？俺是看得一愣一愣的。PFPF.

这题多半是填空题，凑凑答案就搞定了。.

作者: 小牛的爸 时间: 2009-12-14 21:42

引用:

原帖由老猫于 2007-11-15 07:06 发表
真傻，既然对所有的x、y、z都成立。
那么代数字啊。

令x=1,y=0,z=0，得到|a|+|b|+|c|=1
令x=y=z=1，得到|a+b+c|=1
由此可以得到a、b、c同号。
再令x=y=1,z=0，得到|a+b|+|b+c|+|c+a|=2

由此可得，有两组解 ...

由此可得，有两组解 ... ?能再详细一点吗？