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[数学] 平方数问题

1楼wood wood (......) 发表于 2007-5-31 21:01 只看此人

平方数问题

平方数问题一般放在小学5年级奥数教程中，但是对于6年级甚至初中的同学来说，这些内容也是十分复杂的。最近在辅导6年级同学平方数问题时，例题采用了这个题：“任意两个连续正整数的乘积都不是完全平方数”。
课后作业有这样一道题：“任意连续四个正整数的乘积都不是完全平方数”。这题来自一本5年级的奥数练习题，但是以前它曾经作为美国普特南数学竞赛题！！这可是美国大学生数学竞赛，我国的奥数教材如此之“强”，也难怪我国在国际上数学竞赛一直保持领先。
我后来想到下面这个类似的问题：“任意连续三个正整数的乘积都不是完全平方数”。好像这题各种资料上没见过，可能算“原创”。供初中、高中奥数牛孩思考。

[ 本帖最后由 wood 于 2007-6-1 13:29 编辑 ].

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2楼shuaishuaimm shuaishuaimm (快乐人生) 发表于 2007-5-31 23:16 只看此人

木德巴赫猜想.

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3楼wood wood (......) 发表于 2007-6-1 08:43 只看此人

回复 #2 shuaishuaimm 的帖子

不算猜想，我自己知道证明方法。

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4楼老猫

老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-6-1 10:38 只看此人

引用:

原帖由 wood 于 2007-5-31 21:01 发表
平方数问题一般放在小学5年级奥数教程中，但是对于6年级甚至初中的同学来说，这些内容也是十分复杂的。最近在辅导6年级同学平方数问题时，例题采用了这个题：“任意两个正整数的乘积都不是完全平方数”。
课后 ...

要求连续吧。.

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5楼老封 老封 (......) 发表于 2007-6-1 12:12 只看此人

不连续怎行?
伍迪警长在误导小孩子啊!.

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6楼老封 老封 (......) 发表于 2007-6-1 12:48 只看此人

大数学家爱尔多斯曾证明了：任意n个连续正整数的积不可能是整数的k次方幂。

单墫和余红兵两位教授合写的小册子《不定方程》对这个问题的种种特例讨论甚详。例如在习题15中证明了：连续四个正整数之积不是完全平方数；连续五个正整数的积也不会是完全平方数。.

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7楼wood wood (......) 发表于 2007-6-1 13:36 只看此人

呵呵，的确上午打字的时候少打了“连续”两个字。
Erdos证明了：a≥2,4≤k≤n-4时，n!/[k!(n-k)!]=m^a没有正整数解。
当然他的结果太高深了，我们是在小学、中学范围内讨论这个问题。.

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8楼wood wood (......) 发表于 2007-6-6 12:32 只看此人

1)任意两个连续正整数的乘积都不是完全平方数.
证明：n^2<n(n+1)<(n+1)^2，位于两个连续的完全平方数之间，所以不可能是完全平方。

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9楼wood wood (......) 发表于 2007-6-6 12:59 只看此人

2)任意连续四个正整数的乘积都不是完全平方数。
证明：n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2，由于任意两个正整数的完全平方之间至少相差3，所以n(n+1)(n+2)(n+3)不可能是完全平方数。

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10楼wood wood (......) 发表于 2007-6-6 16:37 只看此人

3)任意连续三个正整数的乘积都不是完全平方数.
证明：假设n(n+1)(n+2)是完全平方数，由于n+1与n(n+2)互素，所以n(n+2)与n+1都是完全平方数。但是n(n+2)=(n+1)^2-1不可能是完全平方数，矛盾。所以结论成立。

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11楼wood wood (......) 发表于 2007-6-12 17:47 只看此人

上课的时候我出了这样一道例题，
问题1：由6个2和若干个0构成的正整数中，有没有完全平方数？
令我惊讶的是有两个小朋友给出了正确答案，而且是两种完全不同的思路！现在的小孩太强了！

[ 本帖最后由 wood 于 2007-6-12 18:14 编辑 ].

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12楼老猫

老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-6-12 17:53 只看此人

1、除以9的余数；2、末位数。是不是还有别的方法呢？.

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13楼wood wood (......) 发表于 2007-6-12 18:05 只看此人

回复 #12 老猫的帖子

一个小朋友提出解法1：所有这些数有个共同之处就是除以9余3，由于一个完全平方数如果是3的倍数，那它同时一定要是9的倍数，矛盾。因此这样的完全平方数是不存在的。.

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14楼wood wood (......) 发表于 2007-6-12 18:09 只看此人

另外一个小朋友提出了解法2：假设有这样一个完全平方数，而完全平方数末尾0的个数肯定是偶数个。一个完全平方数擦掉两个0（相当于除以100）还是完全平方数，这样擦了若干次以后就得到一个完全平方数以2为个位数，而完全平方数的个位数字不能是2，矛盾。

[ 本帖最后由 wood 于 2007-6-12 18:15 编辑 ].

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15楼wood wood (......) 发表于 2007-6-12 18:13 只看此人

看上去解法1要简洁一些，而且对与下面这个问题
问题2：由5个1和若干个0构成的自然数中有没有完全平方数？
解法2不再适用。而解法1还能正常工作，因为这些数除以3余2，不可能是完全平方数！

[ 本帖最后由 wood 于 2007-6-12 18:16 编辑 ].

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16楼wood wood (......) 发表于 2007-6-12 18:18 只看此人

但是对于下面这个题，就一定要解法2上场了！
问题3：有6个3和若干个0构成的自然数中有没有完全平方数？
这些数都是9的倍数，解法1失效了。
由于完全平方数末尾不能是3，而且末尾0的个数是偶数个，所以不可能！

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17楼wood wood (......) 发表于 2007-6-12 18:53 只看此人

好的奥数问题，学习的学生和教学的老师都能从中得到享受。

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18楼老猫

老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-6-13 06:46 只看此人

是啊，老师也在不停的学东西。而学生感受到了数学的美。.

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19楼wood wood (......) 发表于 2007-8-2 09:21 只看此人

引用:

原帖由老封于 2007-6-1 12:48 发表
大数学家爱尔多斯曾证明了：任意n个连续正整数的积不可能是整数的k次方幂。

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Erdos和Selfridge在1939年证明了：任意连续n个正整数的乘积不可能是完全平方数。(n＞1)
对于一般的k次方，Erdos证明了：如果连续n个正整数的乘积是一个正整数的k次方，那我们最多能够找到有限个这样的情况。.

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20楼judoma judoma (在这里随手写下你现在的心情) 发表于 2007-8-2 12:17 只看此人

可以用平方差公式来证明，举例说明：1*2*3=（2-1）*2*（2+1）=（N-1）*N*（N+1）=（2的平方-1的平方）*2。.

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21楼douzq douzq (......) 发表于 2007-8-3 22:28 只看此人

我只能想到解法2，思路有限。。。.

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