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[数学] 老封老师的几何题

1楼wood wood (......) 发表于 2007-7-31 23:33  只看此人

老封老师的几何题

在老封老师的帖子里，看到了很多精彩的结论，今天在里面看到一道题，给学生思考，他马上给了这样一个证明，我认为应该算精彩。一时找不到老封老师的贴了，所以这里新开一个，也学习一下几何画板。
问题：正六边形ABCDEF，G、H在BC、ED上，且满足GH∥CD，∠GAH=60度。求证：三角形AGH的面积等于六边形ABGHEF面积的一半。

[ 本帖最后由 wood 于 2007-8-1 12:00 编辑 ].

附件

封老师.GIF (4.49 KB)

2007-8-1 12:00

封老师.GIF

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2楼wood wood (......) 发表于 2007-8-1 06:56  只看此人

回复 #1 wood 的帖子

初学，图画的难看，不好意思。下面再补画一个。
证明：把G逆时针旋转120度到J，HJ交EF于K。
则ABGHEF的面积=AGHI的面积=2×AGH的面积。

[ 本帖最后由 wood 于 2007-8-1 07:00 编辑 ].

附件

封老师2.GIF (6.01 KB)

2007-8-1 06:56

封老师2.GIF

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3楼opposite469 opposite469 可能存在争议 发表于 2007-8-1 07:15  只看此人

回复 #1 wood 的帖子

好贴，顶.

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4楼老猫
每周一星 
老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-8-1 08:02  只看此人
敏锐的直觉.

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5楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2007-8-1 10:47  只看此人

回复 #4 老猫 的帖子

直觉从何而来？.

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6楼wood wood (......) 发表于 2007-8-1 12:10  只看此人
另外一个类似的证明，没有上面的好：）
把AFEH顺时针旋转120度到ABKJ，ABGHEF面积=三角形AJG的面积+三角形AHG的面积。
然而AJG≌AHG。

[ 本帖最后由 wood 于 2007-8-1 12:26 编辑 ].

附件

封3.GIF (6.09 KB)

2007-8-1 12:26

封3.GIF

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7楼xyq2100 xyq2100 (......) 发表于 2007-8-1 12:52  只看此人
看错了，删除

[ 本帖最后由 xyq2100 于 2007-8-1 13:57 编辑 ].

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8楼wood wood (......) 发表于 2007-8-1 13:40  只看此人
AG应该不是∠BAC平分线？.

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9楼老姜 老姜 (热烈欢呼旺网五条杠委员会成立！) 发表于 2007-8-1 17:19  只看此人
问题本身并不难，但很漂亮。

旋转变换其实是任何一个熟悉几何的人在一分钟内就应该想到的。

计算也可以，60度的已知其实在一开始就为我们送了一份见面礼。

附件是昨晚老姜整理的两种方法，本来不想拿出来献丑了，谢谢LZ给了我这样一个机会。:.

附件

解法.JPG (71.56 KB)

2007-8-1 17:19

解法.JPG

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10楼老猫
每周一星 
老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-8-1 18:31  只看此人
引用:
原帖由 echooooo 于 2007-8-1 10:47 发表
直觉从何而来？
多做，多想。.

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11楼xyq2100 xyq2100 (......) 发表于 2007-8-2 21:34  只看此人
作B关于AG的对称点I，S△ABG=S△AIG S△AIH=S△AFH
GI=FH IH=AF=EF ∠GIH+∠FEH=180度 S△GIH=S△FEH




[ 本帖最后由 xyq2100 于 2007-8-2 22:13 编辑 ].

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12楼wood wood (......) 发表于 2007-8-2 21:56  只看此人
最后一部分是：∠GIH=360-120-∠AIH=240-∠AFH=120+∠EFH=180-∠FHE，同时GI=GB=HE，IH=FH，所以S△GIH=S△FEH。.

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13楼老猫
每周一星 
老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-8-2 21:57  只看此人
这个解答很可疑哦。

角AIH＝角AFH显然不等于120度。.

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14楼老猫
每周一星 
老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-8-2 21:59  只看此人
嗯，看懂了wood的解答。wood解释的对的。.

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15楼xyq2100 xyq2100 (......) 发表于 2007-8-2 22:19  只看此人
谢谢wood的解释，做题目是要仔细一点，不要想当然.

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16楼wood wood (......) 发表于 2007-8-3 09:06  只看此人
翻转B到I，而I也正好是F关于线段AH的对称点，xyq2100的解法很巧妙的从另一个角度对问题进行了揭示。
学习几何知道翻转、旋转都很重要。.

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