2楼jyuntoku
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发表于 2009-4-2 00:27
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我考虑的一个证明。
1 画图，画出1/x，在x属于【20，39】的曲线形状，应该是递减并微微凹陷的。
所谓微微凹陷，就是说连接（20，1/20）和（39，1/39）两点的直线在曲线的上方。
这个性质决定了在这段曲线上任意一点做切线，该切线均在曲线的下方。
2 判断答案是2，还是3的问题，等价于判断分母的和与2/3之间的大小比较。（分母的和小于1，大于1/2，均容易证明）
3 注意到2/3/20=1/30。所以只要证明分母和的平均数小于1/30，则分母和小于2/3。反之则大于。
4 在（1，1/29.5）点做曲线的切线交x=1/20，x=1/39于两点，该切线应位于曲线下方。
5显然在该切线上与切点两侧平均取点统计所有y的值，则y的平均数=1/29.5。而在同样的横坐标处取曲线上的点则除了1/29.5以外y均大于切线上的的点（实际上按分母的构成取点的话，1/29.5都取不到）。所以分母和的平均数大于1/29.5即大于1/30，分母大于40/59大于2/3。答案应为2.
上述证明是不严格的，但是可以被中学生接受的。有兴趣可以籍此学一些微积分和级数的知识。
另外，如果我们用开头提到的连接（20，1/20）和（39，1/39）两点的直线，来代替切线和曲线比较，则可以获得原题分母和的值的另一个比1更好的上限的估计，即分母小于59/78。
[ 本帖最后由 jyuntoku 于 2009-4-2 08:18 编辑 ].
