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[数学] 请教数学题(质数与合数)

1楼瑶瑶 瑶瑶 (......) 发表于 2009-12-6 10:03 只看此人

请教数学题(质数与合数)

P>3为质数,求证(P^2-1)能被24整除.

老师讲的看不明白,特来请教旺旺上的高手.

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2楼junhuayang2005 junhuayang2005 (启航) 发表于 2009-12-6 13:21 只看此人

解：P可以表示为
P=2K+1，这儿K为整数，且K大于等于2
所以P的平方-1=（2K+1）的平方-1=4K（K+1）
当K为偶数的时候，K+1为奇数；当K为奇数时，K+1为偶数。.

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3楼junhuayang2005 junhuayang2005 (启航) 发表于 2009-12-6 13:23 只看此人

所有的素数（质数）除2外都是奇数，所有的偶数除2外都是合数。.

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4楼junhuayang2005 junhuayang2005 (启航) 发表于 2009-12-6 13:34 只看此人

回复 2#junhuayang2005 的帖子

4K（K+1）如何表示为24的倍数？
呵呵，我需要想想。.

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5楼考拉MM 考拉MM (在这里随手写下你现在的心情) 发表于 2009-12-6 14:23 只看此人

引用:

原帖由 junhuayang2005 于 2009-12-6 13:21 发表
解：P可以表示为
P=2K+1，这儿K为整数，且K大于等于2
所以P的平方-1=（2K+1）的平方-1=4K（K+1）
当K为偶数的时候，K+1为奇数；当K为奇数时，K+1为偶数。

P是质数，用2K+1表示似乎有错，如：K=4,则P=2*4+1=9,还是质数吗？并不是所有奇数都是质数的.

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6楼cczhang cczhang (......) 发表于 2009-12-6 14:45 只看此人

1） 8 | 4K(K+1)
2）当k=3q，或3q-1时 3 | K（K+1）
3）当k=3q+1时，原数=6q+3，不是质数.

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7楼瑶瑶 瑶瑶 (......) 发表于 2009-12-6 18:49 只看此人

谢谢楼上答复!给大家献花了

已经想明白了.

[ 本帖最后由瑶瑶于 2009-12-6 18:59 编辑 ].

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8楼瑶瑶 瑶瑶 (......) 发表于 2009-12-6 18:55 只看此人

先考虑能被3整除
设 P=3K+1 或P=3K-1
P^2-1=(3K+1)^2-1=9K^2+6K
所以P^2-1 被3整除
再考虑能被8整除
设P=2K+1
P^2-1=(P+1)(P-1)=(2K+2)2K=4K(K+1)
显然K(K+1)为偶
所以P^2-1被8整除.

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9楼junhuayang2005 junhuayang2005 (启航) 发表于 2009-12-7 09:48 只看此人

回复 5#考拉MM 的帖子

我正在思考中，还没有想透彻。
我应该加一句，P是质数。这样表达应该是可以的，为什么呢？因为除了2以外，所有的质数都是奇数，当然所有的奇数并非都是质数。

[ 本帖最后由 junhuayang2005 于 2009-12-7 10:08 编辑 ].

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10楼junhuayang2005 junhuayang2005 (启航) 发表于 2009-12-7 10:06 只看此人

P2.

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11楼junhuayang2005 junhuayang2005 (启航) 发表于 2009-12-9 18:23 只看此人

请教数学题(质数与合数)
P>3为质数,求证(P^2-1)能被24整除.

分析：因为24=2^3*3，而2^3（2*2*2）和3是互质的，所以只需要证明2^3（2*2*2）和3能整除(P^2-1)即可。
因为P＞3，又是质数，所以P是奇数，并且又不能被2或者3整除，可以把整数分成6K，6K+1，6K+2，6K+3，6K+4，6K+5，这六类，由于6K、6K+2，6K+4是2的倍数，6K+3是3的倍数，所以P只能具有6K+1或6K+5的形式。方便起见，也常把6K+5写成6K-1（它们除以6余数均为5）
P^2-1=（6K±1）^2-1=36K^2±12K=12K（3K±1）
由于K（3K±1）为一奇一偶，所以2│K（3K±1），于是便有24│(P^2-1).

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12楼junhuayang2005 junhuayang2005 (启航) 发表于 2009-12-9 18:26 只看此人

其实LZ题目考察的是整数的整除性。

1、证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除。.

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13楼瑶瑶 瑶瑶 (......) 发表于 2009-12-11 14:22 只看此人

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您真热心！

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